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Theorem mbfinf 25713
Description: The infimum of a sequence of measurable, real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfinf.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
mbfinf.2 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ inf(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
mbfinf.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
mbfinf.4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
mbfinf.5 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
mbfinf.6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵)
Assertion
Ref Expression
mbfinf (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐴   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem mbfinf
Dummy variables 𝑚 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfinf.2 . . 3 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ inf(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
2 mbfinf.5 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
32anass1rs 655 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
43fmpttd 7134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ)
54frnd 6744 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ran (𝑛𝑍𝐵) ⊆ ℝ)
6 mbfinf.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 uzid 12890 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
9 mbfinf.1 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ𝑀)
108, 9eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀𝑍)
1110adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀𝑍)
12 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑍𝐵) = (𝑛𝑍𝐵)
1312, 3dmmptd 6713 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → dom (𝑛𝑍𝐵) = 𝑍)
1411, 13eleqtrrd 2841 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ dom (𝑛𝑍𝐵))
1514ne0d 4347 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → dom (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅)
16 dm0rn0 5937 . . . . . . . 8 (dom (𝑛𝑍𝐵) = ∅ ↔ ran (𝑛𝑍𝐵) = ∅)
1716necon3bii 2990 . . . . . . 7 (dom (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅ ↔ ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅)
1815, 17sylib 218 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅)
19 mbfinf.6 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵)
204ffnd 6737 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍)
21 breq2 5151 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) → (𝑦𝑧𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)))
2221ralrn 7107 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍 → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑦𝑧 ↔ ∀𝑚𝑍 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)))
2320, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑦𝑧 ↔ ∀𝑚𝑍 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)))
24 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 𝑛𝑦
25 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 𝑛
26 nffvmpt1 6917 . . . . . . . . . . . 12 𝑛((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)
2724, 25, 26nfbr 5194 . . . . . . . . . . 11 𝑛 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)
28 nfv 1911 . . . . . . . . . . 11 𝑚 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)
29 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛))
3029breq2d 5159 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)))
3127, 28, 30cbvralw 3303 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚𝑍 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ↔ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛))
32 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
3312fvmpt2 7026 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛𝑍𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
3432, 3, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
3534breq2d 5159 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ↔ 𝑦𝐵))
3635ralbidva 3173 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵))
3731, 36bitrid 283 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑚𝑍 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ↔ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵))
3823, 37bitrd 279 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑦𝑧 ↔ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵))
3938rexbidv 3176 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵))
4019, 39mpbird 257 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑦𝑧)
41 infrenegsup 12248 . . . . . 6 ((ran (𝑛𝑍𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑦𝑧) → inf(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) = -sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)}, ℝ, < ))
425, 18, 40, 41syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → inf(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) = -sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)}, ℝ, < ))
43 rabid 3454 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)} ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)))
443recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
4544adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
46 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑟 ∈ ℝ)
4746recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑟 ∈ ℂ)
48 negcon2 11559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝐵 = -𝑟𝑟 = -𝐵))
4945, 47, 48syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐵 = -𝑟𝑟 = -𝐵))
50 eqcom 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑟 = -𝐵 ↔ -𝐵 = 𝑟)
5149, 50bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐵 = -𝑟 ↔ -𝐵 = 𝑟))
5234adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
5352eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = -𝑟𝐵 = -𝑟))
54 negex 11503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -𝐵 ∈ V
55 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) = (𝑛𝑍 ↦ -𝐵)
5655fvmpt2 7026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛𝑍 ∧ -𝐵 ∈ V) → ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = -𝐵)
5754, 56mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛𝑍 → ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = -𝐵)
5857adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = -𝐵)
5958eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = 𝑟 ↔ -𝐵 = 𝑟))
6051, 53, 593bitr4d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = 𝑟))
6160ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∀𝑛𝑍 (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = 𝑟))
6226nfeq1 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟
63 nffvmpt1 6917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚)
6463nfeq1 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟
6562, 64nfbi 1900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟)
66 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = 𝑟)
67 fveqeq2 6915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = -𝑟))
68 fveqeq2 6915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = 𝑟))
6967, 68bibi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 𝑛 → ((((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟) ↔ (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = 𝑟)))
7065, 66, 69cbvralw 3303 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑚𝑍 (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟) ↔ ∀𝑛𝑍 (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = 𝑟))
7161, 70sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∀𝑚𝑍 (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟))
7271r19.21bi 3248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑚𝑍) → (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟))
7372rexbidva 3174 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∃𝑚𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟 ↔ ∃𝑚𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟))
7420adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍)
75 fvelrnb 6968 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍 → (-𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵) ↔ ∃𝑚𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (-𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵) ↔ ∃𝑚𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟))
773renegcld 11687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → -𝐵 ∈ ℝ)
7877fmpttd 7134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍 ↦ -𝐵):𝑍⟶ℝ)
7978adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑛𝑍 ↦ -𝐵):𝑍⟶ℝ)
8079ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) Fn 𝑍)
81 fvelrnb 6968 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵) Fn 𝑍 → (𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) ↔ ∃𝑚𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟))
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) ↔ ∃𝑚𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟))
8373, 76, 823bitr4d 311 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (-𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵) ↔ 𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵)))
8483pm5.32da 579 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑟 ∈ ℝ ∧ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵))))
8578frnd 6744 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) ⊆ ℝ)
8685sseld 3993 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) → 𝑟 ∈ ℝ))
8786pm4.71rd 562 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵))))
8884, 87bitr4d 282 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑟 ∈ ℝ ∧ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)) ↔ 𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵)))
8943, 88bitrid 283 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑟 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)} ↔ 𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵)))
9089alrimiv 1924 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑟(𝑟 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)} ↔ 𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵)))
91 nfrab1 3453 . . . . . . . . 9 𝑟{𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)}
92 nfcv 2902 . . . . . . . . 9 𝑟ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵)
9391, 92cleqf 2931 . . . . . . . 8 ({𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)} = ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) ↔ ∀𝑟(𝑟 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)} ↔ 𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵)))
9490, 93sylibr 234 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)} = ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵))
9594supeq1d 9483 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)}, ℝ, < ) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < ))
9695negeqd 11499 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → -sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)}, ℝ, < ) = -sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < ))
9742, 96eqtrd 2774 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → inf(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) = -sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < ))
9897mpteq2dva 5247 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ inf(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < )) = (𝑥𝐴 ↦ -sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < )))
991, 98eqtrid 2786 . 2 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ -sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < )))
100 ltso 11338 . . . . 5 < Or ℝ
101100supex 9500 . . . 4 sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < ) ∈ V
102101a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < ) ∈ V)
103 eqid 2734 . . . 4 (𝑥𝐴 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < )) = (𝑥𝐴 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < ))
1042anassrs 467 . . . . 5 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
105 mbfinf.4 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
106104, 105mbfneg 25698 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ MblFn)
1072renegcld 11687 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → -𝐵 ∈ ℝ)
108 renegcl 11569 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
109108ad2antrl 728 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵)) → -𝑦 ∈ ℝ)
110 simplr 769 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑦 ∈ ℝ)
1113adantlr 715 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
112110, 111lenegd 11839 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑦𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝑦))
113112ralbidva 3173 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑛𝑍 𝑦𝐵 ↔ ∀𝑛𝑍 -𝐵 ≤ -𝑦))
114113biimpd 229 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑛𝑍 𝑦𝐵 → ∀𝑛𝑍 -𝐵 ≤ -𝑦))
115114impr 454 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵)) → ∀𝑛𝑍 -𝐵 ≤ -𝑦)
116 brralrspcev 5207 . . . . . 6 ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 -𝐵 ≤ -𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 -𝐵𝑧)
117109, 115, 116syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 -𝐵𝑧)
11819, 117rexlimddv 3158 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 -𝐵𝑧)
1199, 103, 6, 106, 107, 118mbfsup 25712 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < )) ∈ MblFn)
120102, 119mbfneg 25698 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < )) ∈ MblFn)
12199, 120eqeltrd 2838 1 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wal 1534   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  {crab 3432  Vcvv 3477  wss 3962  c0 4338   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5688  ran crn 5689   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  supcsup 9477  infcinf 9478  cc 11150  cr 11151   < clt 11292  cle 11293  -cneg 11490  cz 12610  cuz 12875  MblFncmbf 25662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xadd 13152  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-xmet 21374  df-met 21375  df-ovol 25512  df-vol 25513  df-mbf 25667
This theorem is referenced by:  mbflimsup  25714
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