MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfsup 25044
Description: The supremum of a sequence of measurable, real-valued functions is measurable. Note that in this and related theorems, 𝐡(𝑛, π‘₯) is a function of both 𝑛 and π‘₯, since it is an 𝑛-indexed sequence of functions on π‘₯. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfsup.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
mbfsup.2 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < ))
mbfsup.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
mbfsup.4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
mbfsup.5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
mbfsup.6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝐡 ≀ 𝑦)
Assertion
Ref Expression
mbfsup (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝑦,𝐴   𝑦,𝐡   πœ‘,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑛,𝑍,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑛)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑛)   𝑀(π‘₯,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem mbfsup
Dummy variables π‘š 𝑧 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfsup.5 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
21anassrs 469 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
32an32s 651 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
43fmpttd 7068 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβ„)
54frnd 6681 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) βŠ† ℝ)
6 mbfsup.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
7 uzid 12785 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
86, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
9 mbfsup.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
108, 9eleqtrrdi 2849 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑍)
1110adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ 𝑍)
12 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)
1312, 3dmmptd 6651 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ dom (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) = 𝑍)
1411, 13eleqtrrd 2841 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ dom (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡))
1514ne0d 4300 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ dom (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β‰  βˆ…)
16 dm0rn0 5885 . . . . . 6 (dom (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) = βˆ… ↔ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) = βˆ…)
1716necon3bii 2997 . . . . 5 (dom (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β‰  βˆ… ↔ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β‰  βˆ…)
1815, 17sylib 217 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β‰  βˆ…)
19 mbfsup.6 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝐡 ≀ 𝑦)
204ffnd 6674 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) Fn 𝑍)
21 breq1 5113 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) β†’ (𝑧 ≀ 𝑦 ↔ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) ≀ 𝑦))
2221ralrn 7043 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) Fn 𝑍 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)𝑧 ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) ≀ 𝑦))
2320, 22syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)𝑧 ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) ≀ 𝑦))
24 nffvmpt1 6858 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š)
25 nfcv 2908 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛 ≀
26 nfcv 2908 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛𝑦
2724, 25, 26nfbr 5157 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) ≀ 𝑦
28 nfv 1918 . . . . . . . . 9 β„²π‘š((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) ≀ 𝑦
29 fveq2 6847 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›))
3029breq1d 5120 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) ≀ 𝑦 ↔ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) ≀ 𝑦))
3127, 28, 30cbvralw 3292 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘š ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) ≀ 𝑦)
32 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
3312fvmpt2 6964 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = 𝐡)
3432, 3, 33syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = 𝐡)
3534breq1d 5120 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) ≀ 𝑦 ↔ 𝐡 ≀ 𝑦))
3635ralbidva 3173 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝐡 ≀ 𝑦))
3731, 36bitrid 283 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘š ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝐡 ≀ 𝑦))
3823, 37bitrd 279 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)𝑧 ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝐡 ≀ 𝑦))
3938rexbidv 3176 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)𝑧 ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝐡 ≀ 𝑦))
4019, 39mpbird 257 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)𝑧 ≀ 𝑦)
415, 18, 40suprcld 12125 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < ) ∈ ℝ)
42 mbfsup.2 . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < ))
4341, 42fmptd 7067 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
44 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
45 ltso 11242 . . . . . . . . . . . . . 14 < Or ℝ
4645supex 9406 . . . . . . . . . . . . 13 sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < ) ∈ V
4742fvmpt2 6964 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < ) ∈ V) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < ))
4844, 46, 47sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < ))
4948breq2d 5122 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 < (πΊβ€˜π‘₯) ↔ 𝑑 < sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < )))
505, 18, 403jca 1129 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) βŠ† ℝ ∧ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)𝑧 ≀ 𝑦))
5150adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) βŠ† ℝ ∧ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)𝑧 ≀ 𝑦))
52 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
53 suprlub 12126 . . . . . . . . . . . 12 (((ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) βŠ† ℝ ∧ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)𝑧 ≀ 𝑦) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (𝑑 < sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < ) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)𝑑 < 𝑧))
5451, 52, 53syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 < sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < ) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)𝑑 < 𝑧))
5520adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) Fn 𝑍)
56 breq2 5114 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) β†’ (𝑑 < 𝑧 ↔ 𝑑 < ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š)))
5756rexrn 7042 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) Fn 𝑍 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)𝑑 < 𝑧 ↔ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 𝑑 < ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š)))
5855, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)𝑑 < 𝑧 ↔ βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 𝑑 < ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š)))
59 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑛𝑑
60 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑛 <
6159, 60, 24nfbr 5157 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑛 𝑑 < ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š)
62 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘š 𝑑 < ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)
6329breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝑑 < ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) ↔ 𝑑 < ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›)))
6461, 62, 63cbvrexw 3293 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 𝑑 < ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) ↔ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 𝑑 < ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›))
6512fvmpt2i 6963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = ( I β€˜π΅))
66 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
6766fvmpt2i 6963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = ( I β€˜π΅))
6867adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = ( I β€˜π΅))
6968eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ( I β€˜π΅) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯))
7065, 69sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯))
7170breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (𝑑 < ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) ↔ 𝑑 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)))
7271rexbidva 3174 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 𝑑 < ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) ↔ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 𝑑 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)))
7372adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 𝑑 < ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘›) ↔ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 𝑑 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)))
7464, 73bitrid 283 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ 𝑍 𝑑 < ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) ↔ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 𝑑 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)))
7558, 74bitrd 279 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)𝑑 < 𝑧 ↔ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 𝑑 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)))
7649, 54, 753bitrd 305 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 < (πΊβ€˜π‘₯) ↔ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 𝑑 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)))
7776ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑑 < (πΊβ€˜π‘₯) ↔ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 𝑑 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)))
78 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑧(𝑑 < (πΊβ€˜π‘₯) ↔ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 𝑑 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯))
79 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯𝑑
80 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯ <
81 nfmpt1 5218 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < ))
8242, 81nfcxfr 2906 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯𝐺
83 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯𝑧
8482, 83nffv 6857 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯(πΊβ€˜π‘§)
8579, 80, 84nfbr 5157 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯ 𝑑 < (πΊβ€˜π‘§)
86 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯𝑍
87 nffvmpt1 6858 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§)
8879, 80, 87nfbr 5157 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯ 𝑑 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§)
8986, 88nfrexw 3299 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 𝑑 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§)
9085, 89nfbi 1907 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(𝑑 < (πΊβ€˜π‘§) ↔ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 𝑑 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§))
91 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘§))
9291breq2d 5122 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (𝑑 < (πΊβ€˜π‘₯) ↔ 𝑑 < (πΊβ€˜π‘§)))
93 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§))
9493breq2d 5122 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (𝑑 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ↔ 𝑑 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§)))
9594rexbidv 3176 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 𝑑 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ↔ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 𝑑 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§)))
9692, 95bibi12d 346 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((𝑑 < (πΊβ€˜π‘₯) ↔ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 𝑑 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)) ↔ (𝑑 < (πΊβ€˜π‘§) ↔ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 𝑑 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§))))
9778, 90, 96cbvralw 3292 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑑 < (πΊβ€˜π‘₯) ↔ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 𝑑 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑑 < (πΊβ€˜π‘§) ↔ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 𝑑 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§)))
9877, 97sylib 217 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑑 < (πΊβ€˜π‘§) ↔ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 𝑑 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§)))
9998r19.21bi 3237 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 < (πΊβ€˜π‘§) ↔ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 𝑑 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§)))
10043adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
101100ffvelcdmda 7040 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
102 rexr 11208 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ ℝ β†’ 𝑑 ∈ ℝ*)
103102ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑑 ∈ ℝ*)
104 elioopnf 13367 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ ℝ* β†’ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝑑(,)+∞) ↔ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ 𝑑 < (πΊβ€˜π‘§))))
105103, 104syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝑑(,)+∞) ↔ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ 𝑑 < (πΊβ€˜π‘§))))
106101, 105mpbirand 706 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝑑(,)+∞) ↔ 𝑑 < (πΊβ€˜π‘§)))
107103adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑑 ∈ ℝ*)
108 elioopnf 13367 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ ℝ* β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ∈ (𝑑(,)+∞) ↔ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ 𝑑 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§))))
109107, 108syl 17 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ∈ (𝑑(,)+∞) ↔ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ 𝑑 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§))))
1102fmpttd 7068 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„)
111110ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ∈ ℝ)
112111biantrurd 534 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ↔ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ 𝑑 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§))))
113112an32s 651 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (𝑑 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ↔ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ 𝑑 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§))))
114113adantllr 718 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (𝑑 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ↔ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ 𝑑 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§))))
115109, 114bitr4d 282 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ∈ (𝑑(,)+∞) ↔ 𝑑 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§)))
116115rexbidva 3174 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ∈ (𝑑(,)+∞) ↔ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 𝑑 < ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§)))
11799, 106, 1163bitr4d 311 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝑑(,)+∞) ↔ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ∈ (𝑑(,)+∞)))
118117pm5.32da 580 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝑑(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ∈ (𝑑(,)+∞))))
11943ffnd 6674 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝐴)
120119adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 𝐺 Fn 𝐴)
121 elpreima 7013 . . . . . 6 (𝐺 Fn 𝐴 β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑑(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝑑(,)+∞))))
122120, 121syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑑(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝑑(,)+∞))))
123 eliun 4963 . . . . . 6 (𝑧 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑑(,)+∞)) ↔ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑑(,)+∞)))
124110ffnd 6674 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) Fn 𝐴)
125 elpreima 7013 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) Fn 𝐴 β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑑(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ∈ (𝑑(,)+∞))))
126124, 125syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑑(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ∈ (𝑑(,)+∞))))
127126rexbidva 3174 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑑(,)+∞)) ↔ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ∈ (𝑑(,)+∞))))
128127adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑑(,)+∞)) ↔ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ∈ (𝑑(,)+∞))))
129 r19.42v 3188 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ∈ (𝑑(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ∈ (𝑑(,)+∞)))
130128, 129bitrdi 287 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑑(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ∈ (𝑑(,)+∞))))
131123, 130bitrid 283 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (𝑧 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑑(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘§) ∈ (𝑑(,)+∞))))
132118, 122, 1313bitr4d 311 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑑(,)+∞)) ↔ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑑(,)+∞))))
133132eqrdv 2735 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (◑𝐺 β€œ (𝑑(,)+∞)) = βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑑(,)+∞)))
134 zex 12515 . . . . . . 7 β„€ ∈ V
135 uzssz 12791 . . . . . . 7 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
136 ssdomg 8947 . . . . . . 7 (β„€ ∈ V β†’ ((β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β‰Ό β„€))
137134, 135, 136mp2 9 . . . . . 6 (β„€β‰₯β€˜π‘€) β‰Ό β„€
1389, 137eqbrtri 5131 . . . . 5 𝑍 β‰Ό β„€
139 znnen 16101 . . . . 5 β„€ β‰ˆ β„•
140 domentr 8960 . . . . 5 ((𝑍 β‰Ό β„€ ∧ β„€ β‰ˆ β„•) β†’ 𝑍 β‰Ό β„•)
141138, 139, 140mp2an 691 . . . 4 𝑍 β‰Ό β„•
142 mbfsup.4 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
143 mbfima 25010 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑑(,)+∞)) ∈ dom vol)
144142, 110, 143syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑑(,)+∞)) ∈ dom vol)
145144ralrimiva 3144 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑑(,)+∞)) ∈ dom vol)
146145adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑑(,)+∞)) ∈ dom vol)
147 iunmbl2 24937 . . . 4 ((𝑍 β‰Ό β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑑(,)+∞)) ∈ dom vol) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑑(,)+∞)) ∈ dom vol)
148141, 146, 147sylancr 588 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (𝑑(,)+∞)) ∈ dom vol)
149133, 148eqeltrd 2838 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (◑𝐺 β€œ (𝑑(,)+∞)) ∈ dom vol)
15043, 149ismbf3d 25034 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  βˆͺ ciun 4959   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   I cid 5535  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639   β€œ cima 5641   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   β‰ˆ cen 8887   β‰Ό cdom 8888  supcsup 9383  β„cr 11057  +∞cpnf 11193  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197  β„•cn 12160  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  (,)cioo 13271  volcvol 24843  MblFncmbf 24994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-xmet 20805  df-met 20806  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999
This theorem is referenced by:  mbfinf  25045  mbflimsup  25046
  Copyright terms: Public domain W3C validator