Theorem lmdvg 31198

Description: If a monotonic sequence of real numbers diverges, it is unbounded. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmdvg.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
lmdvg.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
lmdvg.3	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
lmdvg	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Proof of Theorem lmdvg

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmdvg.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
2		nnuz 12284	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		1zzd 12016	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → 1 ∈ ℤ)
4		lmdvg.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
5		rge0ssre 12847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
6		fss 6529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
7	4, 5, 6	sylancl 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
8	7	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
9		lmdvg.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
10	9	ralrimiva 3184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
11		fveq2 6672	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑙))
12		fvoveq1 7181	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑙 + 1)))
13	11, 12	breq12d 5081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1))))
14	13	cbvralvw 3451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹‘𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
15	10, 14	sylib 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹‘𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
16	15	r19.21bi 3210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
17	16	adantlr 713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
18		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
19		fveq2 6672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑙))
20	19	breq1d 5078	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → ((𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥))
21	20	cbvralvw 3451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥)
22	21	rexbii 3249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥)
23	18, 22	sylib 220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥)
24	2, 3, 8, 17, 23	climsup 15028	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
25		nnex 11646	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ∈ V
26		fex 6991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ ℕ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
27	4, 25, 26	sylancl 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
28	27	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ∈ V)
29		ltso 10723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ < Or ℝ
30	29	supex 8929	. . . . . . . . . 10 ⊢ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V
31	30	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V)
32		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
33		breldmg 5780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
34	28, 31, 32, 33	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
35	24, 34	syldan 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
36	1, 35	mtand 814	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
37		ralnex 3238	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
38	36, 37	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
39		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
40	7	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
41	40	ffvelrnda 6853	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
42	39, 41	ltnled 10789	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑥 < (𝐹‘𝑗) ↔ ¬ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
43	42	rexbidva 3298	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹‘𝑗) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ¬ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
44		rexnal 3240	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ¬ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
45	43, 44	syl6bb 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹‘𝑗) ↔ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
46	45	ralbidva 3198	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
47	38, 46	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))
48	47	r19.21bi 3210	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))
49	39	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
50	41	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
51	40	ad3antrrr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
52		uznnssnn 12298	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (ℤ≥‘𝑗) ⊆ ℕ)
53	52	ad3antlr 729	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (ℤ≥‘𝑗) ⊆ ℕ)
54		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
55	53, 54	sseldd 3970	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
56	51, 55	ffvelrnd 6854	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
57		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 < (𝐹‘𝑗))
58		simp-4l 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝜑)
59		simpllr 774	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
60		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
61	7	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
62		fzssnn 12954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗...𝑘) ⊆ ℕ)
63	62	ad3antlr 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → (𝑗...𝑘) ⊆ ℕ)
64		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘))
65	63, 64	sseldd 3970	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → 𝑙 ∈ ℕ)
66	61, 65	ffvelrnd 6854	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → (𝐹‘𝑙) ∈ ℝ)
67		simplll 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → 𝜑)
68		fzssnn 12954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗...(𝑘 − 1)) ⊆ ℕ)
69	68	ad3antlr 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → (𝑗...(𝑘 − 1)) ⊆ ℕ)
70		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1)))
71	69, 70	sseldd 3970	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → 𝑙 ∈ ℕ)
72	67, 71, 16	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → (𝐹‘𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
73	60, 66, 72	monoord 13403	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ≤ (𝐹‘𝑘))
74	58, 59, 54, 73	syl21anc 835	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ≤ (𝐹‘𝑘))
75	49, 50, 56, 57, 74	ltletrd 10802	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 < (𝐹‘𝑘))
76	75	ralrimiva 3184	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘))
77	76	ex 415	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑥 < (𝐹‘𝑗) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘)))
78	77	reximdva 3276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹‘𝑗) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘)))
79	48, 78	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘))
80	79	ralrimiva 3184	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  ∃wrex 3141  Vcvv 3496   ⊆ wss 3938   class class class wbr 5068  dom cdm 5557  ran crn 5558  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  supcsup 8906  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542  +∞cpnf 10674   < clt 10677   ≤ cle 10678   − cmin 10872  ℕcn 11640  ℤ_≥cuz 12246  [,)cico 12743  ...cfz 12895   ⇝ cli 14843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-ico 12747  df-fz 12896  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847

This theorem is referenced by:  lmdvglim  31199  esumcvg  31347