Theorem lmdvg 34116

Description: If a monotonic sequence of real numbers diverges, it is unbounded. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmdvg.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
lmdvg.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
lmdvg.3	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
lmdvg	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Proof of Theorem lmdvg

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmdvg.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
2		nnuz 12821	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		1zzd 12552	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → 1 ∈ ℤ)
4		lmdvg.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
5		rge0ssre 13403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
6		fss 6679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
7	4, 5, 6	sylancl 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
9		lmdvg.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
10	9	ralrimiva 3130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
11		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑙))
12		fvoveq1 7384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑙 + 1)))
13	11, 12	breq12d 5099	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1))))
14	13	cbvralvw 3216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹‘𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
15	10, 14	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹‘𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
16	15	r19.21bi 3230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
17	16	adantlr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
18		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
19		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑙))
20	19	breq1d 5096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → ((𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥))
21	20	cbvralvw 3216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥)
22	21	rexbii 3085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥)
23	18, 22	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥)
24	2, 3, 8, 17, 23	climsup 15626	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
25		nnex 12174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ∈ V
26		fex 7175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ ℕ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
27	4, 25, 26	sylancl 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ∈ V)
29		ltso 11220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ < Or ℝ
30	29	supex 9371	. . . . . . . . . 10 ⊢ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V
31	30	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V)
32		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
33		breldmg 5859	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
34	28, 31, 32, 33	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
35	24, 34	syldan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
36	1, 35	mtand 816	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
37		ralnex 3064	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
38	36, 37	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
39		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
40	7	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
41	40	ffvelcdmda 7031	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
42	39, 41	ltnled 11287	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑥 < (𝐹‘𝑗) ↔ ¬ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
43	42	rexbidva 3160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹‘𝑗) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ¬ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
44		rexnal 3090	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ¬ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
45	43, 44	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹‘𝑗) ↔ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
46	45	ralbidva 3159	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
47	38, 46	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))
48	47	r19.21bi 3230	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))
49	39	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
50	41	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
51	40	ad3antrrr 731	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
52		uznnssnn 12839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (ℤ≥‘𝑗) ⊆ ℕ)
53	52	ad3antlr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (ℤ≥‘𝑗) ⊆ ℕ)
54		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
55	53, 54	sseldd 3923	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
56	51, 55	ffvelcdmd 7032	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
57		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 < (𝐹‘𝑗))
58		simp-4l 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝜑)
59		simpllr 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
60		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
61	7	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
62		fzssnn 13516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗...𝑘) ⊆ ℕ)
63	62	ad3antlr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → (𝑗...𝑘) ⊆ ℕ)
64		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘))
65	63, 64	sseldd 3923	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → 𝑙 ∈ ℕ)
66	61, 65	ffvelcdmd 7032	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → (𝐹‘𝑙) ∈ ℝ)
67		simplll 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → 𝜑)
68		fzssnn 13516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗...(𝑘 − 1)) ⊆ ℕ)
69	68	ad3antlr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → (𝑗...(𝑘 − 1)) ⊆ ℕ)
70		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1)))
71	69, 70	sseldd 3923	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → 𝑙 ∈ ℕ)
72	67, 71, 16	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → (𝐹‘𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
73	60, 66, 72	monoord 13988	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ≤ (𝐹‘𝑘))
74	58, 59, 54, 73	syl21anc 838	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ≤ (𝐹‘𝑘))
75	49, 50, 56, 57, 74	ltletrd 11300	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 < (𝐹‘𝑘))
76	75	ralrimiva 3130	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘))
77	76	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑥 < (𝐹‘𝑗) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘)))
78	77	reximdva 3151	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹‘𝑗) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘)))
79	48, 78	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘))
80	79	ralrimiva 3130	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  dom cdm 5625  ran crn 5626  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  supcsup 9347  ℝcr 11031  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035  +∞cpnf 11170   < clt 11173   ≤ cle 11174   − cmin 11371  ℕcn 12168  ℤ_≥cuz 12782  [,)cico 13294  ...cfz 13455   ⇝ cli 15440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-ico 13298  df-fz 13456  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-clim 15444

This theorem is referenced by:  lmdvglim  34117  esumcvg  34249