Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumval 30448
Description: Develop the value of the extended sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumval.p 𝑘𝜑
esumval.0 𝑘𝐴
esumval.1 (𝜑𝐴𝑉)
esumval.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumval.3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
esumval (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 𝐶), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem esumval
StepHypRef Expression
1 df-esum 30430 . . 3 Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵))
2 eqid 2771 . . . . 5 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
3 esumval.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
4 esumval.p . . . . . 6 𝑘𝜑
5 esumval.0 . . . . . 6 𝑘𝐴
6 nfcv 2913 . . . . . 6 𝑘(0[,]+∞)
7 esumval.2 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8 eqid 2771 . . . . . 6 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
94, 5, 6, 7, 8fmptdF 29796 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
10 inss1 3981 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
1110sseli 3748 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
1211elpwid 4309 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥𝐴)
1312adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥𝐴)
14 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑥
155, 14resmptf 5592 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥) = (𝑘𝑥𝐵))
1613, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥) = (𝑘𝑥𝐵))
1716oveq2d 6809 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))
18 esumval.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) = 𝐶)
1917, 18eqtr2d 2806 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐶 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥)))
2019mpteq2dva 4878 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥))))
2120rneqd 5491 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 𝐶) = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥))))
2221supeq1d 8508 . . . . 5 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 𝐶), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥))), ℝ*, < ))
232, 3, 9, 22xrge0tsmsd 30125 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)) = {sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 𝐶), ℝ*, < )})
2423unieqd 4584 . . 3 (𝜑 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)) = {sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 𝐶), ℝ*, < )})
251, 24syl5eq 2817 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = {sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 𝐶), ℝ*, < )})
26 xrltso 12179 . . . 4 < Or ℝ*
2726supex 8525 . . 3 sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 𝐶), ℝ*, < ) ∈ V
2827unisn 4589 . 2 {sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 𝐶), ℝ*, < )} = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 𝐶), ℝ*, < )
2925, 28syl6eq 2821 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 𝐶), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wnf 1856  wcel 2145  wnfc 2900  cin 3722  wss 3723  𝒫 cpw 4297  {csn 4316   cuni 4574  cmpt 4863  ran crn 5250  cres 5251  (class class class)co 6793  Fincfn 8109  supcsup 8502  0cc0 10138  +∞cpnf 10273  *cxr 10275   < clt 10276  [,]cicc 12383  s cress 16065   Σg cgsu 16309  *𝑠cxrs 16368   tsums ctsu 22149  Σ*cesum 30429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-xadd 12152  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-ordt 16369  df-xrs 16370  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-ps 17408  df-tsr 17409  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-ntr 21045  df-nei 21123  df-cn 21252  df-haus 21340  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-tsms 22150  df-esum 30430
This theorem is referenced by:  esumel  30449  esumnul  30450  esum0  30451  gsumesum  30461  esumlub  30462  esumcst  30465  esumpcvgval  30480  esumcvg  30488  esum2d  30495
  Copyright terms: Public domain W3C validator