Theorem limsuplt2 41597

Description: The defining property of the superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsuplt2.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
limsuplt2.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶ℝ*)
limsuplt2.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
limsuplt2	⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) < 𝐴 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem limsuplt2

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsuplt2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
2		limsuplt2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶ℝ*)
3		limsuplt2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		eqid 2797	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5	4	limsuplt 14674	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((lim sup‘𝐹) < 𝐴 ↔ ∃𝑖 ∈ ℝ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑖) < 𝐴))
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1364	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) < 𝐴 ↔ ∃𝑖 ∈ ℝ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑖) < 𝐴))
7		oveq1 7030	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗[,)+∞) = (𝑖[,)+∞))
8	7	imaeq2d 5813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑖[,)+∞)))
9	8	ineq1d 4114	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*))
10	9	supeq1d 8763	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
11		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → 𝑖 ∈ ℝ)
12		xrltso 12388	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ*
13	12	supex 8780	. . . . . 6 ⊢ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V)
15	4, 10, 11, 14	fvmptd3 6664	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑖) = sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
16	15	breq1d 4978	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑖) < 𝐴 ↔ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
17	16	rexbidva 3261	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ ℝ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑖) < 𝐴 ↔ ∃𝑖 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
18		oveq1 7030	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖[,)+∞) = (𝑘[,)+∞))
19	18	imaeq2d 5813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
20	19	ineq1d 4114	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
21	20	supeq1d 8763	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
22	21	breq1d 4978	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴 ↔ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
23	22	cbvrexv 3406	. . 3 ⊢ (∃𝑖 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴)
24	23	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
25	6, 17, 24	3bitrd 306	1 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) < 𝐴 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  ∃wrex 3108  Vcvv 3440   ∩ cin 3864   ⊆ wss 3865   class class class wbr 4968   ↦ cmpt 5047   “ cima 5453  ⟶wf 6228  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023  supcsup 8757  ℝcr 10389  +∞cpnf 10525  ℝ^*cxr 10527   < clt 10528  [,)cico 12594  lim supclsp 14665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-po 5369  df-so 5370  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-sup 8759  df-inf 8760  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-limsup 14666

This theorem is referenced by: (None)