MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgrval 26175
Description: Value of the degree function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
dgrval.1 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
dgrval (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) = sup((◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ))

Proof of Theorem dgrval
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyssc 26147 . . 3 (Polyβ€˜π‘†) βŠ† (Polyβ€˜β„‚)
21sseli 3976 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
3 fveq2 6897 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 β†’ (coeffβ€˜π‘“) = (coeffβ€˜πΉ))
4 dgrval.1 . . . . . . 7 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
53, 4eqtr4di 2786 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ (coeffβ€˜π‘“) = 𝐴)
65cnveqd 5878 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ β—‘(coeffβ€˜π‘“) = ◑𝐴)
76imaeq1d 6062 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 β†’ (β—‘(coeffβ€˜π‘“) β€œ (β„‚ βˆ– {0})) = (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})))
87supeq1d 9470 . . 3 (𝑓 = 𝐹 β†’ sup((β—‘(coeffβ€˜π‘“) β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ) = sup((◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ))
9 df-dgr 26138 . . 3 deg = (𝑓 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ↦ sup((β—‘(coeffβ€˜π‘“) β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ))
10 nn0ssre 12507 . . . . 5 β„•0 βŠ† ℝ
11 ltso 11325 . . . . 5 < Or ℝ
12 soss 5610 . . . . 5 (β„•0 βŠ† ℝ β†’ ( < Or ℝ β†’ < Or β„•0))
1310, 11, 12mp2 9 . . . 4 < Or β„•0
1413supex 9487 . . 3 sup((◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ) ∈ V
158, 9, 14fvmpt 7005 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ (degβ€˜πΉ) = sup((◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ))
162, 15syl 17 1 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) = sup((◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  {csn 4629   Or wor 5589  β—‘ccnv 5677   β€œ cima 5681  β€˜cfv 6548  supcsup 9464  β„‚cc 11137  β„cr 11138  0cc0 11139   < clt 11279  β„•0cn0 12503  Polycply 26131  coeffccoe 26133  degcdgr 26134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-ltxr 11284  df-nn 12244  df-n0 12504  df-ply 26135  df-dgr 26138
This theorem is referenced by:  dgrcl  26180  dgrub  26181  dgrlb  26183  coe11  26200
  Copyright terms: Public domain W3C validator