Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsuplt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsuplt2 45041
Description: The defining property of the superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
limsuplt2.1 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
limsuplt2.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„*)
limsuplt2.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsuplt2 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) < 𝐴 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐹
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐡(π‘˜)

Proof of Theorem limsuplt2
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsuplt2.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
2 limsuplt2.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„*)
3 limsuplt2.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4 eqid 2726 . . . 4 (𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
54limsuplt 15429 . . 3 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ ((lim supβ€˜πΉ) < 𝐴 ↔ βˆƒπ‘– ∈ ℝ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘–) < 𝐴))
61, 2, 3, 5syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) < 𝐴 ↔ βˆƒπ‘– ∈ ℝ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘–) < 𝐴))
7 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝑗[,)+∞) = (𝑖[,)+∞))
87imaeq2d 6053 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) = (𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)))
98ineq1d 4206 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*))
109supeq1d 9443 . . . . 5 (𝑗 = 𝑖 β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
11 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
12 xrltso 13126 . . . . . . 7 < Or ℝ*
1312supex 9460 . . . . . 6 sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V
1413a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V)
154, 10, 11, 14fvmptd3 7015 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘–) = sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
1615breq1d 5151 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ (((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘–) < 𝐴 ↔ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
1716rexbidva 3170 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ ℝ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘–) < 𝐴 ↔ βˆƒπ‘– ∈ ℝ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
18 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (𝑖 = π‘˜ β†’ (𝑖[,)+∞) = (π‘˜[,)+∞))
1918imaeq2d 6053 . . . . . . 7 (𝑖 = π‘˜ β†’ (𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) = (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)))
2019ineq1d 4206 . . . . . 6 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*))
2120supeq1d 9443 . . . . 5 (𝑖 = π‘˜ β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
2221breq1d 5151 . . . 4 (𝑖 = π‘˜ β†’ (sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴 ↔ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
2322cbvrexvw 3229 . . 3 (βˆƒπ‘– ∈ ℝ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴)
2423a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ ℝ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
256, 17, 243bitrd 305 1 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) < 𝐴 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   β€œ cima 5672  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  supcsup 9437  β„cr 11111  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252  [,)cico 13332  lim supclsp 15420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-limsup 15421
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator