Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsuplt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsuplt2 45204
Description: The defining property of the superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
limsuplt2.1 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
limsuplt2.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„*)
limsuplt2.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsuplt2 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) < 𝐴 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐹
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐡(π‘˜)

Proof of Theorem limsuplt2
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsuplt2.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
2 limsuplt2.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„*)
3 limsuplt2.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4 eqid 2725 . . . 4 (𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
54limsuplt 15455 . . 3 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ ((lim supβ€˜πΉ) < 𝐴 ↔ βˆƒπ‘– ∈ ℝ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘–) < 𝐴))
61, 2, 3, 5syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) < 𝐴 ↔ βˆƒπ‘– ∈ ℝ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘–) < 𝐴))
7 oveq1 7423 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝑗[,)+∞) = (𝑖[,)+∞))
87imaeq2d 6058 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) = (𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)))
98ineq1d 4205 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*))
109supeq1d 9469 . . . . 5 (𝑗 = 𝑖 β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
11 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
12 xrltso 13152 . . . . . . 7 < Or ℝ*
1312supex 9486 . . . . . 6 sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V
1413a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V)
154, 10, 11, 14fvmptd3 7023 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘–) = sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
1615breq1d 5153 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ (((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘–) < 𝐴 ↔ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
1716rexbidva 3167 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ ℝ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘–) < 𝐴 ↔ βˆƒπ‘– ∈ ℝ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
18 oveq1 7423 . . . . . . . 8 (𝑖 = π‘˜ β†’ (𝑖[,)+∞) = (π‘˜[,)+∞))
1918imaeq2d 6058 . . . . . . 7 (𝑖 = π‘˜ β†’ (𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) = (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)))
2019ineq1d 4205 . . . . . 6 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*))
2120supeq1d 9469 . . . . 5 (𝑖 = π‘˜ β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
2221breq1d 5153 . . . 4 (𝑖 = π‘˜ β†’ (sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴 ↔ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
2322cbvrexvw 3226 . . 3 (βˆƒπ‘– ∈ ℝ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴)
2423a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ ℝ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
256, 17, 243bitrd 304 1 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) < 𝐴 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   ∩ cin 3938   βŠ† wss 3939   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   β€œ cima 5675  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  supcsup 9463  β„cr 11137  +∞cpnf 11275  β„*cxr 11277   < clt 11278  [,)cico 13358  lim supclsp 15446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-limsup 15447
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator