Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmdvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmdvg 31082
Description: If a monotonic sequence of real numbers diverges, it is unbounded. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmdvg.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
lmdvg.2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
lmdvg.3 (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
lmdvg (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Proof of Theorem lmdvg
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmdvg.3 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
2 nnuz 12273 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
3 1zzd 12005 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → 1 ∈ ℤ)
4 lmdvg.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
5 rge0ssre 12837 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
6 fss 6523 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
74, 5, 6sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
87adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
9 lmdvg.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
109ralrimiva 3186 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
11 fveq2 6666 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑙 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑙))
12 fvoveq1 7174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑙 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑙 + 1)))
1311, 12breq12d 5075 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑙 → ((𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐹𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1))))
1413cbvralv 3457 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
1510, 14sylib 219 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
1615r19.21bi 3212 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
1716adantlr 711 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
18 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
19 fveq2 6666 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑙 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑙))
2019breq1d 5072 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑙 → ((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹𝑙) ≤ 𝑥))
2120cbvralv 3457 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)
2221rexbii 3251 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)
2318, 22sylib 219 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)
242, 3, 8, 17, 23climsup 15019 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
25 nnex 11636 . . . . . . . . . . 11 ℕ ∈ V
26 fex 6987 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ ℕ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
274, 25, 26sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ V)
2827adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ∈ V)
29 ltso 10713 . . . . . . . . . . 11 < Or ℝ
3029supex 8919 . . . . . . . . . 10 sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V
3130a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V)
32 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
33 breldmg 5776 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ V ∧ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
3428, 31, 32, 33syl3anc 1365 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
3524, 34syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
361, 35mtand 812 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
37 ralnex 3240 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
3836, 37sylibr 235 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
39 simplr 765 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
407adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
4140ffvelrnda 6846 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
4239, 41ltnled 10779 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑥 < (𝐹𝑗) ↔ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
4342rexbidva 3300 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹𝑗) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
44 rexnal 3242 . . . . . . 7 (∃𝑗 ∈ ℕ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
4543, 44syl6bb 288 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹𝑗) ↔ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
4645ralbidva 3200 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹𝑗) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
4738, 46mpbird 258 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹𝑗))
4847r19.21bi 3212 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹𝑗))
4939ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5041ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
5140ad3antrrr 726 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
52 uznnssnn 12287 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (ℤ𝑗) ⊆ ℕ)
5352ad3antlr 727 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (ℤ𝑗) ⊆ ℕ)
54 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
5553, 54sseldd 3971 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5651, 55ffvelrnd 6847 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
57 simplr 765 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 < (𝐹𝑗))
58 simp-4l 779 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
59 simpllr 772 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
60 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
617ad3antrrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
62 fzssnn 12944 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗...𝑘) ⊆ ℕ)
6362ad3antlr 727 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → (𝑗...𝑘) ⊆ ℕ)
64 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘))
6563, 64sseldd 3971 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → 𝑙 ∈ ℕ)
6661, 65ffvelrnd 6847 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → (𝐹𝑙) ∈ ℝ)
67 simplll 771 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → 𝜑)
68 fzssnn 12944 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗...(𝑘 − 1)) ⊆ ℕ)
6968ad3antlr 727 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → (𝑗...(𝑘 − 1)) ⊆ ℕ)
70 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1)))
7169, 70sseldd 3971 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → 𝑙 ∈ ℕ)
7267, 71, 16syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → (𝐹𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
7360, 66, 72monoord 13393 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗) ≤ (𝐹𝑘))
7458, 59, 54, 73syl21anc 835 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗) ≤ (𝐹𝑘))
7549, 50, 56, 57, 74ltletrd 10792 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 < (𝐹𝑘))
7675ralrimiva 3186 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
7776ex 413 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑥 < (𝐹𝑗) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘)))
7877reximdva 3278 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹𝑗) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘)))
7948, 78mpd 15 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
8079ralrimiva 3186 1 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3142  wrex 3143  Vcvv 3499  wss 3939   class class class wbr 5062  dom cdm 5553  ran crn 5554  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  supcsup 8896  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532  +∞cpnf 10664   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862  cn 11630  cuz 12235  [,)cico 12733  ...cfz 12885  cli 14834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-ico 12737  df-fz 12886  df-seq 13363  df-exp 13423  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838
This theorem is referenced by:  lmdvglim  31083  esumcvg  31231
  Copyright terms: Public domain W3C validator