MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfsup 25642
Description: The supremum of a sequence of measurable, real-valued functions is measurable. Note that in this and related theorems, 𝐵(𝑛, 𝑥) is a function of both 𝑛 and 𝑥, since it is an 𝑛-indexed sequence of functions on 𝑥. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfsup.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
mbfsup.2 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
mbfsup.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
mbfsup.4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
mbfsup.5 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
mbfsup.6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦)
Assertion
Ref Expression
mbfsup (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem mbfsup
Dummy variables 𝑚 𝑧 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfsup.5 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
21anassrs 466 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
32an32s 650 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
43fmpttd 7124 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ)
54frnd 6731 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ran (𝑛𝑍𝐵) ⊆ ℝ)
6 mbfsup.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 uzid 12875 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
86, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
9 mbfsup.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
108, 9eleqtrrdi 2836 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝑍)
1110adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀𝑍)
12 eqid 2725 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍𝐵) = (𝑛𝑍𝐵)
1312, 3dmmptd 6701 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → dom (𝑛𝑍𝐵) = 𝑍)
1411, 13eleqtrrd 2828 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ dom (𝑛𝑍𝐵))
1514ne0d 4335 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → dom (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅)
16 dm0rn0 5927 . . . . . 6 (dom (𝑛𝑍𝐵) = ∅ ↔ ran (𝑛𝑍𝐵) = ∅)
1716necon3bii 2982 . . . . 5 (dom (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅ ↔ ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅)
1815, 17sylib 217 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅)
19 mbfsup.6 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦)
204ffnd 6724 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍)
21 breq1 5152 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) → (𝑧𝑦 ↔ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ≤ 𝑦))
2221ralrn 7097 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍 → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦 ↔ ∀𝑚𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ≤ 𝑦))
2320, 22syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦 ↔ ∀𝑚𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ≤ 𝑦))
24 nffvmpt1 6907 . . . . . . . . . 10 𝑛((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)
25 nfcv 2891 . . . . . . . . . 10 𝑛
26 nfcv 2891 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑦
2724, 25, 26nfbr 5196 . . . . . . . . 9 𝑛((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ≤ 𝑦
28 nfv 1909 . . . . . . . . 9 𝑚((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ≤ 𝑦
29 fveq2 6896 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛))
3029breq1d 5159 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ≤ 𝑦 ↔ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ≤ 𝑦))
3127, 28, 30cbvralw 3293 . . . . . . . 8 (∀𝑚𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ≤ 𝑦)
32 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
3312fvmpt2 7015 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛𝑍𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
3432, 3, 33syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
3534breq1d 5159 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ≤ 𝑦𝐵𝑦))
3635ralbidva 3165 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑛𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦))
3731, 36bitrid 282 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑚𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦))
3823, 37bitrd 278 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦 ↔ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦))
3938rexbidv 3168 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦))
4019, 39mpbird 256 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦)
415, 18, 40suprcld 12215 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) ∈ ℝ)
42 mbfsup.2 . . 3 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
4341, 42fmptd 7123 . 2 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
44 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
45 ltso 11331 . . . . . . . . . . . . . 14 < Or ℝ
4645supex 9493 . . . . . . . . . . . . 13 sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) ∈ V
4742fvmpt2 7015 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐴 ∧ sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) ∈ V) → (𝐺𝑥) = sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
4844, 46, 47sylancl 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
4948breq2d 5161 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑡 < (𝐺𝑥) ↔ 𝑡 < sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < )))
505, 18, 403jca 1125 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (ran (𝑛𝑍𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦))
5150adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (ran (𝑛𝑍𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦))
52 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑡 ∈ ℝ)
53 suprlub 12216 . . . . . . . . . . . 12 (((ran (𝑛𝑍𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 < sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑡 < 𝑧))
5451, 52, 53syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑡 < sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑡 < 𝑧))
5520adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍)
56 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) → (𝑡 < 𝑧𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)))
5756rexrn 7096 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍 → (∃𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑡 < 𝑧 ↔ ∃𝑚𝑍 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)))
5855, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑡 < 𝑧 ↔ ∃𝑚𝑍 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)))
59 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛𝑡
60 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛 <
6159, 60, 24nfbr 5196 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)
62 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑚 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)
6329breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑛 → (𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ↔ 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)))
6461, 62, 63cbvrexw 3294 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑚𝑍 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛))
6512fvmpt2i 7014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛𝑍 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = ( I ‘𝐵))
66 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
6766fvmpt2i 7014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐴 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = ( I ‘𝐵))
6867adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = ( I ‘𝐵))
6968eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → ( I ‘𝐵) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
7065, 69sylan9eqr 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
7170breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ↔ 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)))
7271rexbidva 3166 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)))
7372adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)))
7464, 73bitrid 282 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑚𝑍 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)))
7558, 74bitrd 278 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑡 < 𝑧 ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)))
7649, 54, 753bitrd 304 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑡 < (𝐺𝑥) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)))
7776ralrimiva 3135 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → ∀𝑥𝐴 (𝑡 < (𝐺𝑥) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)))
78 nfv 1909 . . . . . . . . . 10 𝑧(𝑡 < (𝐺𝑥) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
79 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑡
80 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 <
81 nfmpt1 5257 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝑥𝐴 ↦ sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
8242, 81nfcxfr 2889 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐺
83 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑧
8482, 83nffv 6906 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝐺𝑧)
8579, 80, 84nfbr 5196 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑡 < (𝐺𝑧)
86 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑍
87 nffvmpt1 6907 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)
8879, 80, 87nfbr 5196 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)
8986, 88nfrexw 3300 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)
9085, 89nfbi 1898 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑡 < (𝐺𝑧) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))
91 fveq2 6896 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑧))
9291breq2d 5161 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (𝑡 < (𝐺𝑥) ↔ 𝑡 < (𝐺𝑧)))
93 fveq2 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))
9493breq2d 5161 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)))
9594rexbidv 3168 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)))
9692, 95bibi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑡 < (𝐺𝑥) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ↔ (𝑡 < (𝐺𝑧) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))))
9778, 90, 96cbvralw 3293 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐴 (𝑡 < (𝐺𝑥) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑡 < (𝐺𝑧) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)))
9877, 97sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → ∀𝑧𝐴 (𝑡 < (𝐺𝑧) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)))
9998r19.21bi 3238 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑡 < (𝐺𝑧) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)))
10043adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
101100ffvelcdmda 7093 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐺𝑧) ∈ ℝ)
102 rexr 11297 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℝ*)
103102ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑡 ∈ ℝ*)
104 elioopnf 13460 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ ℝ* → ((𝐺𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑡 < (𝐺𝑧))))
105103, 104syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑡 < (𝐺𝑧))))
106101, 105mpbirand 705 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞) ↔ 𝑡 < (𝐺𝑧)))
107103adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑡 ∈ ℝ*)
108 elioopnf 13460 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ ℝ* → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞) ↔ (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))))
109107, 108syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞) ↔ (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))))
1102fmpttd 7124 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ)
111110ffvelcdmda 7093 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ ℝ)
112111biantrurd 531 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ↔ (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))))
113112an32s 650 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ↔ (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))))
114113adantllr 717 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ↔ (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))))
115109, 114bitr4d 281 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞) ↔ 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)))
116115rexbidva 3166 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (∃𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)))
11799, 106, 1163bitr4d 310 . . . . . 6 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞) ↔ ∃𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞)))
118117pm5.32da 577 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ∃𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
11943ffnd 6724 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 Fn 𝐴)
120119adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝐺 Fn 𝐴)
121 elpreima 7066 . . . . . 6 (𝐺 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐺 “ (𝑡(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
122120, 121syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐺 “ (𝑡(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
123 eliun 5001 . . . . . 6 (𝑧 𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑧 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)))
124110ffnd 6724 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) Fn 𝐴)
125 elpreima 7066 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝐵) Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
126124, 125syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
127126rexbidva 3166 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑛𝑍 𝑧 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ↔ ∃𝑛𝑍 (𝑧𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
128127adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (∃𝑛𝑍 𝑧 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ↔ ∃𝑛𝑍 (𝑧𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
129 r19.42v 3180 . . . . . . 7 (∃𝑛𝑍 (𝑧𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ∃𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞)))
130128, 129bitrdi 286 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (∃𝑛𝑍 𝑧 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ∃𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
131123, 130bitrid 282 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑧 𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ∃𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
132118, 122, 1313bitr4d 310 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐺 “ (𝑡(,)+∞)) ↔ 𝑧 𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞))))
133132eqrdv 2723 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝐺 “ (𝑡(,)+∞)) = 𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)))
134 zex 12605 . . . . . . 7 ℤ ∈ V
135 uzssz 12881 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
136 ssdomg 9021 . . . . . . 7 (ℤ ∈ V → ((ℤ𝑀) ⊆ ℤ → (ℤ𝑀) ≼ ℤ))
137134, 135, 136mp2 9 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ≼ ℤ
1389, 137eqbrtri 5170 . . . . 5 𝑍 ≼ ℤ
139 znnen 16197 . . . . 5 ℤ ≈ ℕ
140 domentr 9034 . . . . 5 ((𝑍 ≼ ℤ ∧ ℤ ≈ ℕ) → 𝑍 ≼ ℕ)
141138, 139, 140mp2an 690 . . . 4 𝑍 ≼ ℕ
142 mbfsup.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
143 mbfima 25608 . . . . . . 7 (((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ∈ dom vol)
144142, 110, 143syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ∈ dom vol)
145144ralrimiva 3135 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ∈ dom vol)
146145adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → ∀𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ∈ dom vol)
147 iunmbl2 25535 . . . 4 ((𝑍 ≼ ℕ ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ∈ dom vol) → 𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ∈ dom vol)
148141, 146, 147sylancr 585 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ∈ dom vol)
149133, 148eqeltrd 2825 . 2 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝐺 “ (𝑡(,)+∞)) ∈ dom vol)
15043, 149ismbf3d 25632 1 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  Vcvv 3461  wss 3944  c0 4322   ciun 4997   class class class wbr 5149  cmpt 5232   I cid 5575  ccnv 5677  dom cdm 5678  ran crn 5679  cima 5681   Fn wfn 6544  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  cen 8961  cdom 8962  supcsup 9470  cr 11144  +∞cpnf 11282  *cxr 11284   < clt 11285  cle 11286  cn 12250  cz 12596  cuz 12860  (,)cioo 13364  volcvol 25441  MblFncmbf 25592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9671  ax-cc 10465  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9472  df-inf 9473  df-oi 9540  df-dju 9931  df-card 9969  df-acn 9972  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xadd 13133  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13798  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14331  df-cj 15087  df-re 15088  df-im 15089  df-sqrt 15223  df-abs 15224  df-clim 15473  df-rlim 15474  df-sum 15674  df-xmet 21294  df-met 21295  df-ovol 25442  df-vol 25443  df-mbf 25597
This theorem is referenced by:  mbfinf  25643  mbflimsup  25644
  Copyright terms: Public domain W3C validator