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Theorem mbfinf 24181
 Description: The infimum of a sequence of measurable, real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfinf.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
mbfinf.2 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ inf(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
mbfinf.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
mbfinf.4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
mbfinf.5 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
mbfinf.6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵)
Assertion
Ref Expression
mbfinf (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐴   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem mbfinf
Dummy variables 𝑚 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfinf.2 . . 3 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ inf(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
2 mbfinf.5 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
32anass1rs 651 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
43fmpttd 6875 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ)
54frnd 6518 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ran (𝑛𝑍𝐵) ⊆ ℝ)
6 mbfinf.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 uzid 12247 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
9 mbfinf.1 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ𝑀)
108, 9syl6eleqr 2929 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀𝑍)
1110adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀𝑍)
12 eqid 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑍𝐵) = (𝑛𝑍𝐵)
1312, 3dmmptd 6490 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → dom (𝑛𝑍𝐵) = 𝑍)
1411, 13eleqtrrd 2921 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ dom (𝑛𝑍𝐵))
1514ne0d 4305 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → dom (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅)
16 dm0rn0 5794 . . . . . . . 8 (dom (𝑛𝑍𝐵) = ∅ ↔ ran (𝑛𝑍𝐵) = ∅)
1716necon3bii 3073 . . . . . . 7 (dom (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅ ↔ ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅)
1815, 17sylib 219 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅)
19 mbfinf.6 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵)
204ffnd 6512 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍)
21 breq2 5067 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) → (𝑦𝑧𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)))
2221ralrn 6850 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍 → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑦𝑧 ↔ ∀𝑚𝑍 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)))
2320, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑦𝑧 ↔ ∀𝑚𝑍 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)))
24 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . 12 𝑛𝑦
25 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . 12 𝑛
26 nffvmpt1 6678 . . . . . . . . . . . 12 𝑛((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)
2724, 25, 26nfbr 5110 . . . . . . . . . . 11 𝑛 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)
28 nfv 1908 . . . . . . . . . . 11 𝑚 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)
29 fveq2 6667 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛))
3029breq2d 5075 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)))
3127, 28, 30cbvralw 3447 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚𝑍 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ↔ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛))
32 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
3312fvmpt2 6775 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛𝑍𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
3432, 3, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
3534breq2d 5075 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ↔ 𝑦𝐵))
3635ralbidva 3201 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵))
3731, 36syl5bb 284 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑚𝑍 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ↔ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵))
3823, 37bitrd 280 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑦𝑧 ↔ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵))
3938rexbidv 3302 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵))
4019, 39mpbird 258 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑦𝑧)
41 infrenegsup 11613 . . . . . 6 ((ran (𝑛𝑍𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑦𝑧) → inf(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) = -sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)}, ℝ, < ))
425, 18, 40, 41syl3anc 1365 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → inf(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) = -sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)}, ℝ, < ))
43 rabid 3384 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)} ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)))
443recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
4544adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
46 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑟 ∈ ℝ)
4746recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑟 ∈ ℂ)
48 negcon2 10928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝐵 = -𝑟𝑟 = -𝐵))
4945, 47, 48syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐵 = -𝑟𝑟 = -𝐵))
50 eqcom 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑟 = -𝐵 ↔ -𝐵 = 𝑟)
5149, 50syl6bb 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐵 = -𝑟 ↔ -𝐵 = 𝑟))
5234adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
5352eqeq1d 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = -𝑟𝐵 = -𝑟))
54 negex 10873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -𝐵 ∈ V
55 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) = (𝑛𝑍 ↦ -𝐵)
5655fvmpt2 6775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛𝑍 ∧ -𝐵 ∈ V) → ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = -𝐵)
5754, 56mpan2 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛𝑍 → ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = -𝐵)
5857adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = -𝐵)
5958eqeq1d 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = 𝑟 ↔ -𝐵 = 𝑟))
6051, 53, 593bitr4d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = 𝑟))
6160ralrimiva 3187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∀𝑛𝑍 (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = 𝑟))
6226nfeq1 2998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟
63 nffvmpt1 6678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚)
6463nfeq1 2998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟
6562, 64nfbi 1897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟)
66 nfv 1908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = 𝑟)
67 fveqeq2 6676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = -𝑟))
68 fveqeq2 6676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = 𝑟))
6967, 68bibi12d 347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 𝑛 → ((((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟) ↔ (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = 𝑟)))
7065, 66, 69cbvralw 3447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑚𝑍 (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟) ↔ ∀𝑛𝑍 (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = 𝑟))
7161, 70sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∀𝑚𝑍 (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟))
7271r19.21bi 3213 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑚𝑍) → (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟))
7372rexbidva 3301 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∃𝑚𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟 ↔ ∃𝑚𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟))
7420adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍)
75 fvelrnb 6723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍 → (-𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵) ↔ ∃𝑚𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (-𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵) ↔ ∃𝑚𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟))
773renegcld 11056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → -𝐵 ∈ ℝ)
7877fmpttd 6875 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍 ↦ -𝐵):𝑍⟶ℝ)
7978adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑛𝑍 ↦ -𝐵):𝑍⟶ℝ)
8079ffnd 6512 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) Fn 𝑍)
81 fvelrnb 6723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵) Fn 𝑍 → (𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) ↔ ∃𝑚𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟))
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) ↔ ∃𝑚𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟))
8373, 76, 823bitr4d 312 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (-𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵) ↔ 𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵)))
8483pm5.32da 579 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑟 ∈ ℝ ∧ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵))))
8578frnd 6518 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) ⊆ ℝ)
8685sseld 3970 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) → 𝑟 ∈ ℝ))
8786pm4.71rd 563 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵))))
8884, 87bitr4d 283 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑟 ∈ ℝ ∧ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)) ↔ 𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵)))
8943, 88syl5bb 284 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑟 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)} ↔ 𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵)))
9089alrimiv 1921 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑟(𝑟 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)} ↔ 𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵)))
91 nfrab1 3390 . . . . . . . . 9 𝑟{𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)}
92 nfcv 2982 . . . . . . . . 9 𝑟ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵)
9391, 92cleqf 3015 . . . . . . . 8 ({𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)} = ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) ↔ ∀𝑟(𝑟 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)} ↔ 𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵)))
9490, 93sylibr 235 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)} = ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵))
9594supeq1d 8899 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)}, ℝ, < ) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < ))
9695negeqd 10869 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → -sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)}, ℝ, < ) = -sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < ))
9742, 96eqtrd 2861 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → inf(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) = -sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < ))
9897mpteq2dva 5158 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ inf(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < )) = (𝑥𝐴 ↦ -sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < )))
991, 98syl5eq 2873 . 2 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ -sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < )))
100 ltso 10710 . . . . 5 < Or ℝ
101100supex 8916 . . . 4 sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < ) ∈ V
102101a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < ) ∈ V)
103 eqid 2826 . . . 4 (𝑥𝐴 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < )) = (𝑥𝐴 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < ))
1042anassrs 468 . . . . 5 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
105 mbfinf.4 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
106104, 105mbfneg 24166 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ MblFn)
1072renegcld 11056 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → -𝐵 ∈ ℝ)
108 renegcl 10938 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
109108ad2antrl 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵)) → -𝑦 ∈ ℝ)
110 simplr 765 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑦 ∈ ℝ)
1113adantlr 711 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
112110, 111lenegd 11208 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑦𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝑦))
113112ralbidva 3201 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑛𝑍 𝑦𝐵 ↔ ∀𝑛𝑍 -𝐵 ≤ -𝑦))
114113biimpd 230 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑛𝑍 𝑦𝐵 → ∀𝑛𝑍 -𝐵 ≤ -𝑦))
115114impr 455 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵)) → ∀𝑛𝑍 -𝐵 ≤ -𝑦)
116 brralrspcev 5123 . . . . . 6 ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 -𝐵 ≤ -𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 -𝐵𝑧)
117109, 115, 116syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 -𝐵𝑧)
11819, 117rexlimddv 3296 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 -𝐵𝑧)
1199, 103, 6, 106, 107, 118mbfsup 24180 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < )) ∈ MblFn)
120102, 119mbfneg 24166 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < )) ∈ MblFn)
12199, 120eqeltrd 2918 1 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396  ∀wal 1528   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3021  ∀wral 3143  ∃wrex 3144  {crab 3147  Vcvv 3500   ⊆ wss 3940  ∅c0 4295   class class class wbr 5063   ↦ cmpt 5143  dom cdm 5554  ran crn 5555   Fn wfn 6347  ⟶wf 6348  ‘cfv 6352  supcsup 8893  infcinf 8894  ℂcc 10524  ℝcr 10525   < clt 10664   ≤ cle 10665  -cneg 10860  ℤcz 11970  ℤ≥cuz 12232  MblFncmbf 24130 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cc 9846  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-disj 5029  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-omul 8098  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-dju 9319  df-card 9357  df-acn 9360  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xadd 12498  df-ioo 12732  df-ioc 12733  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-xmet 20454  df-met 20455  df-ovol 23980  df-vol 23981  df-mbf 24135 This theorem is referenced by:  mbflimsup  24182
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