MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfsup 25699
Description: The supremum of a sequence of measurable, real-valued functions is measurable. Note that in this and related theorems, 𝐵(𝑛, 𝑥) is a function of both 𝑛 and 𝑥, since it is an 𝑛-indexed sequence of functions on 𝑥. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfsup.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
mbfsup.2 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
mbfsup.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
mbfsup.4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
mbfsup.5 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
mbfsup.6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦)
Assertion
Ref Expression
mbfsup (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem mbfsup
Dummy variables 𝑚 𝑧 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfsup.5 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
21anassrs 467 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
32an32s 652 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
43fmpttd 7135 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ)
54frnd 6744 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ran (𝑛𝑍𝐵) ⊆ ℝ)
6 mbfsup.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 uzid 12893 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
86, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
9 mbfsup.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
108, 9eleqtrrdi 2852 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝑍)
1110adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀𝑍)
12 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍𝐵) = (𝑛𝑍𝐵)
1312, 3dmmptd 6713 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → dom (𝑛𝑍𝐵) = 𝑍)
1411, 13eleqtrrd 2844 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ dom (𝑛𝑍𝐵))
1514ne0d 4342 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → dom (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅)
16 dm0rn0 5935 . . . . . 6 (dom (𝑛𝑍𝐵) = ∅ ↔ ran (𝑛𝑍𝐵) = ∅)
1716necon3bii 2993 . . . . 5 (dom (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅ ↔ ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅)
1815, 17sylib 218 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅)
19 mbfsup.6 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦)
204ffnd 6737 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍)
21 breq1 5146 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) → (𝑧𝑦 ↔ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ≤ 𝑦))
2221ralrn 7108 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍 → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦 ↔ ∀𝑚𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ≤ 𝑦))
2320, 22syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦 ↔ ∀𝑚𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ≤ 𝑦))
24 nffvmpt1 6917 . . . . . . . . . 10 𝑛((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)
25 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑛
26 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑦
2724, 25, 26nfbr 5190 . . . . . . . . 9 𝑛((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ≤ 𝑦
28 nfv 1914 . . . . . . . . 9 𝑚((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ≤ 𝑦
29 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛))
3029breq1d 5153 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ≤ 𝑦 ↔ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ≤ 𝑦))
3127, 28, 30cbvralw 3306 . . . . . . . 8 (∀𝑚𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ≤ 𝑦)
32 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
3312fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛𝑍𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
3432, 3, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
3534breq1d 5153 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ≤ 𝑦𝐵𝑦))
3635ralbidva 3176 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑛𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦))
3731, 36bitrid 283 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑚𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦))
3823, 37bitrd 279 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦 ↔ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦))
3938rexbidv 3179 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦))
4019, 39mpbird 257 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦)
415, 18, 40suprcld 12231 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) ∈ ℝ)
42 mbfsup.2 . . 3 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
4341, 42fmptd 7134 . 2 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
44 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
45 ltso 11341 . . . . . . . . . . . . . 14 < Or ℝ
4645supex 9503 . . . . . . . . . . . . 13 sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) ∈ V
4742fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐴 ∧ sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) ∈ V) → (𝐺𝑥) = sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
4844, 46, 47sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
4948breq2d 5155 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑡 < (𝐺𝑥) ↔ 𝑡 < sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < )))
505, 18, 403jca 1129 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (ran (𝑛𝑍𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦))
5150adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (ran (𝑛𝑍𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦))
52 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑡 ∈ ℝ)
53 suprlub 12232 . . . . . . . . . . . 12 (((ran (𝑛𝑍𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 < sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑡 < 𝑧))
5451, 52, 53syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑡 < sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑡 < 𝑧))
5520adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍)
56 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) → (𝑡 < 𝑧𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)))
5756rexrn 7107 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍 → (∃𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑡 < 𝑧 ↔ ∃𝑚𝑍 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)))
5855, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑡 < 𝑧 ↔ ∃𝑚𝑍 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)))
59 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛𝑡
60 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛 <
6159, 60, 24nfbr 5190 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)
62 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑚 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)
6329breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑛 → (𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ↔ 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)))
6461, 62, 63cbvrexw 3307 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑚𝑍 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛))
6512fvmpt2i 7026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛𝑍 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = ( I ‘𝐵))
66 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
6766fvmpt2i 7026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐴 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = ( I ‘𝐵))
6867adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = ( I ‘𝐵))
6968eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → ( I ‘𝐵) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
7065, 69sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
7170breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ↔ 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)))
7271rexbidva 3177 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)))
7372adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)))
7464, 73bitrid 283 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑚𝑍 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)))
7558, 74bitrd 279 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑡 < 𝑧 ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)))
7649, 54, 753bitrd 305 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑡 < (𝐺𝑥) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)))
7776ralrimiva 3146 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → ∀𝑥𝐴 (𝑡 < (𝐺𝑥) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)))
78 nfv 1914 . . . . . . . . . 10 𝑧(𝑡 < (𝐺𝑥) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
79 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑡
80 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 <
81 nfmpt1 5250 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝑥𝐴 ↦ sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
8242, 81nfcxfr 2903 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐺
83 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑧
8482, 83nffv 6916 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝐺𝑧)
8579, 80, 84nfbr 5190 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑡 < (𝐺𝑧)
86 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑍
87 nffvmpt1 6917 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)
8879, 80, 87nfbr 5190 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)
8986, 88nfrexw 3313 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)
9085, 89nfbi 1903 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑡 < (𝐺𝑧) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))
91 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑧))
9291breq2d 5155 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (𝑡 < (𝐺𝑥) ↔ 𝑡 < (𝐺𝑧)))
93 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))
9493breq2d 5155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)))
9594rexbidv 3179 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)))
9692, 95bibi12d 345 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑡 < (𝐺𝑥) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ↔ (𝑡 < (𝐺𝑧) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))))
9778, 90, 96cbvralw 3306 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐴 (𝑡 < (𝐺𝑥) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑡 < (𝐺𝑧) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)))
9877, 97sylib 218 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → ∀𝑧𝐴 (𝑡 < (𝐺𝑧) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)))
9998r19.21bi 3251 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑡 < (𝐺𝑧) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)))
10043adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
101100ffvelcdmda 7104 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐺𝑧) ∈ ℝ)
102 rexr 11307 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℝ*)
103102ad2antlr 727 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑡 ∈ ℝ*)
104 elioopnf 13483 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ ℝ* → ((𝐺𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑡 < (𝐺𝑧))))
105103, 104syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑡 < (𝐺𝑧))))
106101, 105mpbirand 707 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞) ↔ 𝑡 < (𝐺𝑧)))
107103adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑡 ∈ ℝ*)
108 elioopnf 13483 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ ℝ* → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞) ↔ (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))))
109107, 108syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞) ↔ (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))))
1102fmpttd 7135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ)
111110ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ ℝ)
112111biantrurd 532 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ↔ (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))))
113112an32s 652 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ↔ (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))))
114113adantllr 719 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ↔ (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))))
115109, 114bitr4d 282 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞) ↔ 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)))
116115rexbidva 3177 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (∃𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)))
11799, 106, 1163bitr4d 311 . . . . . 6 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞) ↔ ∃𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞)))
118117pm5.32da 579 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ∃𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
11943ffnd 6737 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 Fn 𝐴)
120119adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝐺 Fn 𝐴)
121 elpreima 7078 . . . . . 6 (𝐺 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐺 “ (𝑡(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
122120, 121syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐺 “ (𝑡(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
123 eliun 4995 . . . . . 6 (𝑧 𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑧 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)))
124110ffnd 6737 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) Fn 𝐴)
125 elpreima 7078 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝐵) Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
126124, 125syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
127126rexbidva 3177 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑛𝑍 𝑧 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ↔ ∃𝑛𝑍 (𝑧𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
128127adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (∃𝑛𝑍 𝑧 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ↔ ∃𝑛𝑍 (𝑧𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
129 r19.42v 3191 . . . . . . 7 (∃𝑛𝑍 (𝑧𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ∃𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞)))
130128, 129bitrdi 287 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (∃𝑛𝑍 𝑧 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ∃𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
131123, 130bitrid 283 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑧 𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ∃𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
132118, 122, 1313bitr4d 311 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐺 “ (𝑡(,)+∞)) ↔ 𝑧 𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞))))
133132eqrdv 2735 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝐺 “ (𝑡(,)+∞)) = 𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)))
134 zex 12622 . . . . . . 7 ℤ ∈ V
135 uzssz 12899 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
136 ssdomg 9040 . . . . . . 7 (ℤ ∈ V → ((ℤ𝑀) ⊆ ℤ → (ℤ𝑀) ≼ ℤ))
137134, 135, 136mp2 9 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ≼ ℤ
1389, 137eqbrtri 5164 . . . . 5 𝑍 ≼ ℤ
139 znnen 16248 . . . . 5 ℤ ≈ ℕ
140 domentr 9053 . . . . 5 ((𝑍 ≼ ℤ ∧ ℤ ≈ ℕ) → 𝑍 ≼ ℕ)
141138, 139, 140mp2an 692 . . . 4 𝑍 ≼ ℕ
142 mbfsup.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
143 mbfima 25665 . . . . . . 7 (((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ∈ dom vol)
144142, 110, 143syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ∈ dom vol)
145144ralrimiva 3146 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ∈ dom vol)
146145adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → ∀𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ∈ dom vol)
147 iunmbl2 25592 . . . 4 ((𝑍 ≼ ℕ ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ∈ dom vol) → 𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ∈ dom vol)
148141, 146, 147sylancr 587 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ∈ dom vol)
149133, 148eqeltrd 2841 . 2 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝐺 “ (𝑡(,)+∞)) ∈ dom vol)
15043, 149ismbf3d 25689 1 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  wss 3951  c0 4333   ciun 4991   class class class wbr 5143  cmpt 5225   I cid 5577  ccnv 5684  dom cdm 5685  ran crn 5686  cima 5688   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cen 8982  cdom 8983  supcsup 9480  cr 11154  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cn 12266  cz 12613  cuz 12878  (,)cioo 13387  volcvol 25498  MblFncmbf 25649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-xmet 21357  df-met 21358  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654
This theorem is referenced by:  mbfinf  25700  mbflimsup  25701
  Copyright terms: Public domain W3C validator