Theorem esumval 34500

Description: Develop the value of the extended sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumval.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
esumval.0	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
esumval.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumval.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumval.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
esumval	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 𝐶), ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑥, 𝑘)   𝑉(𝑥, 𝑘)

Proof of Theorem esumval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-esum 34482	. . 3 ⊢ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
2		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
3		esumval.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		esumval.p	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
5		esumval.0	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
6		nfcv 2927	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(0[,]+∞)
7		esumval.2	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
9	4, 5, 6, 7, 8	fmptdf2 33072	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
10		inss1 4189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
11	10	sseli 3934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
12	11	elpwid 4573	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
13	12	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
14		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
15	5, 14	resmptf 6043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥) = (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))
16	13, 15	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥) = (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))
17	16	oveq2d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
18		esumval.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = 𝐶)
19	17, 18	eqtr2d 2801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐶 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥)))
20	19	mpteq2dva 5206	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥))))
21	20	rneqd 5930	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 𝐶) = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥))))
22	21	supeq1d 9413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 𝐶), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥))), ℝ*, < ))
23	2, 3, 9, 22	xrge0tsmsd 33457	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = {sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 𝐶), ℝ*, < )})
24	23	unieqd 4887	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ∪ {sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 𝐶), ℝ*, < )})
25	1, 24	eqtrid 2812	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ∪ {sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 𝐶), ℝ*, < )})
26		xrltso 13182	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
27	26	supex 9431	. . 3 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 𝐶), ℝ*, < ) ∈ V
28	27	unisn 4893	. 2 ⊢ ∪ {sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 𝐶), ℝ*, < )} = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 𝐶), ℝ*, < )
29	25, 28	eqtrdi 2816	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 𝐶), ℝ*, < ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2146  Ⅎwnfc 2912   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4564  {csn 4591  ∪ cuni 4874   ↦ cmpt 5194  ran crn 5664   ↾ cres 5665  (class class class)co 7419  Fincfn 8949  supcsup 9407  0cc0 11115  +∞cpnf 11255  ℝ^*cxr 11257   < clt 11258  [,]cicc 13391   ↾_s cress 17312   Σ_g cgsu 17515  ℝ^*_𝑠cxrs 17576   tsums ctsu 24334  Σ^*cesum 34481

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-q 12989  df-xadd 13154  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-seq 14056  df-hash 14385  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-rest 17497  df-topn 17498  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-topgen 17518  df-ordt 17577  df-xrs 17578  df-mre 17660  df-mrc 17661  df-acs 17663  df-ps 18644  df-tsr 18645  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-submnd 18879  df-cntz 19431  df-cmn 19896  df-fbas 21569  df-fg 21570  df-top 23101  df-topon 23118  df-topsp 23140  df-bases 23153  df-ntr 23227  df-nei 23305  df-cn 23434  df-haus 23522  df-fil 24054  df-fm 24146  df-flim 24147  df-flf 24148  df-tsms 24335  df-esum 34482

This theorem is used by:  esumel  34501  esumnul  34502  esum0  34503  gsumesum  34513  esumlub  34514  esumcst  34517  esumpcvgval  34532  esumcvg  34540  esum2d  34547