Theorem lmdvg 34250

Description: If a monotonic sequence of real numbers diverges, it is unbounded. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmdvg.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
lmdvg.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
lmdvg.3	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
lmdvg	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Proof of Theorem lmdvg

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmdvg.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
2		nnuz 12878	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		1zzd 12602	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → 1 ∈ ℤ)
4		lmdvg.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
5		rge0ssre 13460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
6		fss 6708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
7	4, 5, 6	sylancl 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
8	7	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
9		lmdvg.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
10	9	ralrimiva 3154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
11		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑙))
12		fvoveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑙 + 1)))
13	11, 12	breq12d 5113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1))))
14	13	cbvralvw 3240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹‘𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
15	10, 14	sylib 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹‘𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
16	15	r19.21bi 3254	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
17	16	adantlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
18		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
19		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑙))
20	19	breq1d 5110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → ((𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥))
21	20	cbvralvw 3240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥)
22	21	rexbii 3109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥)
23	18, 22	sylib 220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥)
24	2, 3, 8, 17, 23	climsup 15697	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
25		nnex 12216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ∈ V
26		fex 7210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ ℕ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
27	4, 25, 26	sylancl 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
28	27	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ∈ V)
29		ltso 11263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ < Or ℝ
30	29	supex 9410	. . . . . . . . . 10 ⊢ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V
31	30	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V)
32		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
33		breldmg 5885	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
34	28, 31, 32, 33	syl3anc 1390	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
35	24, 34	syldan 600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
36	1, 35	mtand 825	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
37		ralnex 3088	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
38	36, 37	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
39		simplr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
40	7	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
41	40	ffvelcdmda 7065	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
42	39, 41	ltnled 11330	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑥 < (𝐹‘𝑗) ↔ ¬ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
43	42	rexbidva 3184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹‘𝑗) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ¬ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
44		rexnal 3114	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ¬ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
45	43, 44	bitrdi 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹‘𝑗) ↔ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
46	45	ralbidva 3183	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
47	38, 46	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))
48	47	r19.21bi 3254	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))
49	39	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
50	41	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
51	40	ad3antrrr 740	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
52		uznnssnn 12896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (ℤ≥‘𝑗) ⊆ ℕ)
53	52	ad3antlr 741	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (ℤ≥‘𝑗) ⊆ ℕ)
54		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
55	53, 54	sseldd 3937	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
56	51, 55	ffvelcdmd 7066	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
57		simplr 778	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 < (𝐹‘𝑗))
58		simp-4l 792	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝜑)
59		simpllr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
60		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
61	7	ad3antrrr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
62		fzssnn 13573	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗...𝑘) ⊆ ℕ)
63	62	ad3antlr 741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → (𝑗...𝑘) ⊆ ℕ)
64		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘))
65	63, 64	sseldd 3937	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → 𝑙 ∈ ℕ)
66	61, 65	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → (𝐹‘𝑙) ∈ ℝ)
67		simplll 784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → 𝜑)
68		fzssnn 13573	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗...(𝑘 − 1)) ⊆ ℕ)
69	68	ad3antlr 741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → (𝑗...(𝑘 − 1)) ⊆ ℕ)
70		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1)))
71	69, 70	sseldd 3937	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → 𝑙 ∈ ℕ)
72	67, 71, 16	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → (𝐹‘𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
73	60, 66, 72	monoord 14045	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ≤ (𝐹‘𝑘))
74	58, 59, 54, 73	syl21anc 848	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ≤ (𝐹‘𝑘))
75	49, 50, 56, 57, 74	ltletrd 11343	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 < (𝐹‘𝑘))
76	75	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘))
77	76	ex 416	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑥 < (𝐹‘𝑗) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘)))
78	77	reximdva 3175	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹‘𝑗) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘)))
79	48, 78	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘))
80	79	ralrimiva 3154	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5100  dom cdm 5647  ran crn 5648  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  supcsup 9386  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076  +∞cpnf 11213   < clt 11216   ≤ cle 11217   − cmin 11414  ℕcn 12210  ℤ_≥cuz 12839  [,)cico 13351  ...cfz 13512   ⇝ cli 15511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9388  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-ico 13355  df-fz 13513  df-seq 14015  df-exp 14075  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-clim 15515

This theorem is referenced by:  lmdvglim  34251  esumcvg  34383