Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmdvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmdvg 31478
Description: If a monotonic sequence of real numbers diverges, it is unbounded. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmdvg.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
lmdvg.2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
lmdvg.3 (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
lmdvg (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Proof of Theorem lmdvg
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmdvg.3 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
2 nnuz 12366 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
3 1zzd 12097 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → 1 ∈ ℤ)
4 lmdvg.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
5 rge0ssre 12933 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
6 fss 6522 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
74, 5, 6sylancl 589 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
87adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
9 lmdvg.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
109ralrimiva 3097 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
11 fveq2 6677 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑙 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑙))
12 fvoveq1 7196 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑙 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑙 + 1)))
1311, 12breq12d 5044 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑙 → ((𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐹𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1))))
1413cbvralvw 3350 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
1510, 14sylib 221 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
1615r19.21bi 3122 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
1716adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐹𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
18 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
19 fveq2 6677 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑙 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑙))
2019breq1d 5041 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑙 → ((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹𝑙) ≤ 𝑥))
2120cbvralvw 3350 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)
2221rexbii 3162 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)
2318, 22sylib 221 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑙 ∈ ℕ (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)
242, 3, 8, 17, 23climsup 15122 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
25 nnex 11725 . . . . . . . . . . 11 ℕ ∈ V
26 fex 7002 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ ℕ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
274, 25, 26sylancl 589 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ V)
2827adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ∈ V)
29 ltso 10802 . . . . . . . . . . 11 < Or ℝ
3029supex 9003 . . . . . . . . . 10 sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V
3130a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V)
32 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
33 breldmg 5753 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ V ∧ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ V ∧ 𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
3428, 31, 32, 33syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹 ⇝ sup(ran 𝐹, ℝ, < )) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
3524, 34syldan 594 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
361, 35mtand 816 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
37 ralnex 3150 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
3836, 37sylibr 237 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
39 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
407adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
4140ffvelrnda 6864 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
4239, 41ltnled 10868 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑥 < (𝐹𝑗) ↔ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
4342rexbidva 3207 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹𝑗) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
44 rexnal 3152 . . . . . . 7 (∃𝑗 ∈ ℕ ¬ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
4543, 44bitrdi 290 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹𝑗) ↔ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
4645ralbidva 3109 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹𝑗) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑗 ∈ ℕ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
4738, 46mpbird 260 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹𝑗))
4847r19.21bi 3122 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹𝑗))
4939ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5041ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
5140ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
52 uznnssnn 12380 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (ℤ𝑗) ⊆ ℕ)
5352ad3antlr 731 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (ℤ𝑗) ⊆ ℕ)
54 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
5553, 54sseldd 3879 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5651, 55ffvelrnd 6865 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
57 simplr 769 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 < (𝐹𝑗))
58 simp-4l 783 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
59 simpllr 776 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
60 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
617ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
62 fzssnn 13045 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗...𝑘) ⊆ ℕ)
6362ad3antlr 731 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → (𝑗...𝑘) ⊆ ℕ)
64 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘))
6563, 64sseldd 3879 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → 𝑙 ∈ ℕ)
6661, 65ffvelrnd 6865 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...𝑘)) → (𝐹𝑙) ∈ ℝ)
67 simplll 775 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → 𝜑)
68 fzssnn 13045 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗...(𝑘 − 1)) ⊆ ℕ)
6968ad3antlr 731 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → (𝑗...(𝑘 − 1)) ⊆ ℕ)
70 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1)))
7169, 70sseldd 3879 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → 𝑙 ∈ ℕ)
7267, 71, 16syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑙 ∈ (𝑗...(𝑘 − 1))) → (𝐹𝑙) ≤ (𝐹‘(𝑙 + 1)))
7360, 66, 72monoord 13495 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗) ≤ (𝐹𝑘))
7458, 59, 54, 73syl21anc 837 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗) ≤ (𝐹𝑘))
7549, 50, 56, 57, 74ltletrd 10881 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 < (𝐹𝑘))
7675ralrimiva 3097 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
7776ex 416 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑥 < (𝐹𝑗) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘)))
7877reximdva 3185 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐹𝑗) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘)))
7948, 78mpd 15 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
8079ralrimiva 3097 1 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3054  wrex 3055  Vcvv 3399  wss 3844   class class class wbr 5031  dom cdm 5526  ran crn 5527  wf 6336  cfv 6340  (class class class)co 7173  supcsup 8980  cr 10617  0cc0 10618  1c1 10619   + caddc 10621  +∞cpnf 10753   < clt 10756  cle 10757  cmin 10951  cn 11719  cuz 12327  [,)cico 12826  ...cfz 12984  cli 14934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695  ax-pre-sup 10696
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-er 8323  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-sup 8982  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-div 11379  df-nn 11720  df-2 11782  df-3 11783  df-n0 11980  df-z 12066  df-uz 12328  df-rp 12476  df-ico 12830  df-fz 12985  df-seq 13464  df-exp 13525  df-cj 14551  df-re 14552  df-im 14553  df-sqrt 14687  df-abs 14688  df-clim 14938
This theorem is referenced by:  lmdvglim  31479  esumcvg  31627
  Copyright terms: Public domain W3C validator