Theorem limsuplt2 47030

Description: The defining property of the superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsuplt2.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
limsuplt2.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶ℝ*)
limsuplt2.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
limsuplt2	⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) < 𝐴 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem limsuplt2

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsuplt2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
2		limsuplt2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶ℝ*)
3		limsuplt2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5	4	limsuplt 15687	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((lim sup‘𝐹) < 𝐴 ↔ ∃𝑖 ∈ ℝ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑖) < 𝐴))
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) < 𝐴 ↔ ∃𝑖 ∈ ℝ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑖) < 𝐴))
7		oveq1 7456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗[,)+∞) = (𝑖[,)+∞))
8	7	imaeq2d 6068	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑖[,)+∞)))
9	8	ineq1d 4119	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*))
10	9	supeq1d 9473	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
11		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → 𝑖 ∈ ℝ)
12		xrltso 13308	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ*
13	12	supex 9491	. . . . . 6 ⊢ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V)
15	4, 10, 11, 14	fvmptd3 7046	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑖) = sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
16	15	breq1d 5116	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑖) < 𝐴 ↔ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
17	16	rexbidva 3188	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ ℝ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑖) < 𝐴 ↔ ∃𝑖 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
18		oveq1 7456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖[,)+∞) = (𝑘[,)+∞))
19	18	imaeq2d 6068	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
20	19	ineq1d 4119	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
21	20	supeq1d 9473	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
22	21	breq1d 5116	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴 ↔ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
23	22	cbvrexvw 3245	. . 3 ⊢ (∃𝑖 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴)
24	23	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
25	6, 17, 24	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) < 𝐴 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190   “ cima 5659  ⟶wf 6560  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  supcsup 9467  ℝcr 11236  +∞cpnf 11377  ℝ^*cxr 11379   < clt 11380  [,)cico 13516  lim supclsp 15678

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-sup 9469  df-inf 9470  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-limsup 15679

This theorem is used by: (None)