Theorem prdsdsfn 17521

Description: Structure product distance function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbas.p	⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbas.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbas.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
prdsbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
prdsbas.i	⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
prdsds.l	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
prdsdsfn	⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem prdsdsfn

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < )) = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
2		xrltso 13189	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
3	2	supex 9510	. . 3 ⊢ sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ V
4	1, 3	fnmpoi 8103	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < )) Fn (𝐵 × 𝐵)
5		prdsbas.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
6		prdsbas.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
7		prdsbas.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
8		prdsbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9		prdsbas.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
10		prdsds.l	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑃)
11	5, 6, 7, 8, 9, 10	prdsds 17520	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < )))
12	11	fneq1d 6669	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(dist‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < )) Fn (𝐵 × 𝐵)))
13	4, 12	mpbiri 258	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3964  {csn 4634   ↦ cmpt 5234   × cxp 5691  dom cdm 5693  ran crn 5694   Fn wfn 6564  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438   ∈ cmpo 7440  supcsup 9487  0cc0 11162  ℝ^*cxr 11301   < clt 11302  Basecbs 17254  distcds 17316  X_scprds 17501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-tp 4639  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-1o 8514  df-er 8753  df-map 8876  df-ixp 8946  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-fin 8997  df-sup 9489  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-4 12338  df-5 12339  df-6 12340  df-7 12341  df-8 12342  df-9 12343  df-n0 12534  df-z 12621  df-dec 12741  df-uz 12886  df-fz 13554  df-struct 17190  df-slot 17225  df-ndx 17237  df-base 17255  df-plusg 17320  df-mulr 17321  df-sca 17323  df-vsca 17324  df-ip 17325  df-tset 17326  df-ple 17327  df-ds 17329  df-hom 17331  df-cco 17332  df-prds 17503

This theorem is referenced by:  ressprdsds  24406