MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlslem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlslem2 21861
Description: A linear function on the polynomial ring which is multiplicative on scaled monomials is generally multiplicative. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem2.p ๐‘ƒ = (๐ผ mPoly ๐‘…)
evlslem2.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
evlslem2.m ยท = (.rโ€˜๐‘†)
evlslem2.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
evlslem2.d ๐ท = {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
evlslem2.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
evlslem2.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
evlslem2.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ CRing)
evlslem2.e1 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ (๐‘ƒ GrpHom ๐‘†))
evlslem2.e2 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ท))) โ†’ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = (๐‘— โˆ˜f + ๐‘–), ((๐‘ฅโ€˜๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆโ€˜๐‘–)), 0 ))) = ((๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))) ยท (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))))
Assertion
Ref Expression
evlslem2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ธโ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘ƒ)๐‘ฆ)) = ((๐ธโ€˜๐‘ฅ) ยท (๐ธโ€˜๐‘ฆ)))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘ฆ   ๐ต,๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐ท,๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘–,๐ธ,๐‘—   โ„Ž,๐ผ,๐‘–,๐‘—,๐‘˜   ยท ,๐‘–,๐‘—   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘…,โ„Ž,๐‘–,๐‘—,๐‘˜   ๐‘†,๐‘–,๐‘—   ๐‘–,๐‘Š,๐‘—,๐‘˜   0 ,โ„Ž,๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,โ„Ž)   ๐ต(โ„Ž)   ๐ท(โ„Ž)   ๐‘ƒ(โ„Ž)   ๐‘…(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ฆ,โ„Ž,๐‘˜)   ยท (๐‘ฅ,๐‘ฆ,โ„Ž,๐‘˜)   ๐ธ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,โ„Ž,๐‘˜)   ๐ผ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘Š(๐‘ฅ,๐‘ฆ,โ„Ž)

Proof of Theorem evlslem2
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlslem2.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
2 eqid 2730 . . . . 5 (.rโ€˜๐‘ƒ) = (.rโ€˜๐‘ƒ)
3 eqid 2730 . . . . 5 (0gโ€˜๐‘ƒ) = (0gโ€˜๐‘ƒ)
4 evlslem2.d . . . . . . 7 ๐ท = {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
5 ovex 7444 . . . . . . 7 (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆˆ V
64, 5rabex2 5333 . . . . . 6 ๐ท โˆˆ V
76a1i 11 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ท โˆˆ V)
8 evlslem2.i . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
9 evlslem2.r . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
10 crngring 20139 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
12 evlslem2.p . . . . . . . 8 ๐‘ƒ = (๐ผ mPoly ๐‘…)
1312mplring 21797 . . . . . . 7 ((๐ผ โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
148, 11, 13syl2anc 582 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
1514adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
16 evlslem2.z . . . . . 6 0 = (0gโ€˜๐‘…)
17 eqid 2730 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
188ad2antrr 722 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
1911ad2antrr 722 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
20 simprl 767 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
2112, 17, 1, 4, 20mplelf 21776 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ:๐ทโŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
2221ffvelcdmda 7085 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘ฅโ€˜๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
23 simpr 483 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐ท)
2412, 4, 16, 17, 18, 19, 1, 22, 23mplmon2cl 21848 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 )) โˆˆ ๐ต)
258ad2antrr 722 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
2611ad2antrr 722 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
27 simprr 769 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
2812, 17, 1, 4, 27mplelf 21776 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ฆ:๐ทโŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
2928ffvelcdmda 7085 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘ฆโ€˜๐‘–) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
30 simpr 483 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐ท)
3112, 4, 16, 17, 25, 26, 1, 29, 30mplmon2cl 21848 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )) โˆˆ ๐ต)
326mptex 7226 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฆโ€˜๐‘—), 0 ))) โˆˆ V
33 funmpt 6585 . . . . . . . . . . . 12 Fun (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฆโ€˜๐‘—), 0 )))
34 fvex 6903 . . . . . . . . . . . 12 (0gโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ V
3532, 33, 343pm3.2i 1337 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฆโ€˜๐‘—), 0 ))) โˆˆ V โˆง Fun (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฆโ€˜๐‘—), 0 ))) โˆง (0gโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ V)
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฆโ€˜๐‘—), 0 ))) โˆˆ V โˆง Fun (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฆโ€˜๐‘—), 0 ))) โˆง (0gโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ V))
37 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
389adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
3912, 1, 16, 37, 38mplelsfi 21773 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฆ finSupp 0 )
4039fsuppimpd 9371 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ supp 0 ) โˆˆ Fin)
4112, 17, 1, 4, 37mplelf 21776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฆ:๐ทโŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
42 ssidd 4004 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ supp 0 ) โŠ† (๐‘ฆ supp 0 ))
436a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ท โˆˆ V)
4416fvexi 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 โˆˆ V
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โˆˆ V)
4641, 42, 43, 45suppssr 8183 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘— โˆˆ (๐ท โˆ– (๐‘ฆ supp 0 ))) โ†’ (๐‘ฆโ€˜๐‘—) = 0 )
4746ifeq1d 4546 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘— โˆˆ (๐ท โˆ– (๐‘ฆ supp 0 ))) โ†’ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฆโ€˜๐‘—), 0 ) = if(๐‘˜ = ๐‘—, 0 , 0 ))
48 ifid 4567 . . . . . . . . . . . . . 14 if(๐‘˜ = ๐‘—, 0 , 0 ) = 0
4947, 48eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘— โˆˆ (๐ท โˆ– (๐‘ฆ supp 0 ))) โ†’ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฆโ€˜๐‘—), 0 ) = 0 )
5049mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘— โˆˆ (๐ท โˆ– (๐‘ฆ supp 0 ))) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฆโ€˜๐‘—), 0 )) = (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ 0 ))
51 ringgrp 20132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
5211, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
5312, 4, 16, 3, 8, 52mpl0 21784 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (0gโ€˜๐‘ƒ) = (๐ท ร— { 0 }))
54 fconstmpt 5737 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ท ร— { 0 }) = (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ 0 )
5553, 54eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (0gโ€˜๐‘ƒ) = (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ 0 ))
5655ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘— โˆˆ (๐ท โˆ– (๐‘ฆ supp 0 ))) โ†’ (0gโ€˜๐‘ƒ) = (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ 0 ))
5750, 56eqtr4d 2773 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘— โˆˆ (๐ท โˆ– (๐‘ฆ supp 0 ))) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฆโ€˜๐‘—), 0 )) = (0gโ€˜๐‘ƒ))
5857, 43suppss2 8187 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฆโ€˜๐‘—), 0 ))) supp (0gโ€˜๐‘ƒ)) โŠ† (๐‘ฆ supp 0 ))
59 suppssfifsupp 9380 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฆโ€˜๐‘—), 0 ))) โˆˆ V โˆง Fun (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฆโ€˜๐‘—), 0 ))) โˆง (0gโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ V) โˆง ((๐‘ฆ supp 0 ) โˆˆ Fin โˆง ((๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฆโ€˜๐‘—), 0 ))) supp (0gโ€˜๐‘ƒ)) โŠ† (๐‘ฆ supp 0 ))) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฆโ€˜๐‘—), 0 ))) finSupp (0gโ€˜๐‘ƒ))
6036, 40, 58, 59syl12anc 833 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฆโ€˜๐‘—), 0 ))) finSupp (0gโ€˜๐‘ƒ))
6160ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฆโ€˜๐‘—), 0 ))) finSupp (0gโ€˜๐‘ƒ))
62 fveq1 6889 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฆโ€˜๐‘—) = (๐‘ฅโ€˜๐‘—))
6362ifeq1d 4546 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฆโ€˜๐‘—), 0 ) = if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))
6463mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฆโ€˜๐‘—), 0 )) = (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 )))
6564mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฆโ€˜๐‘—), 0 ))) = (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))))
6665breq1d 5157 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฆโ€˜๐‘—), 0 ))) finSupp (0gโ€˜๐‘ƒ) โ†” (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))) finSupp (0gโ€˜๐‘ƒ)))
6766cbvralvw 3232 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฆโ€˜๐‘—), 0 ))) finSupp (0gโ€˜๐‘ƒ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))) finSupp (0gโ€˜๐‘ƒ))
6861, 67sylib 217 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))) finSupp (0gโ€˜๐‘ƒ))
6968r19.21bi 3246 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))) finSupp (0gโ€˜๐‘ƒ))
7069adantrr 713 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))) finSupp (0gโ€˜๐‘ƒ))
71 equequ2 2027 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (๐‘˜ = ๐‘– โ†” ๐‘˜ = ๐‘—))
72 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (๐‘ฆโ€˜๐‘–) = (๐‘ฆโ€˜๐‘—))
7371, 72ifbieq1d 4551 . . . . . . . 8 (๐‘– = ๐‘— โ†’ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ) = if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฆโ€˜๐‘—), 0 ))
7473mpteq2dv 5249 . . . . . . 7 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )) = (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฆโ€˜๐‘—), 0 )))
7574cbvmptv 5260 . . . . . 6 (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))) = (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฆโ€˜๐‘—), 0 )))
7660adantrl 712 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฆโ€˜๐‘—), 0 ))) finSupp (0gโ€˜๐‘ƒ))
7775, 76eqbrtrid 5182 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))) finSupp (0gโ€˜๐‘ƒ))
781, 2, 3, 7, 7, 15, 24, 31, 70, 77gsumdixp 20207 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ƒ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))))) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐ท, ๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))))))
7978fveq2d 6894 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ธโ€˜((๐‘ƒ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))))) = (๐ธโ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐ท, ๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))))))
80 ringcmn 20170 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ CMnd)
8114, 80syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ CMnd)
8281adantr 479 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ CMnd)
83 evlslem2.s . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ CRing)
84 crngring 20139 . . . . . . 7 (๐‘† โˆˆ CRing โ†’ ๐‘† โˆˆ Ring)
8583, 84syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Ring)
8685adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘† โˆˆ Ring)
87 ringmnd 20137 . . . . 5 (๐‘† โˆˆ Ring โ†’ ๐‘† โˆˆ Mnd)
8886, 87syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘† โˆˆ Mnd)
896, 6xpex 7742 . . . . 5 (๐ท ร— ๐ท) โˆˆ V
9089a1i 11 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ท ร— ๐ท) โˆˆ V)
91 evlslem2.e1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ (๐‘ƒ GrpHom ๐‘†))
92 ghmmhm 19140 . . . . . 6 (๐ธ โˆˆ (๐‘ƒ GrpHom ๐‘†) โ†’ ๐ธ โˆˆ (๐‘ƒ MndHom ๐‘†))
9391, 92syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ (๐‘ƒ MndHom ๐‘†))
9493adantr 479 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ธ โˆˆ (๐‘ƒ MndHom ๐‘†))
9514ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ท)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
9624adantrr 713 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 )) โˆˆ ๐ต)
9731adantrl 712 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )) โˆˆ ๐ต)
981, 2ringcl 20144 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ Ring โˆง (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 )) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))) โˆˆ ๐ต)
9995, 96, 97, 98syl3anc 1369 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ท)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))) โˆˆ ๐ต)
10099ralrimivva 3198 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐ท โˆ€๐‘– โˆˆ ๐ท ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))) โˆˆ ๐ต)
101 eqid 2730 . . . . . 6 (๐‘— โˆˆ ๐ท, ๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))) = (๐‘— โˆˆ ๐ท, ๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))))
102101fmpo 8056 . . . . 5 (โˆ€๐‘— โˆˆ ๐ท โˆ€๐‘– โˆˆ ๐ท ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))) โˆˆ ๐ต โ†” (๐‘— โˆˆ ๐ท, ๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))):(๐ท ร— ๐ท)โŸถ๐ต)
103100, 102sylib 217 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐ท, ๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))):(๐ท ร— ๐ท)โŸถ๐ต)
1046, 6mpoex 8068 . . . . . . 7 (๐‘— โˆˆ ๐ท, ๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))) โˆˆ V
105101mpofun 7534 . . . . . . 7 Fun (๐‘— โˆˆ ๐ท, ๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))))
106104, 105, 343pm3.2i 1337 . . . . . 6 ((๐‘— โˆˆ ๐ท, ๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))) โˆˆ V โˆง Fun (๐‘— โˆˆ ๐ท, ๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))) โˆง (0gโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ V)
107106a1i 11 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘— โˆˆ ๐ท, ๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))) โˆˆ V โˆง Fun (๐‘— โˆˆ ๐ท, ๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))) โˆง (0gโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ V))
10870fsuppimpd 9371 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))) supp (0gโ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ Fin)
10977fsuppimpd 9371 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))) supp (0gโ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ Fin)
110 xpfi 9319 . . . . . 6 ((((๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))) supp (0gโ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ Fin โˆง ((๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))) supp (0gโ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ Fin) โ†’ (((๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))) supp (0gโ€˜๐‘ƒ)) ร— ((๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))) supp (0gโ€˜๐‘ƒ))) โˆˆ Fin)
111108, 109, 110syl2anc 582 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))) supp (0gโ€˜๐‘ƒ)) ร— ((๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))) supp (0gโ€˜๐‘ƒ))) โˆˆ Fin)
1121, 3, 2, 15, 24, 31, 7, 7evlslem4 21856 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘— โˆˆ ๐ท, ๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))) supp (0gโ€˜๐‘ƒ)) โŠ† (((๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))) supp (0gโ€˜๐‘ƒ)) ร— ((๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))) supp (0gโ€˜๐‘ƒ))))
113 suppssfifsupp 9380 . . . . 5 ((((๐‘— โˆˆ ๐ท, ๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))) โˆˆ V โˆง Fun (๐‘— โˆˆ ๐ท, ๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))) โˆง (0gโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ V) โˆง ((((๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))) supp (0gโ€˜๐‘ƒ)) ร— ((๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))) supp (0gโ€˜๐‘ƒ))) โˆˆ Fin โˆง ((๐‘— โˆˆ ๐ท, ๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))) supp (0gโ€˜๐‘ƒ)) โŠ† (((๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))) supp (0gโ€˜๐‘ƒ)) ร— ((๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))) supp (0gโ€˜๐‘ƒ))))) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐ท, ๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))) finSupp (0gโ€˜๐‘ƒ))
114107, 111, 112, 113syl12anc 833 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐ท, ๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))) finSupp (0gโ€˜๐‘ƒ))
1151, 3, 82, 88, 90, 94, 103, 114gsummhm 19847 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘† ฮฃg (๐ธ โˆ˜ (๐‘— โˆˆ ๐ท, ๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))))) = (๐ธโ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐ท, ๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))))))
1168ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ท)) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
1179ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ท)) โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
118 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
119 simprl 767 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ท)) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐ท)
120 simprr 769 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ท)) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐ท)
12122adantrr 713 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐‘ฅโ€˜๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
12229adantrl 712 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐‘ฆโ€˜๐‘–) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
12312, 4, 16, 17, 116, 117, 2, 118, 119, 120, 121, 122mplmon2mul 21849 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ท)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))) = (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = (๐‘— โˆ˜f + ๐‘–), ((๐‘ฅโ€˜๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆโ€˜๐‘–)), 0 )))
124123fveq2d 6894 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐ธโ€˜((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))) = (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = (๐‘— โˆ˜f + ๐‘–), ((๐‘ฅโ€˜๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆโ€˜๐‘–)), 0 ))))
125 evlslem2.e2 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ท))) โ†’ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = (๐‘— โˆ˜f + ๐‘–), ((๐‘ฅโ€˜๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆโ€˜๐‘–)), 0 ))) = ((๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))) ยท (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))))
126125anassrs 466 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = (๐‘— โˆ˜f + ๐‘–), ((๐‘ฅโ€˜๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆโ€˜๐‘–)), 0 ))) = ((๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))) ยท (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))))
127124, 126eqtrd 2770 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘— โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐ธโ€˜((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))) = ((๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))) ยท (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))))
1281273impb 1113 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐ธโ€˜((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))) = ((๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))) ยท (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))))
129128mpoeq3dva 7488 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐ท, ๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))))) = (๐‘— โˆˆ ๐ท, ๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))) ยท (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))))))
130129oveq2d 7427 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘† ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐ท, ๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))))) = (๐‘† ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐ท, ๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))) ยท (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))))))
131 eqidd 2731 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐ท, ๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))) = (๐‘— โˆˆ ๐ท, ๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))))
132 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (Baseโ€˜๐‘†) = (Baseโ€˜๐‘†)
1331, 132ghmf 19134 . . . . . . . . 9 (๐ธ โˆˆ (๐‘ƒ GrpHom ๐‘†) โ†’ ๐ธ:๐ตโŸถ(Baseโ€˜๐‘†))
13491, 133syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ:๐ตโŸถ(Baseโ€˜๐‘†))
135134feqmptd 6959 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ = (๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐ธโ€˜๐‘ง)))
136135adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ธ = (๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐ธโ€˜๐‘ง)))
137 fveq2 6890 . . . . . 6 (๐‘ง = ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))) โ†’ (๐ธโ€˜๐‘ง) = (๐ธโ€˜((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))))
13899, 131, 136, 137fmpoco 8083 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ธ โˆ˜ (๐‘— โˆˆ ๐ท, ๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))))) = (๐‘— โˆˆ ๐ท, ๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))))))
139138oveq2d 7427 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘† ฮฃg (๐ธ โˆ˜ (๐‘— โˆˆ ๐ท, ๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))))) = (๐‘† ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐ท, ๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))))))
140 eqidd 2731 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))) = (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))))
141 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (๐‘ง = (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 )) โ†’ (๐ธโ€˜๐‘ง) = (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))))
14224, 140, 136, 141fmptco 7128 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ธ โˆ˜ (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 )))) = (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 )))))
143142oveq2d 7427 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘† ฮฃg (๐ธ โˆ˜ (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))))) = (๐‘† ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))))))
144 eqidd 2731 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))) = (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))))
145 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (๐‘ง = (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )) โ†’ (๐ธโ€˜๐‘ง) = (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))))
14631, 144, 136, 145fmptco 7128 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ธ โˆ˜ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))) = (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))))
147146oveq2d 7427 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘† ฮฃg (๐ธ โˆ˜ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))))) = (๐‘† ฮฃg (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))))))
148143, 147oveq12d 7429 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘† ฮฃg (๐ธ โˆ˜ (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))))) ยท (๐‘† ฮฃg (๐ธ โˆ˜ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))))) = ((๐‘† ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))))) ยท (๐‘† ฮฃg (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))))))
149 evlslem2.m . . . . . 6 ยท = (.rโ€˜๐‘†)
150 eqid 2730 . . . . . 6 (0gโ€˜๐‘†) = (0gโ€˜๐‘†)
151134ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐ธ:๐ตโŸถ(Baseโ€˜๐‘†))
152151, 24ffvelcdmd 7086 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘†))
153134ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐ธ:๐ตโŸถ(Baseโ€˜๐‘†))
154153, 31ffvelcdmd 7086 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘†))
1556mptex 7226 . . . . . . . . 9 (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 )))) โˆˆ V
156 funmpt 6585 . . . . . . . . 9 Fun (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))))
157 fvex 6903 . . . . . . . . 9 (0gโ€˜๐‘†) โˆˆ V
158155, 156, 1573pm3.2i 1337 . . . . . . . 8 ((๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 )))) โˆˆ V โˆง Fun (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 )))) โˆง (0gโ€˜๐‘†) โˆˆ V)
159158a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 )))) โˆˆ V โˆง Fun (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 )))) โˆง (0gโ€˜๐‘†) โˆˆ V))
160 ssidd 4004 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))) supp (0gโ€˜๐‘ƒ)) โŠ† ((๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))) supp (0gโ€˜๐‘ƒ)))
1613, 150ghmid 19136 . . . . . . . . . 10 (๐ธ โˆˆ (๐‘ƒ GrpHom ๐‘†) โ†’ (๐ธโ€˜(0gโ€˜๐‘ƒ)) = (0gโ€˜๐‘†))
16291, 161syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ€˜(0gโ€˜๐‘ƒ)) = (0gโ€˜๐‘†))
1636mptex 7226 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 )) โˆˆ V
164163a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 )) โˆˆ V)
16534a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (0gโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ V)
166160, 162, 164, 165suppssfv 8189 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 )))) supp (0gโ€˜๐‘†)) โŠ† ((๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))) supp (0gโ€˜๐‘ƒ)))
167166adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 )))) supp (0gโ€˜๐‘†)) โŠ† ((๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))) supp (0gโ€˜๐‘ƒ)))
168 suppssfifsupp 9380 . . . . . . 7 ((((๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 )))) โˆˆ V โˆง Fun (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 )))) โˆง (0gโ€˜๐‘†) โˆˆ V) โˆง (((๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))) supp (0gโ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ Fin โˆง ((๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 )))) supp (0gโ€˜๐‘†)) โŠ† ((๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))) supp (0gโ€˜๐‘ƒ)))) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 )))) finSupp (0gโ€˜๐‘†))
169159, 108, 167, 168syl12anc 833 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 )))) finSupp (0gโ€˜๐‘†))
1706mptex 7226 . . . . . . . . 9 (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))) โˆˆ V
171 funmpt 6585 . . . . . . . . 9 Fun (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))))
172170, 171, 1573pm3.2i 1337 . . . . . . . 8 ((๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))) โˆˆ V โˆง Fun (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))) โˆง (0gโ€˜๐‘†) โˆˆ V)
173172a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))) โˆˆ V โˆง Fun (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))) โˆง (0gโ€˜๐‘†) โˆˆ V))
174 ssidd 4004 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))) supp (0gโ€˜๐‘ƒ)) โŠ† ((๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))) supp (0gโ€˜๐‘ƒ)))
1756mptex 7226 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )) โˆˆ V
176175a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )) โˆˆ V)
177174, 162, 176, 165suppssfv 8189 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))) supp (0gโ€˜๐‘†)) โŠ† ((๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))) supp (0gโ€˜๐‘ƒ)))
178177adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))) supp (0gโ€˜๐‘†)) โŠ† ((๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))) supp (0gโ€˜๐‘ƒ)))
179 suppssfifsupp 9380 . . . . . . 7 ((((๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))) โˆˆ V โˆง Fun (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))) โˆง (0gโ€˜๐‘†) โˆˆ V) โˆง (((๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))) supp (0gโ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ Fin โˆง ((๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))) supp (0gโ€˜๐‘†)) โŠ† ((๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))) supp (0gโ€˜๐‘ƒ)))) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))) finSupp (0gโ€˜๐‘†))
180173, 109, 178, 179syl12anc 833 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))) finSupp (0gโ€˜๐‘†))
181132, 149, 150, 7, 7, 86, 152, 154, 169, 180gsumdixp 20207 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘† ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))))) ยท (๐‘† ฮฃg (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))))) = (๐‘† ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐ท, ๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))) ยท (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))))))
182148, 181eqtrd 2770 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘† ฮฃg (๐ธ โˆ˜ (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))))) ยท (๐‘† ฮฃg (๐ธ โˆ˜ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))))) = (๐‘† ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐ท, ๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))) ยท (๐ธโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))))))
183130, 139, 1823eqtr4d 2780 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘† ฮฃg (๐ธ โˆ˜ (๐‘— โˆˆ ๐ท, ๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))))) = ((๐‘† ฮฃg (๐ธ โˆ˜ (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))))) ยท (๐‘† ฮฃg (๐ธ โˆ˜ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))))))
18479, 115, 1833eqtr2d 2776 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ธโ€˜((๐‘ƒ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))))) = ((๐‘† ฮฃg (๐ธ โˆ˜ (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))))) ยท (๐‘† ฮฃg (๐ธ โˆ˜ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))))))
1858adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
18611adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
18712, 4, 16, 1, 185, 186, 20mplcoe4 21851 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 )))))
18812, 4, 16, 1, 185, 186, 27mplcoe4 21851 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ฆ = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))))
189187, 188oveq12d 7429 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘ƒ)๐‘ฆ) = ((๐‘ƒ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))))))
190189fveq2d 6894 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ธโ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘ƒ)๐‘ฆ)) = (๐ธโ€˜((๐‘ƒ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))))(.rโ€˜๐‘ƒ)(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))))))
191187fveq2d 6894 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = (๐ธโ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))))))
19224fmpttd 7115 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))):๐ทโŸถ๐ต)
1931, 3, 82, 88, 7, 94, 192, 70gsummhm 19847 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘† ฮฃg (๐ธ โˆ˜ (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))))) = (๐ธโ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))))))
194191, 193eqtr4d 2773 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ธโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘† ฮฃg (๐ธ โˆ˜ (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))))))
195188fveq2d 6894 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ธโ€˜๐‘ฆ) = (๐ธโ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))))))
19631fmpttd 7115 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))):๐ทโŸถ๐ต)
1971, 3, 82, 88, 7, 94, 196, 77gsummhm 19847 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘† ฮฃg (๐ธ โˆ˜ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))))) = (๐ธโ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))))))
198195, 197eqtr4d 2773 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ธโ€˜๐‘ฆ) = (๐‘† ฮฃg (๐ธ โˆ˜ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 ))))))
199194, 198oveq12d 7429 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐ธโ€˜๐‘ฅ) ยท (๐ธโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘† ฮฃg (๐ธ โˆ˜ (๐‘— โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘—, (๐‘ฅโ€˜๐‘—), 0 ))))) ยท (๐‘† ฮฃg (๐ธ โˆ˜ (๐‘– โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘ฆโ€˜๐‘–), 0 )))))))
200184, 190, 1993eqtr4d 2780 1 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ธโ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘ƒ)๐‘ฆ)) = ((๐ธโ€˜๐‘ฅ) ยท (๐ธโ€˜๐‘ฆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆ€wral 3059  {crab 3430  Vcvv 3472   โˆ– cdif 3944   โŠ† wss 3947  ifcif 4527  {csn 4627   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230   ร— cxp 5673  โ—กccnv 5674   โ€œ cima 5678   โˆ˜ ccom 5679  Fun wfun 6536  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   โˆˆ cmpo 7413   โˆ˜f cof 7670   supp csupp 8148   โ†‘m cmap 8822  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363   + caddc 11115  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  Basecbs 17148  .rcmulr 17202  0gc0g 17389   ฮฃg cgsu 17390  Mndcmnd 18659   MndHom cmhm 18703  Grpcgrp 18855   GrpHom cghm 19127  CMndccmn 19689  Ringcrg 20127  CRingccrg 20128   mPoly cmpl 21678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-assa 21627  df-psr 21681  df-mpl 21683
This theorem is referenced by:  evlslem1  21864
  Copyright terms: Public domain W3C validator