Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmdvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmdvg 32928
Description: If a monotonic sequence of real numbers diverges, it is unbounded. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmdvg.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
lmdvg.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))
lmdvg.3 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
lmdvg (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,π‘₯,𝐹   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯

Proof of Theorem lmdvg
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmdvg.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
2 nnuz 12864 . . . . . . . . 9 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
3 1zzd 12592 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ 1 ∈ β„€)
4 lmdvg.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
5 rge0ssre 13432 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
6 fss 6734 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
74, 5, 6sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
87adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
9 lmdvg.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))
109ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))
11 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘™))
12 fvoveq1 7431 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = (πΉβ€˜(𝑙 + 1)))
1311, 12breq12d 5161 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑙 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ↔ (πΉβ€˜π‘™) ≀ (πΉβ€˜(𝑙 + 1))))
1413cbvralvw 3234 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ↔ βˆ€π‘™ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘™) ≀ (πΉβ€˜(𝑙 + 1)))
1510, 14sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘™ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘™) ≀ (πΉβ€˜(𝑙 + 1)))
1615r19.21bi 3248 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ (πΉβ€˜(𝑙 + 1)))
1716adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ (πΉβ€˜(𝑙 + 1)))
18 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
19 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (πΉβ€˜π‘™))
2019breq1d 5158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑙 β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯))
2120cbvralvw 3234 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘™ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯)
2221rexbii 3094 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯)
2318, 22sylib 217 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯)
242, 3, 8, 17, 23climsup 15615 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
25 nnex 12217 . . . . . . . . . . 11 β„• ∈ V
26 fex 7227 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ β„• ∈ V) β†’ 𝐹 ∈ V)
274, 25, 26sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
2827adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) β†’ 𝐹 ∈ V)
29 ltso 11293 . . . . . . . . . . 11 < Or ℝ
3029supex 9457 . . . . . . . . . 10 sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V
3130a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) β†’ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V)
32 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) β†’ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
33 breldmg 5909 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ V ∧ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
3428, 31, 32, 33syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
3524, 34syldan 591 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
361, 35mtand 814 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
37 ralnex 3072 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ Β¬ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
3836, 37sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ Β¬ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
39 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
407adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
4140ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
4239, 41ltnled 11360 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
4342rexbidva 3176 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
44 rexnal 3100 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘— ∈ β„• Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ Β¬ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
4543, 44bitrdi 286 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—) ↔ Β¬ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
4645ralbidva 3175 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ Β¬ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
4738, 46mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—))
4847r19.21bi 3248 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—))
4939ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
5041ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
5140ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
52 uznnssnn 12878 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† β„•)
5352ad3antlr 729 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† β„•)
54 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
5553, 54sseldd 3983 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
5651, 55ffvelcdmd 7087 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
57 simplr 767 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—))
58 simp-4l 781 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ πœ‘)
59 simpllr 774 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
60 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
617ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...π‘˜)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
62 fzssnn 13544 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗...π‘˜) βŠ† β„•)
6362ad3antlr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...π‘˜)) β†’ (𝑗...π‘˜) βŠ† β„•)
64 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...π‘˜)) β†’ 𝑙 ∈ (𝑗...π‘˜))
6563, 64sseldd 3983 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...π‘˜)) β†’ 𝑙 ∈ β„•)
6661, 65ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜π‘™) ∈ ℝ)
67 simplll 773 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(π‘˜ βˆ’ 1))) β†’ πœ‘)
68 fzssnn 13544 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗...(π‘˜ βˆ’ 1)) βŠ† β„•)
6968ad3antlr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(π‘˜ βˆ’ 1))) β†’ (𝑗...(π‘˜ βˆ’ 1)) βŠ† β„•)
70 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(π‘˜ βˆ’ 1))) β†’ 𝑙 ∈ (𝑗...(π‘˜ βˆ’ 1)))
7169, 70sseldd 3983 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(π‘˜ βˆ’ 1))) β†’ 𝑙 ∈ β„•)
7267, 71, 16syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(π‘˜ βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ (πΉβ€˜(𝑙 + 1)))
7360, 66, 72monoord 13997 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
7458, 59, 54, 73syl21anc 836 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
7549, 50, 56, 57, 74ltletrd 11373 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜))
7675ralrimiva 3146 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜))
7776ex 413 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜)))
7877reximdva 3168 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜)))
7948, 78mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜))
8079ralrimiva 3146 1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ran crn 5677  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  supcsup 9434  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112  +∞cpnf 11244   < clt 11247   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443  β„•cn 12211  β„€β‰₯cuz 12821  [,)cico 13325  ...cfz 13483   ⇝ cli 15427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-ico 13329  df-fz 13484  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431
This theorem is referenced by:  lmdvglim  32929  esumcvg  33079
  Copyright terms: Public domain W3C validator