Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsuplt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsuplt2 44469
Description: The defining property of the superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
limsuplt2.1 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
limsuplt2.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„*)
limsuplt2.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsuplt2 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) < 𝐴 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐹
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐡(π‘˜)

Proof of Theorem limsuplt2
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsuplt2.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
2 limsuplt2.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„*)
3 limsuplt2.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4 eqid 2733 . . . 4 (𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
54limsuplt 15423 . . 3 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ ((lim supβ€˜πΉ) < 𝐴 ↔ βˆƒπ‘– ∈ ℝ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘–) < 𝐴))
61, 2, 3, 5syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) < 𝐴 ↔ βˆƒπ‘– ∈ ℝ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘–) < 𝐴))
7 oveq1 7416 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝑗[,)+∞) = (𝑖[,)+∞))
87imaeq2d 6060 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) = (𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)))
98ineq1d 4212 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*))
109supeq1d 9441 . . . . 5 (𝑗 = 𝑖 β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
11 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
12 xrltso 13120 . . . . . . 7 < Or ℝ*
1312supex 9458 . . . . . 6 sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V
1413a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V)
154, 10, 11, 14fvmptd3 7022 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘–) = sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
1615breq1d 5159 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ (((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘–) < 𝐴 ↔ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
1716rexbidva 3177 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ ℝ ((𝑗 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘–) < 𝐴 ↔ βˆƒπ‘– ∈ ℝ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
18 oveq1 7416 . . . . . . . 8 (𝑖 = π‘˜ β†’ (𝑖[,)+∞) = (π‘˜[,)+∞))
1918imaeq2d 6060 . . . . . . 7 (𝑖 = π‘˜ β†’ (𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) = (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)))
2019ineq1d 4212 . . . . . 6 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*))
2120supeq1d 9441 . . . . 5 (𝑖 = π‘˜ β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
2221breq1d 5159 . . . 4 (𝑖 = π‘˜ β†’ (sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴 ↔ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
2322cbvrexvw 3236 . . 3 (βˆƒπ‘– ∈ ℝ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴)
2423a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ ℝ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
256, 17, 243bitrd 305 1 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) < 𝐴 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ sup(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  supcsup 9435  β„cr 11109  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248  [,)cico 13326  lim supclsp 15414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-limsup 15415
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator