Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmdvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmdvg 32933
Description: If a monotonic sequence of real numbers diverges, it is unbounded. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmdvg.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
lmdvg.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))
lmdvg.3 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
lmdvg (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,π‘₯,𝐹   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯

Proof of Theorem lmdvg
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmdvg.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
2 nnuz 12865 . . . . . . . . 9 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
3 1zzd 12593 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ 1 ∈ β„€)
4 lmdvg.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
5 rge0ssre 13433 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
6 fss 6735 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
74, 5, 6sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
87adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
9 lmdvg.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))
109ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))
11 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘™))
12 fvoveq1 7432 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = (πΉβ€˜(𝑙 + 1)))
1311, 12breq12d 5162 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑙 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ↔ (πΉβ€˜π‘™) ≀ (πΉβ€˜(𝑙 + 1))))
1413cbvralvw 3235 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ↔ βˆ€π‘™ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘™) ≀ (πΉβ€˜(𝑙 + 1)))
1510, 14sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘™ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘™) ≀ (πΉβ€˜(𝑙 + 1)))
1615r19.21bi 3249 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ (πΉβ€˜(𝑙 + 1)))
1716adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ (πΉβ€˜(𝑙 + 1)))
18 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
19 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (πΉβ€˜π‘™))
2019breq1d 5159 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑙 β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯))
2120cbvralvw 3235 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘™ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯)
2221rexbii 3095 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯)
2318, 22sylib 217 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯)
242, 3, 8, 17, 23climsup 15616 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
25 nnex 12218 . . . . . . . . . . 11 β„• ∈ V
26 fex 7228 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ β„• ∈ V) β†’ 𝐹 ∈ V)
274, 25, 26sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
2827adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) β†’ 𝐹 ∈ V)
29 ltso 11294 . . . . . . . . . . 11 < Or ℝ
3029supex 9458 . . . . . . . . . 10 sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V
3130a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) β†’ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V)
32 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) β†’ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
33 breldmg 5910 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ V ∧ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
3428, 31, 32, 33syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
3524, 34syldan 592 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
361, 35mtand 815 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
37 ralnex 3073 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ Β¬ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
3836, 37sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ Β¬ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
39 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
407adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
4140ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
4239, 41ltnled 11361 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
4342rexbidva 3177 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
44 rexnal 3101 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘— ∈ β„• Β¬ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ Β¬ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
4543, 44bitrdi 287 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—) ↔ Β¬ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
4645ralbidva 3176 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ Β¬ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
4738, 46mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—))
4847r19.21bi 3249 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—))
4939ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
5041ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
5140ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
52 uznnssnn 12879 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† β„•)
5352ad3antlr 730 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† β„•)
54 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
5553, 54sseldd 3984 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
5651, 55ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
57 simplr 768 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—))
58 simp-4l 782 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ πœ‘)
59 simpllr 775 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
60 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
617ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...π‘˜)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
62 fzssnn 13545 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗...π‘˜) βŠ† β„•)
6362ad3antlr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...π‘˜)) β†’ (𝑗...π‘˜) βŠ† β„•)
64 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...π‘˜)) β†’ 𝑙 ∈ (𝑗...π‘˜))
6563, 64sseldd 3984 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...π‘˜)) β†’ 𝑙 ∈ β„•)
6661, 65ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜π‘™) ∈ ℝ)
67 simplll 774 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(π‘˜ βˆ’ 1))) β†’ πœ‘)
68 fzssnn 13545 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗...(π‘˜ βˆ’ 1)) βŠ† β„•)
6968ad3antlr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(π‘˜ βˆ’ 1))) β†’ (𝑗...(π‘˜ βˆ’ 1)) βŠ† β„•)
70 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(π‘˜ βˆ’ 1))) β†’ 𝑙 ∈ (𝑗...(π‘˜ βˆ’ 1)))
7169, 70sseldd 3984 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(π‘˜ βˆ’ 1))) β†’ 𝑙 ∈ β„•)
7267, 71, 16syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(π‘˜ βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ (πΉβ€˜(𝑙 + 1)))
7360, 66, 72monoord 13998 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
7458, 59, 54, 73syl21anc 837 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
7549, 50, 56, 57, 74ltletrd 11374 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜))
7675ralrimiva 3147 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜))
7776ex 414 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜)))
7877reximdva 3169 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• π‘₯ < (πΉβ€˜π‘—) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜)))
7948, 78mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜))
8079ralrimiva 3147 1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  supcsup 9435  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  +∞cpnf 11245   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  β„€β‰₯cuz 12822  [,)cico 13326  ...cfz 13484   ⇝ cli 15428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432
This theorem is referenced by:  lmdvglim  32934  esumcvg  33084
  Copyright terms: Public domain W3C validator