Theorem dgrval 24390

Description: Value of the degree function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
dgrval.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dgrval	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) = sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))

Proof of Theorem dgrval

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyssc 24362	. . 3 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
2	1	sseli 3823	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
3		fveq2 6437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (coeff‘𝑓) = (coeff‘𝐹))
4		dgrval.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
5	3, 4	syl6eqr 2879	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (coeff‘𝑓) = 𝐴)
6	5	cnveqd 5534	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ◡(coeff‘𝑓) = ◡𝐴)
7	6	imaeq1d 5710	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (◡(coeff‘𝑓) “ (ℂ ∖ {0})) = (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})))
8	7	supeq1d 8627	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → sup((◡(coeff‘𝑓) “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ) = sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
9		df-dgr 24353	. . 3 ⊢ deg = (𝑓 ∈ (Poly‘ℂ) ↦ sup((◡(coeff‘𝑓) “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
10		nn0ssre 11629	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
11		ltso 10444	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ
12		soss 5284	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℕ0))
13	10, 11, 12	mp2 9	. . . 4 ⊢ < Or ℕ0
14	13	supex 8644	. . 3 ⊢ sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ) ∈ V
15	8, 9, 14	fvmpt 6533	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘𝐹) = sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
16	2, 15	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) = sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ∖ cdif 3795   ⊆ wss 3798  {csn 4399   Or wor 5264  ^◡ccnv 5345   “ cima 5349  ‘cfv 6127  supcsup 8621  ℂcc 10257  ℝcr 10258  0cc0 10259   < clt 10398  ℕ₀cn0 11625  Polycply 24346  coeffccoe 24348  degcdgr 24349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-sup 8623  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-ltxr 10403  df-nn 11358  df-n0 11626  df-ply 24350  df-dgr 24353

This theorem is referenced by:  dgrcl  24395  dgrub  24396  dgrlb  24398  coe11  24415