Theorem pczpre 16825

Description: Connect the prime count pre-function to the actual prime count function, when restricted to the integers. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
pczpre.1	⊢ 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
pczpre	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) = 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem pczpre

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zq 12920	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < )
3		eqid 2730	. . . 4 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )
4	2, 3	pcval 16822	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) = (℩𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )))))
5	1, 4	sylanr1 682	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) = (℩𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )))))
6		simprl 770	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12646	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
8	7	div1d 11957	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑁 / 1) = 𝑁)
9	8	eqcomd 2736	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 = (𝑁 / 1))
10		prmuz2 16673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
11		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = 1
12		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}
13		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < )
14	12, 13	pcpre1 16820	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 = 1) → sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < ) = 0)
15	10, 11, 14	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < ) = 0)
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < ) = 0)
17	16	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < )) = (𝑆 − 0))
18		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}
19		pczpre.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}, ℝ, < )
20	18, 19	pcprecl 16817	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑁))
21	10, 20	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑁))
22	21	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
23	22	nn0cnd 12512	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℂ)
24	23	subid1d 11529	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 − 0) = 𝑆)
25	17, 24	eqtr2d 2766	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑆 = (𝑆 − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < )))
26		1nn 12204	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
27		oveq1 7397	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑁 / 𝑦))
28	27	eqeq2d 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝑁 = (𝑁 / 𝑦)))
29		breq2 5114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥 ↔ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁))
30	29	rabbidv 3416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁})
31	30	supeq1d 9404	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}, ℝ, < ))
32	31, 19	eqtr4di 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) = 𝑆)
33	32	oveq1d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )) = (𝑆 − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )))
34	33	eqeq2d 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑆 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )) ↔ 𝑆 = (𝑆 − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < ))))
35	28, 34	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑆 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < ))) ↔ (𝑁 = (𝑁 / 𝑦) ∧ 𝑆 = (𝑆 − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )))))
36		oveq2 7398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑁 / 𝑦) = (𝑁 / 1))
37	36	eqeq2d 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑁 = (𝑁 / 𝑦) ↔ 𝑁 = (𝑁 / 1)))
38		breq2 5114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 1 → ((𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦 ↔ (𝑃↑𝑛) ∥ 1))
39	38	rabbidv 3416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 1 → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1})
40	39	supeq1d 9404	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 1 → sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < ))
41	40	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑆 − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )) = (𝑆 − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < )))
42	41	eqeq2d 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑆 = (𝑆 − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )) ↔ 𝑆 = (𝑆 − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < ))))
43	37, 42	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → ((𝑁 = (𝑁 / 𝑦) ∧ 𝑆 = (𝑆 − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < ))) ↔ (𝑁 = (𝑁 / 1) ∧ 𝑆 = (𝑆 − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < )))))
44	35, 43	rspc2ev 3604	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ (𝑁 = (𝑁 / 1) ∧ 𝑆 = (𝑆 − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < )))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑆 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < ))))
45	26, 44	mp3an2 1451	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 = (𝑁 / 1) ∧ 𝑆 = (𝑆 − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < )))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑆 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < ))))
46	6, 9, 25, 45	syl12anc 836	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑆 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < ))))
47		ltso 11261	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
48	47	supex 9422	. . . . 5 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}, ℝ, < ) ∈ V
49	19, 48	eqeltri 2825	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ V
50	2, 3	pceu 16824	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃!𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < ))))
51	1, 50	sylanr1 682	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃!𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < ))))
52		eqeq1 2734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (𝑧 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )) ↔ 𝑆 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < ))))
53	52	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < ))) ↔ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑆 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )))))
54	53	2rexbidv 3203	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < ))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑆 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )))))
55	54	iota2 6503	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ ∃!𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )))) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑆 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < ))) ↔ (℩𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )))) = 𝑆))
56	49, 51, 55	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑆 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < ))) ↔ (℩𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )))) = 𝑆))
57	46, 56	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (℩𝑧∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑁 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )))) = 𝑆)
58	5, 57	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃!weu 2562   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054  {crab 3408  Vcvv 3450   class class class wbr 5110  ℩cio 6465  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  supcsup 9398  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   < clt 11215   − cmin 11412   / cdiv 11842  ℕcn 12193  2c2 12248  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ℚcq 12914  ↑cexp 14033   ∥ cdvds 16229  ℙcprime 16648   pCnt cpc 16814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16230  df-gcd 16472  df-prm 16649  df-pc 16815

This theorem is referenced by:  pczcl  16826  pcmul  16829  pcdiv  16830  pc1  16833  pczdvds  16841  pczndvds  16843  pczndvds2  16845  pcneg  16852