Theorem dgrval 26185

Description: Value of the degree function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
dgrval.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dgrval	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) = sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))

Proof of Theorem dgrval

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyssc 26157	. . 3 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
2	1	sseli 3954	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
3		fveq2 6876	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (coeff‘𝑓) = (coeff‘𝐹))
4		dgrval.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
5	3, 4	eqtr4di 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (coeff‘𝑓) = 𝐴)
6	5	cnveqd 5855	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ◡(coeff‘𝑓) = ◡𝐴)
7	6	imaeq1d 6046	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (◡(coeff‘𝑓) “ (ℂ ∖ {0})) = (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})))
8	7	supeq1d 9458	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → sup((◡(coeff‘𝑓) “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ) = sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
9		df-dgr 26148	. . 3 ⊢ deg = (𝑓 ∈ (Poly‘ℂ) ↦ sup((◡(coeff‘𝑓) “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
10		nn0ssre 12505	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
11		ltso 11315	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ
12		soss 5581	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℕ0))
13	10, 11, 12	mp2 9	. . . 4 ⊢ < Or ℕ0
14	13	supex 9476	. . 3 ⊢ sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ) ∈ V
15	8, 9, 14	fvmpt 6986	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘𝐹) = sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
16	2, 15	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) = sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3923   ⊆ wss 3926  {csn 4601   Or wor 5560  ^◡ccnv 5653   “ cima 5657  ‘cfv 6531  supcsup 9452  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129   < clt 11269  ℕ₀cn0 12501  Polycply 26141  coeffccoe 26143  degcdgr 26144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-nn 12241  df-n0 12502  df-ply 26145  df-dgr 26148

This theorem is referenced by:  dgrcl  26190  dgrub  26191  dgrlb  26193  coe11  26210