Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlslem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlslem6 19909
 Description: Lemma for evlseu 19912. Finiteness and consistency of the top-level sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 26-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem1.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlslem1.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlslem1.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
evlslem1.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
evlslem1.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
evlslem1.t 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
evlslem1.x = (.g𝑇)
evlslem1.m · = (.r𝑆)
evlslem1.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
evlslem1.e 𝐸 = (𝑝𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
evlslem1.i (𝜑𝐼 ∈ V)
evlslem1.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evlslem1.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evlslem1.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
evlslem1.g (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
evlslem6.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
evlslem6 (𝜑 → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))):𝐷𝐶 ∧ (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) finSupp (0g𝑆)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑏   𝐶,𝑏   𝐷,𝑏   ,𝐼   𝑅,𝑏   𝑆,𝑏   𝑌,𝑏   ,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑝)   𝐵(,𝑝,𝑏)   𝐶(,𝑝)   𝐷(,𝑝)   𝑃(,𝑝,𝑏)   𝑅(,𝑝)   𝑆(,𝑝)   𝑇(,𝑝,𝑏)   · (,𝑝,𝑏)   𝐸(,𝑝,𝑏)   (,𝑝,𝑏)   𝐹(,𝑝,𝑏)   𝐺(,𝑝,𝑏)   𝐼(𝑝,𝑏)   𝐾(,𝑝,𝑏)   𝑉(,𝑝,𝑏)   𝑌(,𝑝)

Proof of Theorem evlslem6
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlslem1.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
2 crngring 18945 . . . . . 6 (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
43adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑆 ∈ Ring)
5 evlslem1.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
6 evlslem1.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝑅)
7 evlslem1.c . . . . . . . 8 𝐶 = (Base‘𝑆)
86, 7rhmf 19115 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐾𝐶)
95, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐾𝐶)
109adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝐹:𝐾𝐶)
11 evlslem1.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
12 evlslem1.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
13 evlslem1.d . . . . . . 7 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
14 evlslem6.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝐵)
1511, 6, 12, 13, 14mplelf 19830 . . . . . 6 (𝜑𝑌:𝐷𝐾)
1615ffvelrnda 6623 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑌𝑏) ∈ 𝐾)
1710, 16ffvelrnd 6624 . . . 4 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝐹‘(𝑌𝑏)) ∈ 𝐶)
18 evlslem1.t . . . . . 6 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
1918, 7mgpbas 18882 . . . . 5 𝐶 = (Base‘𝑇)
20 evlslem1.x . . . . 5 = (.g𝑇)
21 eqid 2778 . . . . 5 (0g𝑇) = (0g𝑇)
2218crngmgp 18942 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
231, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
2423adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑇 ∈ CMnd)
25 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑏𝐷)
26 evlslem1.g . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
2726adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝐺:𝐼𝐶)
28 evlslem1.i . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ V)
2928adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝐼 ∈ V)
3013, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 29psrbagev2 19907 . . . 4 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶)
31 evlslem1.m . . . . 5 · = (.r𝑆)
327, 31ringcl 18948 . . . 4 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹‘(𝑌𝑏)) ∈ 𝐶 ∧ (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶) → ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) ∈ 𝐶)
334, 17, 30, 32syl3anc 1439 . . 3 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) ∈ 𝐶)
3433fmpttd 6649 . 2 (𝜑 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))):𝐷𝐶)
35 ovexd 6956 . . . . 5 (𝜑 → (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V)
3613, 35rabexd 5050 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ V)
37 mptexg 6756 . . . 4 (𝐷 ∈ V → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) ∈ V)
3836, 37syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) ∈ V)
39 funmpt 6173 . . . 4 Fun (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))
4039a1i 11 . . 3 (𝜑 → Fun (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))
41 fvexd 6461 . . 3 (𝜑 → (0g𝑆) ∈ V)
42 eqid 2778 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
43 evlslem1.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
4411, 12, 42, 14, 43mplelsfi 19887 . . . 4 (𝜑𝑌 finSupp (0g𝑅))
4544fsuppimpd 8570 . . 3 (𝜑 → (𝑌 supp (0g𝑅)) ∈ Fin)
4615feqmptd 6509 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 = (𝑏𝐷 ↦ (𝑌𝑏)))
4746oveq1d 6937 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 supp (0g𝑅)) = ((𝑏𝐷 ↦ (𝑌𝑏)) supp (0g𝑅)))
48 eqimss2 3877 . . . . . 6 ((𝑌 supp (0g𝑅)) = ((𝑏𝐷 ↦ (𝑌𝑏)) supp (0g𝑅)) → ((𝑏𝐷 ↦ (𝑌𝑏)) supp (0g𝑅)) ⊆ (𝑌 supp (0g𝑅)))
4947, 48syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑏𝐷 ↦ (𝑌𝑏)) supp (0g𝑅)) ⊆ (𝑌 supp (0g𝑅)))
50 rhmghm 19114 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
51 eqid 2778 . . . . . . 7 (0g𝑆) = (0g𝑆)
5242, 51ghmid 18050 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹‘(0g𝑅)) = (0g𝑆))
535, 50, 523syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘(0g𝑅)) = (0g𝑆))
54 fvexd 6461 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑌𝑏) ∈ V)
55 fvexd 6461 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ V)
5649, 53, 54, 55suppssfv 7613 . . . 4 (𝜑 → ((𝑏𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑌𝑏))) supp (0g𝑆)) ⊆ (𝑌 supp (0g𝑅)))
577, 31, 51ringlz 18974 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐶) → ((0g𝑆) · 𝑥) = (0g𝑆))
583, 57sylan 575 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → ((0g𝑆) · 𝑥) = (0g𝑆))
59 fvexd 6461 . . . 4 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝐹‘(𝑌𝑏)) ∈ V)
6056, 58, 59, 30, 41suppssov1 7609 . . 3 (𝜑 → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) supp (0g𝑆)) ⊆ (𝑌 supp (0g𝑅)))
61 suppssfifsupp 8578 . . 3 ((((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) ∈ V ∧ Fun (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) ∧ (0g𝑆) ∈ V) ∧ ((𝑌 supp (0g𝑅)) ∈ Fin ∧ ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) supp (0g𝑆)) ⊆ (𝑌 supp (0g𝑅)))) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) finSupp (0g𝑆))
6238, 40, 41, 45, 60, 61syl32anc 1446 . 2 (𝜑 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) finSupp (0g𝑆))
6334, 62jca 507 1 (𝜑 → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))):𝐷𝐶 ∧ (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) finSupp (0g𝑆)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  {crab 3094  Vcvv 3398   ⊆ wss 3792   class class class wbr 4886   ↦ cmpt 4965  ◡ccnv 5354   “ cima 5358  Fun wfun 6129  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ∘𝑓 cof 7172   supp csupp 7576   ↑𝑚 cmap 8140  Fincfn 8241   finSupp cfsupp 8563  ℕcn 11374  ℕ0cn0 11642  Basecbs 16255  .rcmulr 16339  0gc0g 16486   Σg cgsu 16487  .gcmg 17927   GrpHom cghm 18041  CMndccmn 18579  mulGrpcmgp 18876  Ringcrg 18934  CRingccrg 18935   RingHom crh 19101   mVar cmvr 19749   mPoly cmpl 19750 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-hash 13436  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-tset 16357  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-mulg 17928  df-ghm 18042  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-cring 18937  df-rnghom 19104  df-psr 19753  df-mpl 19755 This theorem is referenced by:  evlslem1  19911
 Copyright terms: Public domain W3C validator