Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmdvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmdvg 33914
Description: If a monotonic sequence of real numbers diverges, it is unbounded. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmdvg.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
lmdvg.2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
lmdvg.3 (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
lmdvg (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Proof of Theorem lmdvg
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmdvg.3 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
2 nnuz 12919 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
3 1zzd 12646 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → 1 ∈ ℤ)
4 lmdvg.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
5 rge0ssre 13493 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
6 fss 6753 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
74, 5, 6sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
87adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
9 lmdvg.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
109ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
11 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑙 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑙))
12 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑙 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑙 + 1)))
1311, 12breq12d 5161 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑙 → ((𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐹𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1))))
1413cbvralvw 3235 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
1510, 14sylib 218 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
1615r19.21bi 3249 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
1716adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
18 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
19 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑙 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑙))
2019breq1d 5158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑙 → ((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹𝑙) ≤ 𝑥))
2120cbvralvw 3235 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)
2221rexbii 3092 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)
2318, 22sylib 218 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)
242, 3, 8, 17, 23climsup 15703 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
25 nnex 12270 . . . . . . . . . . 11 ℕ ∈ V
26 fex 7246 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ ℕ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
274, 25, 26sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ V)
2827adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ∈ V)
29 ltso 11339 . . . . . . . . . . 11 < Or ℝ
3029supex 9501 . . . . . . . . . 10 sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V
3130a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V)
32 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
33 breldmg 5923 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ V ∧ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
3428, 31, 32, 33syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
3524, 34syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
361, 35mtand 816 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
37 ralnex 3070 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
3836, 37sylibr 234 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
39 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
407adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
4140ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
4239, 41ltnled 11406 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑥 < (𝐹𝑗) ↔ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
4342rexbidva 3175 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹𝑗) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
44 rexnal 3098 . . . . . . 7 (∃𝑗 ∈ ℕ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
4543, 44bitrdi 287 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹𝑗) ↔ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
4645ralbidva 3174 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹𝑗) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
4738, 46mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹𝑗))
4847r19.21bi 3249 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹𝑗))
4939ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5041ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
5140ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
52 uznnssnn 12935 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (ℤ𝑗) ⊆ ℕ)
5352ad3antlr 731 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (ℤ𝑗) ⊆ ℕ)
54 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
5553, 54sseldd 3996 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5651, 55ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
57 simplr 769 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 < (𝐹𝑗))
58 simp-4l 783 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
59 simpllr 776 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
60 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
617ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
62 fzssnn 13605 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗...𝑘) ⊆ ℕ)
6362ad3antlr 731 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → (𝑗...𝑘) ⊆ ℕ)
64 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘))
6563, 64sseldd 3996 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → 𝑙 ∈ ℕ)
6661, 65ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → (𝐹𝑙) ∈ ℝ)
67 simplll 775 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → 𝜑)
68 fzssnn 13605 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗...(𝑘 − 1)) ⊆ ℕ)
6968ad3antlr 731 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → (𝑗...(𝑘 − 1)) ⊆ ℕ)
70 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1)))
7169, 70sseldd 3996 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → 𝑙 ∈ ℕ)
7267, 71, 16syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → (𝐹𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
7360, 66, 72monoord 14070 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗) ≤ (𝐹𝑘))
7458, 59, 54, 73syl21anc 838 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗) ≤ (𝐹𝑘))
7549, 50, 56, 57, 74ltletrd 11419 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 < (𝐹𝑘))
7675ralrimiva 3144 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
7776ex 412 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑥 < (𝐹𝑗) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘)))
7877reximdva 3166 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹𝑗) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘)))
7948, 78mpd 15 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
8079ralrimiva 3144 1 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  wss 3963   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  ran crn 5690  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  supcsup 9478  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  +∞cpnf 11290   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  cn 12264  cuz 12876  [,)cico 13386  ...cfz 13544  cli 15517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521
This theorem is referenced by:  lmdvglim  33915  esumcvg  34067
  Copyright terms: Public domain W3C validator