Theorem dgrval 26149

Description: Value of the degree function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
dgrval.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dgrval	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) = sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))

Proof of Theorem dgrval

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyssc 26121	. . 3 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
2	1	sseli 3933	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
3		fveq2 6826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (coeff‘𝑓) = (coeff‘𝐹))
4		dgrval.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
5	3, 4	eqtr4di 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (coeff‘𝑓) = 𝐴)
6	5	cnveqd 5822	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ◡(coeff‘𝑓) = ◡𝐴)
7	6	imaeq1d 6014	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (◡(coeff‘𝑓) “ (ℂ ∖ {0})) = (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})))
8	7	supeq1d 9355	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → sup((◡(coeff‘𝑓) “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ) = sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
9		df-dgr 26112	. . 3 ⊢ deg = (𝑓 ∈ (Poly‘ℂ) ↦ sup((◡(coeff‘𝑓) “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
10		nn0ssre 12406	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
11		ltso 11214	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ
12		soss 5551	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℕ0))
13	10, 11, 12	mp2 9	. . . 4 ⊢ < Or ℕ0
14	13	supex 9373	. . 3 ⊢ sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ) ∈ V
15	8, 9, 14	fvmpt 6934	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘𝐹) = sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
16	2, 15	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) = sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  {csn 4579   Or wor 5530  ^◡ccnv 5622   “ cima 5626  ‘cfv 6486  supcsup 9349  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028   < clt 11168  ℕ₀cn0 12402  Polycply 26105  coeffccoe 26107  degcdgr 26108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-nn 12147  df-n0 12403  df-ply 26109  df-dgr 26112

This theorem is referenced by:  dgrcl  26154  dgrub  26155  dgrlb  26157  coe11  26174