Theorem lmdvg 33952

Description: If a monotonic sequence of real numbers diverges, it is unbounded. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmdvg.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
lmdvg.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
lmdvg.3	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
lmdvg	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Proof of Theorem lmdvg

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmdvg.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
2		nnuz 12921	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		1zzd 12648	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → 1 ∈ ℤ)
4		lmdvg.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
5		rge0ssre 13496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
6		fss 6752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
7	4, 5, 6	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
9		lmdvg.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
10	9	ralrimiva 3146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
11		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑙))
12		fvoveq1 7454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑙 + 1)))
13	11, 12	breq12d 5156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐹‘𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1))))
14	13	cbvralvw 3237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹‘𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
15	10, 14	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹‘𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
16	15	r19.21bi 3251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
17	16	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
18		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
19		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑙))
20	19	breq1d 5153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → ((𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥))
21	20	cbvralvw 3237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥)
22	21	rexbii 3094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥)
23	18, 22	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥)
24	2, 3, 8, 17, 23	climsup 15706	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
25		nnex 12272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ∈ V
26		fex 7246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ ℕ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
27	4, 25, 26	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ∈ V)
29		ltso 11341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ < Or ℝ
30	29	supex 9503	. . . . . . . . . 10 ⊢ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V
31	30	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V)
32		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
33		breldmg 5920	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
34	28, 31, 32, 33	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
35	24, 34	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
36	1, 35	mtand 816	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
37		ralnex 3072	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
38	36, 37	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
39		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
40	7	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
41	40	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
42	39, 41	ltnled 11408	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑥 < (𝐹‘𝑗) ↔ ¬ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
43	42	rexbidva 3177	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹‘𝑗) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ¬ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
44		rexnal 3100	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ¬ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
45	43, 44	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹‘𝑗) ↔ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
46	45	ralbidva 3176	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
47	38, 46	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))
48	47	r19.21bi 3251	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))
49	39	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
50	41	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
51	40	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
52		uznnssnn 12937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (ℤ≥‘𝑗) ⊆ ℕ)
53	52	ad3antlr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (ℤ≥‘𝑗) ⊆ ℕ)
54		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
55	53, 54	sseldd 3984	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
56	51, 55	ffvelcdmd 7105	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
57		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 < (𝐹‘𝑗))
58		simp-4l 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝜑)
59		simpllr 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
60		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
61	7	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
62		fzssnn 13608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗...𝑘) ⊆ ℕ)
63	62	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → (𝑗...𝑘) ⊆ ℕ)
64		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘))
65	63, 64	sseldd 3984	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → 𝑙 ∈ ℕ)
66	61, 65	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → (𝐹‘𝑙) ∈ ℝ)
67		simplll 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → 𝜑)
68		fzssnn 13608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗...(𝑘 − 1)) ⊆ ℕ)
69	68	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → (𝑗...(𝑘 − 1)) ⊆ ℕ)
70		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1)))
71	69, 70	sseldd 3984	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → 𝑙 ∈ ℕ)
72	67, 71, 16	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → (𝐹‘𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
73	60, 66, 72	monoord 14073	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ≤ (𝐹‘𝑘))
74	58, 59, 54, 73	syl21anc 838	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ≤ (𝐹‘𝑘))
75	49, 50, 56, 57, 74	ltletrd 11421	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 < (𝐹‘𝑘))
76	75	ralrimiva 3146	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘))
77	76	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑥 < (𝐹‘𝑗) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘)))
78	77	reximdva 3168	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹‘𝑗) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘)))
79	48, 78	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘))
80	79	ralrimiva 3146	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  ran crn 5686  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  supcsup 9480  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  +∞cpnf 11292   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℕcn 12266  ℤ_≥cuz 12878  [,)cico 13389  ...cfz 13547   ⇝ cli 15520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524

This theorem is referenced by:  lmdvglim  33953  esumcvg  34087