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Theorem mbfinf 25045
Description: The infimum of a sequence of measurable, real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfinf.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
mbfinf.2 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < ))
mbfinf.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
mbfinf.4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
mbfinf.5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
mbfinf.6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
mbfinf (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝑦,𝐴   πœ‘,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑛,𝑍,π‘₯,𝑦   𝑦,𝐡
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑛)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑛)   𝑀(π‘₯,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem mbfinf
Dummy variables π‘š π‘Ÿ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfinf.2 . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < ))
2 mbfinf.5 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
32anass1rs 654 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
43fmpttd 7068 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβ„)
54frnd 6681 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) βŠ† ℝ)
6 mbfinf.3 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
7 uzid 12785 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
9 mbfinf.1 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
108, 9eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑍)
1110adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ 𝑍)
12 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)
1312, 3dmmptd 6651 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ dom (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) = 𝑍)
1411, 13eleqtrrd 2841 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ dom (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡))
1514ne0d 4300 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ dom (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β‰  βˆ…)
16 dm0rn0 5885 . . . . . . . 8 (dom (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) = βˆ… ↔ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) = βˆ…)
1716necon3bii 2997 . . . . . . 7 (dom (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β‰  βˆ… ↔ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β‰  βˆ…)
1815, 17sylib 217 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β‰  βˆ…)
19 mbfinf.6 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡)
204ffnd 6674 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) Fn 𝑍)
21 breq2 5114 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) β†’ (𝑦 ≀ 𝑧 ↔ 𝑦 ≀ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š)))
2221ralrn 7043 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) Fn 𝑍 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)𝑦 ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š)))
2320, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)𝑦 ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š)))
24 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑛𝑦
25 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑛 ≀
26 nffvmpt1 6858 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š)
2724, 25, 26nfbr 5157 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛 𝑦 ≀ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š)
28 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘š 𝑦 ≀ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)
29 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 𝑛 β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›))
3029breq2d 5122 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝑦 ≀ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) ↔ 𝑦 ≀ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)))
3127, 28, 30cbvralw 3292 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›))
32 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
3312fvmpt2 6964 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = 𝐡)
3432, 3, 33syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = 𝐡)
3534breq2d 5122 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (𝑦 ≀ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) ↔ 𝑦 ≀ 𝐡))
3635ralbidva 3173 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡))
3731, 36bitrid 283 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘š ∈ 𝑍 𝑦 ≀ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡))
3823, 37bitrd 279 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)𝑦 ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡))
3938rexbidv 3176 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)𝑦 ≀ 𝑧 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡))
4019, 39mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)𝑦 ≀ 𝑧)
41 infrenegsup 12145 . . . . . 6 ((ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) βŠ† ℝ ∧ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)𝑦 ≀ 𝑧) β†’ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < ) = -sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ -π‘Ÿ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)}, ℝ, < ))
425, 18, 40, 41syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < ) = -sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ -π‘Ÿ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)}, ℝ, < ))
43 rabid 3430 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ -π‘Ÿ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)} ↔ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ -π‘Ÿ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)))
443recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
4544adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
46 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
4746recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
48 negcon2 11461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘Ÿ ∈ β„‚) β†’ (𝐡 = -π‘Ÿ ↔ π‘Ÿ = -𝐡))
4945, 47, 48syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (𝐡 = -π‘Ÿ ↔ π‘Ÿ = -𝐡))
50 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ÿ = -𝐡 ↔ -𝐡 = π‘Ÿ)
5149, 50bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (𝐡 = -π‘Ÿ ↔ -𝐡 = π‘Ÿ))
5234adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = 𝐡)
5352eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = -π‘Ÿ ↔ 𝐡 = -π‘Ÿ))
54 negex 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -𝐡 ∈ V
55 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡)
5655fvmpt2 6964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ -𝐡 ∈ V) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡)β€˜π‘›) = -𝐡)
5754, 56mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡)β€˜π‘›) = -𝐡)
5857adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡)β€˜π‘›) = -𝐡)
5958eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡)β€˜π‘›) = π‘Ÿ ↔ -𝐡 = π‘Ÿ))
6051, 53, 593bitr4d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = -π‘Ÿ ↔ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡)β€˜π‘›) = π‘Ÿ))
6160ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = -π‘Ÿ ↔ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡)β€˜π‘›) = π‘Ÿ))
6226nfeq1 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = -π‘Ÿ
63 nffvmpt1 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡)β€˜π‘š)
6463nfeq1 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡)β€˜π‘š) = π‘Ÿ
6562, 64nfbi 1907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑛(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = -π‘Ÿ ↔ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡)β€˜π‘š) = π‘Ÿ)
66 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘š(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = -π‘Ÿ ↔ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡)β€˜π‘›) = π‘Ÿ)
67 fveqeq2 6856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘š = 𝑛 β†’ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = -π‘Ÿ ↔ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = -π‘Ÿ))
68 fveqeq2 6856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘š = 𝑛 β†’ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡)β€˜π‘š) = π‘Ÿ ↔ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡)β€˜π‘›) = π‘Ÿ))
6967, 68bibi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘š = 𝑛 β†’ ((((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = -π‘Ÿ ↔ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡)β€˜π‘š) = π‘Ÿ) ↔ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = -π‘Ÿ ↔ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡)β€˜π‘›) = π‘Ÿ)))
7065, 66, 69cbvralw 3292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = -π‘Ÿ ↔ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡)β€˜π‘š) = π‘Ÿ) ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = -π‘Ÿ ↔ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡)β€˜π‘›) = π‘Ÿ))
7161, 70sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = -π‘Ÿ ↔ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡)β€˜π‘š) = π‘Ÿ))
7271r19.21bi 3237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = -π‘Ÿ ↔ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡)β€˜π‘š) = π‘Ÿ))
7372rexbidva 3174 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = -π‘Ÿ ↔ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡)β€˜π‘š) = π‘Ÿ))
7420adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) Fn 𝑍)
75 fvelrnb 6908 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) Fn 𝑍 β†’ (-π‘Ÿ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ↔ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = -π‘Ÿ))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (-π‘Ÿ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ↔ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = -π‘Ÿ))
773renegcld 11589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ -𝐡 ∈ ℝ)
7877fmpttd 7068 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡):π‘βŸΆβ„)
7978adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡):π‘βŸΆβ„)
8079ffnd 6674 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡) Fn 𝑍)
81 fvelrnb 6908 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡) Fn 𝑍 β†’ (π‘Ÿ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡) ↔ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡)β€˜π‘š) = π‘Ÿ))
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (π‘Ÿ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡) ↔ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡)β€˜π‘š) = π‘Ÿ))
8373, 76, 823bitr4d 311 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (-π‘Ÿ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ↔ π‘Ÿ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡)))
8483pm5.32da 580 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ -π‘Ÿ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ↔ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡))))
8578frnd 6681 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡) βŠ† ℝ)
8685sseld 3948 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ÿ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ))
8786pm4.71rd 564 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ÿ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡) ↔ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡))))
8884, 87bitr4d 282 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ -π‘Ÿ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ↔ π‘Ÿ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡)))
8943, 88bitrid 283 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ÿ ∈ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ -π‘Ÿ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)} ↔ π‘Ÿ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡)))
9089alrimiv 1931 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘Ÿ(π‘Ÿ ∈ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ -π‘Ÿ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)} ↔ π‘Ÿ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡)))
91 nfrab1 3429 . . . . . . . . 9 β„²π‘Ÿ{π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ -π‘Ÿ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)}
92 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 β„²π‘Ÿran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡)
9391, 92cleqf 2939 . . . . . . . 8 ({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ -π‘Ÿ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)} = ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡) ↔ βˆ€π‘Ÿ(π‘Ÿ ∈ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ -π‘Ÿ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)} ↔ π‘Ÿ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡)))
9490, 93sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ -π‘Ÿ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)} = ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡))
9594supeq1d 9389 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ -π‘Ÿ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)}, ℝ, < ) = sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡), ℝ, < ))
9695negeqd 11402 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ -π‘Ÿ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)}, ℝ, < ) = -sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡), ℝ, < ))
9742, 96eqtrd 2777 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < ) = -sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡), ℝ, < ))
9897mpteq2dva 5210 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < )) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡), ℝ, < )))
991, 98eqtrid 2789 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡), ℝ, < )))
100 ltso 11242 . . . . 5 < Or ℝ
101100supex 9406 . . . 4 sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡), ℝ, < ) ∈ V
102101a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡), ℝ, < ) ∈ V)
103 eqid 2737 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡), ℝ, < )) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡), ℝ, < ))
1042anassrs 469 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
105 mbfinf.4 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
106104, 105mbfneg 25030 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝐡) ∈ MblFn)
1072renegcld 11589 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ -𝐡 ∈ ℝ)
108 renegcl 11471 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ β†’ -𝑦 ∈ ℝ)
109108ad2antrl 727 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡)) β†’ -𝑦 ∈ ℝ)
110 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
1113adantlr 714 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
112110, 111lenegd 11741 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (𝑦 ≀ 𝐡 ↔ -𝐡 ≀ -𝑦))
113112ralbidva 3173 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡 ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -𝐡 ≀ -𝑦))
114113biimpd 228 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡 β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -𝐡 ≀ -𝑦))
115114impr 456 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -𝐡 ≀ -𝑦)
116 brralrspcev 5170 . . . . . 6 ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -𝐡 ≀ -𝑦) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -𝐡 ≀ 𝑧)
117109, 115, 116syl2anc 585 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -𝐡 ≀ 𝑧)
11819, 117rexlimddv 3159 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 -𝐡 ≀ 𝑧)
1199, 103, 6, 106, 107, 118mbfsup 25044 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡), ℝ, < )) ∈ MblFn)
120102, 119mbfneg 25030 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ -𝐡), ℝ, < )) ∈ MblFn)
12199, 120eqeltrd 2838 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  ran crn 5639   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  supcsup 9383  infcinf 9384  β„‚cc 11056  β„cr 11057   < clt 11196   ≀ cle 11197  -cneg 11393  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  MblFncmbf 24994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-xmet 20805  df-met 20806  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999
This theorem is referenced by:  mbflimsup  25046
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