Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsuplt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsuplt2 41597
Description: The defining property of the superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
limsuplt2.1 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
limsuplt2.2 (𝜑𝐹:𝐵⟶ℝ*)
limsuplt2.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsuplt2 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) < 𝐴 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem limsuplt2
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsuplt2.1 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
2 limsuplt2.2 . . 3 (𝜑𝐹:𝐵⟶ℝ*)
3 limsuplt2.3 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4 eqid 2797 . . . 4 (𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
54limsuplt 14674 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ((lim sup‘𝐹) < 𝐴 ↔ ∃𝑖 ∈ ℝ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑖) < 𝐴))
61, 2, 3, 5syl3anc 1364 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) < 𝐴 ↔ ∃𝑖 ∈ ℝ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑖) < 𝐴))
7 oveq1 7030 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗[,)+∞) = (𝑖[,)+∞))
87imaeq2d 5813 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 → (𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑖[,)+∞)))
98ineq1d 4114 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*))
109supeq1d 8763 . . . . 5 (𝑗 = 𝑖 → sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
11 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → 𝑖 ∈ ℝ)
12 xrltso 12388 . . . . . . 7 < Or ℝ*
1312supex 8780 . . . . . 6 sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V
1413a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V)
154, 10, 11, 14fvmptd3 6664 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑖) = sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
1615breq1d 4978 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → (((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑖) < 𝐴 ↔ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
1716rexbidva 3261 . 2 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ ℝ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑖) < 𝐴 ↔ ∃𝑖 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
18 oveq1 7030 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖[,)+∞) = (𝑘[,)+∞))
1918imaeq2d 5813 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑘 → (𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
2019ineq1d 4114 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
2120supeq1d 8763 . . . . 5 (𝑖 = 𝑘 → sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
2221breq1d 4978 . . . 4 (𝑖 = 𝑘 → (sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴 ↔ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
2322cbvrexv 3406 . . 3 (∃𝑖 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴)
2423a1i 11 . 2 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
256, 17, 243bitrd 306 1 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) < 𝐴 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1525  wcel 2083  wrex 3108  Vcvv 3440  cin 3864  wss 3865   class class class wbr 4968  cmpt 5047  cima 5453  wf 6228  cfv 6232  (class class class)co 7023  supcsup 8757  cr 10389  +∞cpnf 10525  *cxr 10527   < clt 10528  [,)cico 12594  lim supclsp 14665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-po 5369  df-so 5370  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-sup 8759  df-inf 8760  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-limsup 14666
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator