MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgrval 26113
Description: Value of the degree function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
dgrval.1 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
dgrval (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) = sup((◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ))

Proof of Theorem dgrval
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyssc 26085 . . 3 (Polyβ€˜π‘†) βŠ† (Polyβ€˜β„‚)
21sseli 3973 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
3 fveq2 6884 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 β†’ (coeffβ€˜π‘“) = (coeffβ€˜πΉ))
4 dgrval.1 . . . . . . 7 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
53, 4eqtr4di 2784 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ (coeffβ€˜π‘“) = 𝐴)
65cnveqd 5868 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ β—‘(coeffβ€˜π‘“) = ◑𝐴)
76imaeq1d 6051 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 β†’ (β—‘(coeffβ€˜π‘“) β€œ (β„‚ βˆ– {0})) = (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})))
87supeq1d 9440 . . 3 (𝑓 = 𝐹 β†’ sup((β—‘(coeffβ€˜π‘“) β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ) = sup((◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ))
9 df-dgr 26076 . . 3 deg = (𝑓 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ↦ sup((β—‘(coeffβ€˜π‘“) β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ))
10 nn0ssre 12477 . . . . 5 β„•0 βŠ† ℝ
11 ltso 11295 . . . . 5 < Or ℝ
12 soss 5601 . . . . 5 (β„•0 βŠ† ℝ β†’ ( < Or ℝ β†’ < Or β„•0))
1310, 11, 12mp2 9 . . . 4 < Or β„•0
1413supex 9457 . . 3 sup((◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ) ∈ V
158, 9, 14fvmpt 6991 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ (degβ€˜πΉ) = sup((◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ))
162, 15syl 17 1 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) = sup((◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  {csn 4623   Or wor 5580  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672  β€˜cfv 6536  supcsup 9434  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109   < clt 11249  β„•0cn0 12473  Polycply 26069  coeffccoe 26071  degcdgr 26072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-nn 12214  df-n0 12474  df-ply 26073  df-dgr 26076
This theorem is referenced by:  dgrcl  26118  dgrub  26119  dgrlb  26121  coe11  26138
  Copyright terms: Public domain W3C validator