Theorem dgrval 26189

Description: Value of the degree function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
dgrval.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dgrval	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) = sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))

Proof of Theorem dgrval

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyssc 26161	. . 3 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
2	1	sseli 3929	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
3		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (coeff‘𝑓) = (coeff‘𝐹))
4		dgrval.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
5	3, 4	eqtr4di 2789	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (coeff‘𝑓) = 𝐴)
6	5	cnveqd 5824	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ◡(coeff‘𝑓) = ◡𝐴)
7	6	imaeq1d 6018	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (◡(coeff‘𝑓) “ (ℂ ∖ {0})) = (◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})))
8	7	supeq1d 9349	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → sup((◡(coeff‘𝑓) “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ) = sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
9		df-dgr 26152	. . 3 ⊢ deg = (𝑓 ∈ (Poly‘ℂ) ↦ sup((◡(coeff‘𝑓) “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
10		nn0ssre 12405	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
11		ltso 11213	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ
12		soss 5552	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℕ0))
13	10, 11, 12	mp2 9	. . . 4 ⊢ < Or ℕ0
14	13	supex 9367	. . 3 ⊢ sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ) ∈ V
15	8, 9, 14	fvmpt 6941	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘𝐹) = sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
16	2, 15	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) = sup((◡𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3898   ⊆ wss 3901  {csn 4580   Or wor 5531  ^◡ccnv 5623   “ cima 5627  ‘cfv 6492  supcsup 9343  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026   < clt 11166  ℕ₀cn0 12401  Polycply 26145  coeffccoe 26147  degcdgr 26148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-nn 12146  df-n0 12402  df-ply 26149  df-dgr 26152

This theorem is referenced by:  dgrcl  26194  dgrub  26195  dgrlb  26197  coe11  26214