MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlslem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlslem6 21986
Description: Lemma for evlseu 21988. Finiteness and consistency of the top-level sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 26-Jul-2019.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem1.p ๐‘ƒ = (๐ผ mPoly ๐‘…)
evlslem1.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
evlslem1.c ๐ถ = (Baseโ€˜๐‘†)
evlslem1.d ๐ท = {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
evlslem1.t ๐‘‡ = (mulGrpโ€˜๐‘†)
evlslem1.x โ†‘ = (.gโ€˜๐‘‡)
evlslem1.m ยท = (.rโ€˜๐‘†)
evlslem1.v ๐‘‰ = (๐ผ mVar ๐‘…)
evlslem1.e ๐ธ = (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘† ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘โ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))))
evlslem1.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
evlslem1.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
evlslem1.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ CRing)
evlslem1.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘… RingHom ๐‘†))
evlslem1.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ:๐ผโŸถ๐ถ)
evlslem6.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
evlslem6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))):๐ทโŸถ๐ถ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))) finSupp (0gโ€˜๐‘†)))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘   ๐ถ,๐‘   ๐ท,๐‘   โ„Ž,๐ผ   ๐‘…,๐‘   ๐‘†,๐‘   ๐‘Œ,๐‘   โ„Ž,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(โ„Ž,๐‘)   ๐ต(โ„Ž,๐‘,๐‘)   ๐ถ(โ„Ž,๐‘)   ๐ท(โ„Ž,๐‘)   ๐‘ƒ(โ„Ž,๐‘,๐‘)   ๐‘…(โ„Ž,๐‘)   ๐‘†(โ„Ž,๐‘)   ๐‘‡(โ„Ž,๐‘,๐‘)   ยท (โ„Ž,๐‘,๐‘)   ๐ธ(โ„Ž,๐‘,๐‘)   โ†‘ (โ„Ž,๐‘,๐‘)   ๐น(โ„Ž,๐‘,๐‘)   ๐บ(โ„Ž,๐‘,๐‘)   ๐ผ(๐‘,๐‘)   ๐‘‰(โ„Ž,๐‘,๐‘)   ๐‘Š(โ„Ž,๐‘,๐‘)   ๐‘Œ(โ„Ž,๐‘)

Proof of Theorem evlslem6
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlslem1.s . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ CRing)
2 crngring 20150 . . . . . 6 (๐‘† โˆˆ CRing โ†’ ๐‘† โˆˆ Ring)
31, 2syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Ring)
43adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘† โˆˆ Ring)
5 evlslem1.f . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘… RingHom ๐‘†))
6 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
7 evlslem1.c . . . . . . . 8 ๐ถ = (Baseโ€˜๐‘†)
86, 7rhmf 20387 . . . . . . 7 (๐น โˆˆ (๐‘… RingHom ๐‘†) โ†’ ๐น:(Baseโ€˜๐‘…)โŸถ๐ถ)
95, 8syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐น:(Baseโ€˜๐‘…)โŸถ๐ถ)
109adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐น:(Baseโ€˜๐‘…)โŸถ๐ถ)
11 evlslem1.p . . . . . . 7 ๐‘ƒ = (๐ผ mPoly ๐‘…)
12 evlslem1.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
13 evlslem1.d . . . . . . 7 ๐ท = {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
14 evlslem6.y . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
1511, 6, 12, 13, 14mplelf 21899 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ:๐ทโŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
1615ffvelcdmda 7080 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
1710, 16ffvelcdmd 7081 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) โˆˆ ๐ถ)
18 evlslem1.t . . . . . 6 ๐‘‡ = (mulGrpโ€˜๐‘†)
1918, 7mgpbas 20045 . . . . 5 ๐ถ = (Baseโ€˜๐‘‡)
20 evlslem1.x . . . . 5 โ†‘ = (.gโ€˜๐‘‡)
2118crngmgp 20146 . . . . . . 7 (๐‘† โˆˆ CRing โ†’ ๐‘‡ โˆˆ CMnd)
221, 21syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ CMnd)
2322adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ CMnd)
24 simpr 484 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ท)
25 evlslem1.g . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:๐ผโŸถ๐ถ)
2625adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐บ:๐ผโŸถ๐ถ)
2713, 19, 20, 23, 24, 26psrbagev2 21982 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)) โˆˆ ๐ถ)
28 evlslem1.m . . . . 5 ยท = (.rโ€˜๐‘†)
297, 28ringcl 20155 . . . 4 ((๐‘† โˆˆ Ring โˆง (๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) โˆˆ ๐ถ โˆง (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)) โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))) โˆˆ ๐ถ)
304, 17, 27, 29syl3anc 1368 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))) โˆˆ ๐ถ)
3130fmpttd 7110 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))):๐ทโŸถ๐ถ)
32 ovexd 7440 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆˆ V)
3313, 32rabexd 5326 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ V)
3433mptexd 7221 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))) โˆˆ V)
35 funmpt 6580 . . . 4 Fun (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))
3635a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ Fun (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))))
37 fvexd 6900 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (0gโ€˜๐‘†) โˆˆ V)
38 eqid 2726 . . . . 5 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
39 evlslem1.r . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
4011, 12, 38, 14, 39mplelsfi 21896 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ finSupp (0gโ€˜๐‘…))
4140fsuppimpd 9371 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ supp (0gโ€˜๐‘…)) โˆˆ Fin)
4215feqmptd 6954 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ = (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘)))
4342oveq1d 7420 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ supp (0gโ€˜๐‘…)) = ((๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘)) supp (0gโ€˜๐‘…)))
44 eqimss2 4036 . . . . . 6 ((๐‘Œ supp (0gโ€˜๐‘…)) = ((๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘)) supp (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘)) supp (0gโ€˜๐‘…)) โІ (๐‘Œ supp (0gโ€˜๐‘…)))
4543, 44syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘)) supp (0gโ€˜๐‘…)) โІ (๐‘Œ supp (0gโ€˜๐‘…)))
46 rhmghm 20386 . . . . . 6 (๐น โˆˆ (๐‘… RingHom ๐‘†) โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘†))
47 eqid 2726 . . . . . . 7 (0gโ€˜๐‘†) = (0gโ€˜๐‘†)
4838, 47ghmid 19147 . . . . . 6 (๐น โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘†) โ†’ (๐นโ€˜(0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘†))
495, 46, 483syl 18 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜(0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘†))
50 fvexd 6900 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘) โˆˆ V)
51 fvexd 6900 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
5245, 49, 50, 51suppssfv 8188 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘))) supp (0gโ€˜๐‘†)) โІ (๐‘Œ supp (0gโ€˜๐‘…)))
537, 28, 47ringlz 20192 . . . . 5 ((๐‘† โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((0gโ€˜๐‘†) ยท ๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘†))
543, 53sylan 579 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((0gโ€˜๐‘†) ยท ๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘†))
55 fvexd 6900 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) โˆˆ V)
5652, 54, 55, 27, 37suppssov1 8183 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))) supp (0gโ€˜๐‘†)) โІ (๐‘Œ supp (0gโ€˜๐‘…)))
57 suppssfifsupp 9380 . . 3 ((((๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))) โˆˆ V โˆง Fun (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))) โˆง (0gโ€˜๐‘†) โˆˆ V) โˆง ((๐‘Œ supp (0gโ€˜๐‘…)) โˆˆ Fin โˆง ((๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))) supp (0gโ€˜๐‘†)) โІ (๐‘Œ supp (0gโ€˜๐‘…)))) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))) finSupp (0gโ€˜๐‘†))
5834, 36, 37, 41, 56, 57syl32anc 1375 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))) finSupp (0gโ€˜๐‘†))
5931, 58jca 511 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))):๐ทโŸถ๐ถ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘Œโ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))) finSupp (0gโ€˜๐‘†)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468   โІ wss 3943   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  โ—กccnv 5668   โ€œ cima 5672  Fun wfun 6531  โŸถwf 6533  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โˆ˜f cof 7665   supp csupp 8146   โ†‘m cmap 8822  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  Basecbs 17153  .rcmulr 17207  0gc0g 17394   ฮฃg cgsu 17395  .gcmg 18995   GrpHom cghm 19138  CMndccmn 19700  mulGrpcmgp 20039  Ringcrg 20138  CRingccrg 20139   RingHom crh 20371   mVar cmvr 21799   mPoly cmpl 21800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-tset 17225  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18996  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-rhm 20374  df-psr 21803  df-mpl 21805
This theorem is referenced by:  evlslem1  21987
  Copyright terms: Public domain W3C validator