MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfinf 24266
Description: The infimum of a sequence of measurable, real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfinf.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
mbfinf.2 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ inf(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
mbfinf.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
mbfinf.4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
mbfinf.5 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
mbfinf.6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵)
Assertion
Ref Expression
mbfinf (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐴   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem mbfinf
Dummy variables 𝑚 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfinf.2 . . 3 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ inf(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
2 mbfinf.5 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
32anass1rs 653 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
43fmpttd 6879 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ)
54frnd 6521 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ran (𝑛𝑍𝐵) ⊆ ℝ)
6 mbfinf.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 uzid 12259 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
9 mbfinf.1 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ𝑀)
108, 9eleqtrrdi 2924 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀𝑍)
1110adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀𝑍)
12 eqid 2821 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑍𝐵) = (𝑛𝑍𝐵)
1312, 3dmmptd 6493 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → dom (𝑛𝑍𝐵) = 𝑍)
1411, 13eleqtrrd 2916 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ dom (𝑛𝑍𝐵))
1514ne0d 4301 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → dom (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅)
16 dm0rn0 5795 . . . . . . . 8 (dom (𝑛𝑍𝐵) = ∅ ↔ ran (𝑛𝑍𝐵) = ∅)
1716necon3bii 3068 . . . . . . 7 (dom (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅ ↔ ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅)
1815, 17sylib 220 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅)
19 mbfinf.6 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵)
204ffnd 6515 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍)
21 breq2 5070 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) → (𝑦𝑧𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)))
2221ralrn 6854 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍 → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑦𝑧 ↔ ∀𝑚𝑍 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)))
2320, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑦𝑧 ↔ ∀𝑚𝑍 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)))
24 nfcv 2977 . . . . . . . . . . . 12 𝑛𝑦
25 nfcv 2977 . . . . . . . . . . . 12 𝑛
26 nffvmpt1 6681 . . . . . . . . . . . 12 𝑛((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)
2724, 25, 26nfbr 5113 . . . . . . . . . . 11 𝑛 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)
28 nfv 1915 . . . . . . . . . . 11 𝑚 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)
29 fveq2 6670 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛))
3029breq2d 5078 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)))
3127, 28, 30cbvralw 3441 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚𝑍 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ↔ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛))
32 simpr 487 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
3312fvmpt2 6779 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛𝑍𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
3432, 3, 33syl2anc 586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
3534breq2d 5078 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ↔ 𝑦𝐵))
3635ralbidva 3196 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵))
3731, 36syl5bb 285 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑚𝑍 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ↔ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵))
3823, 37bitrd 281 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑦𝑧 ↔ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵))
3938rexbidv 3297 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵))
4019, 39mpbird 259 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑦𝑧)
41 infrenegsup 11624 . . . . . 6 ((ran (𝑛𝑍𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑦𝑧) → inf(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) = -sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)}, ℝ, < ))
425, 18, 40, 41syl3anc 1367 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → inf(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) = -sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)}, ℝ, < ))
43 rabid 3378 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)} ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)))
443recnd 10669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
4544adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
46 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑟 ∈ ℝ)
4746recnd 10669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑟 ∈ ℂ)
48 negcon2 10939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝐵 = -𝑟𝑟 = -𝐵))
4945, 47, 48syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐵 = -𝑟𝑟 = -𝐵))
50 eqcom 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑟 = -𝐵 ↔ -𝐵 = 𝑟)
5149, 50syl6bb 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐵 = -𝑟 ↔ -𝐵 = 𝑟))
5234adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
5352eqeq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = -𝑟𝐵 = -𝑟))
54 negex 10884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -𝐵 ∈ V
55 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) = (𝑛𝑍 ↦ -𝐵)
5655fvmpt2 6779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛𝑍 ∧ -𝐵 ∈ V) → ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = -𝐵)
5754, 56mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛𝑍 → ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = -𝐵)
5857adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = -𝐵)
5958eqeq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = 𝑟 ↔ -𝐵 = 𝑟))
6051, 53, 593bitr4d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = 𝑟))
6160ralrimiva 3182 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∀𝑛𝑍 (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = 𝑟))
6226nfeq1 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟
63 nffvmpt1 6681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚)
6463nfeq1 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟
6562, 64nfbi 1904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟)
66 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = 𝑟)
67 fveqeq2 6679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = -𝑟))
68 fveqeq2 6679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = 𝑟))
6967, 68bibi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 𝑛 → ((((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟) ↔ (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = 𝑟)))
7065, 66, 69cbvralw 3441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑚𝑍 (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟) ↔ ∀𝑛𝑍 (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = 𝑟))
7161, 70sylibr 236 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∀𝑚𝑍 (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟))
7271r19.21bi 3208 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑚𝑍) → (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟))
7372rexbidva 3296 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∃𝑚𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟 ↔ ∃𝑚𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟))
7420adantr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍)
75 fvelrnb 6726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍 → (-𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵) ↔ ∃𝑚𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (-𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵) ↔ ∃𝑚𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟))
773renegcld 11067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → -𝐵 ∈ ℝ)
7877fmpttd 6879 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍 ↦ -𝐵):𝑍⟶ℝ)
7978adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑛𝑍 ↦ -𝐵):𝑍⟶ℝ)
8079ffnd 6515 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) Fn 𝑍)
81 fvelrnb 6726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵) Fn 𝑍 → (𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) ↔ ∃𝑚𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟))
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) ↔ ∃𝑚𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟))
8373, 76, 823bitr4d 313 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (-𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵) ↔ 𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵)))
8483pm5.32da 581 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑟 ∈ ℝ ∧ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵))))
8578frnd 6521 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) ⊆ ℝ)
8685sseld 3966 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) → 𝑟 ∈ ℝ))
8786pm4.71rd 565 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵))))
8884, 87bitr4d 284 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑟 ∈ ℝ ∧ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)) ↔ 𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵)))
8943, 88syl5bb 285 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑟 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)} ↔ 𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵)))
9089alrimiv 1928 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑟(𝑟 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)} ↔ 𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵)))
91 nfrab1 3384 . . . . . . . . 9 𝑟{𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)}
92 nfcv 2977 . . . . . . . . 9 𝑟ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵)
9391, 92cleqf 3010 . . . . . . . 8 ({𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)} = ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) ↔ ∀𝑟(𝑟 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)} ↔ 𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵)))
9490, 93sylibr 236 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)} = ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵))
9594supeq1d 8910 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)}, ℝ, < ) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < ))
9695negeqd 10880 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → -sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)}, ℝ, < ) = -sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < ))
9742, 96eqtrd 2856 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → inf(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) = -sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < ))
9897mpteq2dva 5161 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ inf(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < )) = (𝑥𝐴 ↦ -sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < )))
991, 98syl5eq 2868 . 2 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ -sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < )))
100 ltso 10721 . . . . 5 < Or ℝ
101100supex 8927 . . . 4 sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < ) ∈ V
102101a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < ) ∈ V)
103 eqid 2821 . . . 4 (𝑥𝐴 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < )) = (𝑥𝐴 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < ))
1042anassrs 470 . . . . 5 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
105 mbfinf.4 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
106104, 105mbfneg 24251 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ MblFn)
1072renegcld 11067 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → -𝐵 ∈ ℝ)
108 renegcl 10949 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
109108ad2antrl 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵)) → -𝑦 ∈ ℝ)
110 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑦 ∈ ℝ)
1113adantlr 713 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
112110, 111lenegd 11219 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑦𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝑦))
113112ralbidva 3196 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑛𝑍 𝑦𝐵 ↔ ∀𝑛𝑍 -𝐵 ≤ -𝑦))
114113biimpd 231 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑛𝑍 𝑦𝐵 → ∀𝑛𝑍 -𝐵 ≤ -𝑦))
115114impr 457 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵)) → ∀𝑛𝑍 -𝐵 ≤ -𝑦)
116 brralrspcev 5126 . . . . . 6 ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 -𝐵 ≤ -𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 -𝐵𝑧)
117109, 115, 116syl2anc 586 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 -𝐵𝑧)
11819, 117rexlimddv 3291 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 -𝐵𝑧)
1199, 103, 6, 106, 107, 118mbfsup 24265 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < )) ∈ MblFn)
120102, 119mbfneg 24251 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < )) ∈ MblFn)
12199, 120eqeltrd 2913 1 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  wal 1535   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3016  wral 3138  wrex 3139  {crab 3142  Vcvv 3494  wss 3936  c0 4291   class class class wbr 5066  cmpt 5146  dom cdm 5555  ran crn 5556   Fn wfn 6350  wf 6351  cfv 6355  supcsup 8904  infcinf 8905  cc 10535  cr 10536   < clt 10675  cle 10676  -cneg 10871  cz 11982  cuz 12244  MblFncmbf 24215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cc 9857  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-disj 5032  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-omul 8107  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-dju 9330  df-card 9368  df-acn 9371  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-xadd 12509  df-ioo 12743  df-ioc 12744  df-ico 12745  df-icc 12746  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-seq 13371  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-xmet 20538  df-met 20539  df-ovol 24065  df-vol 24066  df-mbf 24220
This theorem is referenced by:  mbflimsup  24267
  Copyright terms: Public domain W3C validator