Theorem dgrval 26282

Description: Value of the degree function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
dgrval.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dgrval	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) = sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))

Proof of Theorem dgrval

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyssc 26254	. . 3 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
2	1	sseli 3991	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
3		fveq2 6907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (coeff‘𝑓) = (coeff‘𝐹))
4		dgrval.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
5	3, 4	eqtr4di 2793	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (coeff‘𝑓) = 𝐴)
6	5	cnveqd 5889	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ◡(coeff‘𝑓) = ◡𝐴)
7	6	imaeq1d 6079	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (◡(coeff‘𝑓) “ (ℂ ∖ {0})) = (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})))
8	7	supeq1d 9484	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → sup((◡(coeff‘𝑓) “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ) = sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
9		df-dgr 26245	. . 3 ⊢ deg = (𝑓 ∈ (Poly‘ℂ) ↦ sup((◡(coeff‘𝑓) “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
10		nn0ssre 12528	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
11		ltso 11339	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ
12		soss 5617	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℕ0))
13	10, 11, 12	mp2 9	. . . 4 ⊢ < Or ℕ0
14	13	supex 9501	. . 3 ⊢ sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ) ∈ V
15	8, 9, 14	fvmpt 7016	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘𝐹) = sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
16	2, 15	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) = sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  {csn 4631   Or wor 5596  ^◡ccnv 5688   “ cima 5692  ‘cfv 6563  supcsup 9478  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153   < clt 11293  ℕ₀cn0 12524  Polycply 26238  coeffccoe 26240  degcdgr 26241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-nn 12265  df-n0 12525  df-ply 26242  df-dgr 26245

This theorem is referenced by:  dgrcl  26287  dgrub  26288  dgrlb  26290  coe11  26307