MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlslem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlslem6 22044
Description: Lemma for evlseu 22046. Finiteness and consistency of the top-level sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 26-Jul-2019.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem1.p ๐‘ƒ = (๐ผ mPoly ๐‘…)
evlslem1.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
evlslem1.c ๐ถ = (Baseโ€˜๐‘†)
evlslem1.d ๐ท = {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
evlslem1.t ๐‘‡ = (mulGrpโ€˜๐‘†)
evlslem1.x โ†‘ = (.gโ€˜๐‘‡)
evlslem1.m ยท = (.rโ€˜๐‘†)
evlslem1.v ๐‘‰ = (๐ผ mVar ๐‘…)
evlslem1.e ๐ธ = (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘† ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘โ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))))
evlslem1.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
evlslem1.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
evlslem1.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ CRing)
evlslem1.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘… RingHom ๐‘†))
evlslem1.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ:๐ผโŸถ๐ถ)
evlslem6.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
evlslem6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))):๐ทโŸถ๐ถ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))) finSupp (0gโ€˜๐‘†)))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘   ๐ถ,๐‘   ๐ท,๐‘   โ„Ž,๐ผ   ๐‘…,๐‘   ๐‘†,๐‘   ๐‘Œ,๐‘   โ„Ž,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(โ„Ž,๐‘)   ๐ต(โ„Ž,๐‘,๐‘)   ๐ถ(โ„Ž,๐‘)   ๐ท(โ„Ž,๐‘)   ๐‘ƒ(โ„Ž,๐‘,๐‘)   ๐‘…(โ„Ž,๐‘)   ๐‘†(โ„Ž,๐‘)   ๐‘‡(โ„Ž,๐‘,๐‘)   ยท (โ„Ž,๐‘,๐‘)   ๐ธ(โ„Ž,๐‘,๐‘)   โ†‘ (โ„Ž,๐‘,๐‘)   ๐น(โ„Ž,๐‘,๐‘)   ๐บ(โ„Ž,๐‘,๐‘)   ๐ผ(๐‘,๐‘)   ๐‘‰(โ„Ž,๐‘,๐‘)   ๐‘Š(โ„Ž,๐‘,๐‘)   ๐‘Œ(โ„Ž,๐‘)

Proof of Theorem evlslem6
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlslem1.s . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ CRing)
2 crngring 20199 . . . . . 6 (๐‘† โˆˆ CRing โ†’ ๐‘† โˆˆ Ring)
31, 2syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Ring)
43adantr 479 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘† โˆˆ Ring)
5 evlslem1.f . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘… RingHom ๐‘†))
6 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
7 evlslem1.c . . . . . . . 8 ๐ถ = (Baseโ€˜๐‘†)
86, 7rhmf 20438 . . . . . . 7 (๐น โˆˆ (๐‘… RingHom ๐‘†) โ†’ ๐น:(Baseโ€˜๐‘…)โŸถ๐ถ)
95, 8syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐น:(Baseโ€˜๐‘…)โŸถ๐ถ)
109adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐น:(Baseโ€˜๐‘…)โŸถ๐ถ)
11 evlslem1.p . . . . . . 7 ๐‘ƒ = (๐ผ mPoly ๐‘…)
12 evlslem1.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
13 evlslem1.d . . . . . . 7 ๐ท = {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
14 evlslem6.y . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
1511, 6, 12, 13, 14mplelf 21957 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ:๐ทโŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
1615ffvelcdmda 7099 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
1710, 16ffvelcdmd 7100 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) โˆˆ ๐ถ)
18 evlslem1.t . . . . . 6 ๐‘‡ = (mulGrpโ€˜๐‘†)
1918, 7mgpbas 20094 . . . . 5 ๐ถ = (Baseโ€˜๐‘‡)
20 evlslem1.x . . . . 5 โ†‘ = (.gโ€˜๐‘‡)
2118crngmgp 20195 . . . . . . 7 (๐‘† โˆˆ CRing โ†’ ๐‘‡ โˆˆ CMnd)
221, 21syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ CMnd)
2322adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ CMnd)
24 simpr 483 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ท)
25 evlslem1.g . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:๐ผโŸถ๐ถ)
2625adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐บ:๐ผโŸถ๐ถ)
2713, 19, 20, 23, 24, 26psrbagev2 22040 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)) โˆˆ ๐ถ)
28 evlslem1.m . . . . 5 ยท = (.rโ€˜๐‘†)
297, 28ringcl 20204 . . . 4 ((๐‘† โˆˆ Ring โˆง (๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) โˆˆ ๐ถ โˆง (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)) โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))) โˆˆ ๐ถ)
304, 17, 27, 29syl3anc 1368 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))) โˆˆ ๐ถ)
3130fmpttd 7130 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))):๐ทโŸถ๐ถ)
32 ovexd 7461 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆˆ V)
3313, 32rabexd 5339 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ V)
3433mptexd 7242 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))) โˆˆ V)
35 funmpt 6596 . . . 4 Fun (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))
3635a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ Fun (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))))
37 fvexd 6917 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (0gโ€˜๐‘†) โˆˆ V)
38 eqid 2728 . . . . 5 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
39 evlslem1.r . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
4011, 12, 38, 14, 39mplelsfi 21954 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ finSupp (0gโ€˜๐‘…))
4140fsuppimpd 9403 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ supp (0gโ€˜๐‘…)) โˆˆ Fin)
4215feqmptd 6972 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ = (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘)))
4342oveq1d 7441 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ supp (0gโ€˜๐‘…)) = ((๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘)) supp (0gโ€˜๐‘…)))
44 eqimss2 4041 . . . . . 6 ((๐‘Œ supp (0gโ€˜๐‘…)) = ((๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘)) supp (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘)) supp (0gโ€˜๐‘…)) โІ (๐‘Œ supp (0gโ€˜๐‘…)))
4543, 44syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘)) supp (0gโ€˜๐‘…)) โІ (๐‘Œ supp (0gโ€˜๐‘…)))
46 rhmghm 20437 . . . . . 6 (๐น โˆˆ (๐‘… RingHom ๐‘†) โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘†))
47 eqid 2728 . . . . . . 7 (0gโ€˜๐‘†) = (0gโ€˜๐‘†)
4838, 47ghmid 19190 . . . . . 6 (๐น โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘†) โ†’ (๐นโ€˜(0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘†))
495, 46, 483syl 18 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜(0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘†))
50 fvexd 6917 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘) โˆˆ V)
51 fvexd 6917 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
5245, 49, 50, 51suppssfv 8216 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘))) supp (0gโ€˜๐‘†)) โІ (๐‘Œ supp (0gโ€˜๐‘…)))
537, 28, 47ringlz 20243 . . . . 5 ((๐‘† โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((0gโ€˜๐‘†) ยท ๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘†))
543, 53sylan 578 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((0gโ€˜๐‘†) ยท ๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘†))
55 fvexd 6917 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) โˆˆ V)
5652, 54, 55, 27, 37suppssov1 8211 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))) supp (0gโ€˜๐‘†)) โІ (๐‘Œ supp (0gโ€˜๐‘…)))
57 suppssfifsupp 9413 . . 3 ((((๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))) โˆˆ V โˆง Fun (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))) โˆง (0gโ€˜๐‘†) โˆˆ V) โˆง ((๐‘Œ supp (0gโ€˜๐‘…)) โˆˆ Fin โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))) supp (0gโ€˜๐‘†)) โІ (๐‘Œ supp (0gโ€˜๐‘…)))) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))) finSupp (0gโ€˜๐‘†))
5834, 36, 37, 41, 56, 57syl32anc 1375 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))) finSupp (0gโ€˜๐‘†))
5931, 58jca 510 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))):๐ทโŸถ๐ถ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))) finSupp (0gโ€˜๐‘†)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {crab 3430  Vcvv 3473   โІ wss 3949   class class class wbr 5152   โ†ฆ cmpt 5235  โ—กccnv 5681   โ€œ cima 5685  Fun wfun 6547  โŸถwf 6549  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   โˆ˜f cof 7690   supp csupp 8173   โ†‘m cmap 8853  Fincfn 8972   finSupp cfsupp 9395  โ„•cn 12252  โ„•0cn0 12512  Basecbs 17189  .rcmulr 17243  0gc0g 17430   ฮฃg cgsu 17431  .gcmg 19037   GrpHom cghm 19181  CMndccmn 19749  mulGrpcmgp 20088  Ringcrg 20187  CRingccrg 20188   RingHom crh 20422   mVar cmvr 21852   mPoly cmpl 21853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-hash 14332  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-tset 17261  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-mulg 19038  df-ghm 19182  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-cring 20190  df-rhm 20425  df-psr 21856  df-mpl 21858
This theorem is referenced by:  evlslem1  22045
  Copyright terms: Public domain W3C validator