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Theorem evlslem2 21641
Description: A linear function on the polynomial ring which is multiplicative on scaled monomials is generally multiplicative. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem2.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlslem2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
evlslem2.m Β· = (.rβ€˜π‘†)
evlslem2.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
evlslem2.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
evlslem2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
evlslem2.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
evlslem2.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
evlslem2.e1 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑆))
evlslem2.e2 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷))) β†’ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = (𝑗 ∘f + 𝑖), ((π‘₯β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘–)), 0 ))) = ((πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))) Β· (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))))
Assertion
Ref Expression
evlslem2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (πΈβ€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = ((πΈβ€˜π‘₯) Β· (πΈβ€˜π‘¦)))
Distinct variable groups:   πœ‘,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑦   𝐡,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝐷,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝑖,𝐸,𝑗   β„Ž,𝐼,𝑖,𝑗,π‘˜   Β· ,𝑖,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝑅,β„Ž,𝑖,𝑗,π‘˜   𝑆,𝑖,𝑗   𝑖,π‘Š,𝑗,π‘˜   0 ,β„Ž,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,β„Ž)   𝐡(β„Ž)   𝐷(β„Ž)   𝑃(β„Ž)   𝑅(π‘₯,𝑦)   𝑆(π‘₯,𝑦,β„Ž,π‘˜)   Β· (π‘₯,𝑦,β„Ž,π‘˜)   𝐸(π‘₯,𝑦,β„Ž,π‘˜)   𝐼(π‘₯,𝑦)   π‘Š(π‘₯,𝑦,β„Ž)
Proof of Theorem evlslem2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlslem2.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
2 eqid 2732 . . . . 5 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
3 eqid 2732 . . . . 5 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
4 evlslem2.d . . . . . . 7 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
5 ovex 7441 . . . . . . 7 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
64, 5rabex2 5334 . . . . . 6 𝐷 ∈ V
76a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐷 ∈ V)
8 evlslem2.i . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
9 evlslem2.r . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
10 crngring 20067 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
12 evlslem2.p . . . . . . . 8 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
1312mplring 21577 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
148, 11, 13syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
1514adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
16 evlslem2.z . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘…)
17 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
188ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
1911ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
20 simprl 769 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
2112, 17, 1, 4, 20mplelf 21556 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
2221ffvelcdmda 7086 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯β€˜π‘—) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
23 simpr 485 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) β†’ 𝑗 ∈ 𝐷)
2412, 4, 16, 17, 18, 19, 1, 22, 23mplmon2cl 21628 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 )) ∈ 𝐡)
258ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
2611ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
27 simprr 771 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
2812, 17, 1, 4, 27mplelf 21556 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
2928ffvelcdmda 7086 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) β†’ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
30 simpr 485 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) β†’ 𝑖 ∈ 𝐷)
3112, 4, 16, 17, 25, 26, 1, 29, 30mplmon2cl 21628 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )) ∈ 𝐡)
326mptex 7224 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘¦β€˜π‘—), 0 ))) ∈ V
33 funmpt 6586 . . . . . . . . . . . 12 Fun (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘¦β€˜π‘—), 0 )))
34 fvex 6904 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V
3532, 33, 343pm3.2i 1339 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘¦β€˜π‘—), 0 ))) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘¦β€˜π‘—), 0 ))) ∧ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V)
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘¦β€˜π‘—), 0 ))) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘¦β€˜π‘—), 0 ))) ∧ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V))
37 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
389adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
3912, 1, 16, 37, 38mplelsfi 21553 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 finSupp 0 )
4039fsuppimpd 9368 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 supp 0 ) ∈ Fin)
4112, 17, 1, 4, 37mplelf 21556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
42 ssidd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 supp 0 ) βŠ† (𝑦 supp 0 ))
436a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝐷 ∈ V)
4416fvexi 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ V
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 0 ∈ V)
4641, 42, 43, 45suppssr 8180 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ (𝐷 βˆ– (𝑦 supp 0 ))) β†’ (π‘¦β€˜π‘—) = 0 )
4746ifeq1d 4547 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ (𝐷 βˆ– (𝑦 supp 0 ))) β†’ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘¦β€˜π‘—), 0 ) = if(π‘˜ = 𝑗, 0 , 0 ))
48 ifid 4568 . . . . . . . . . . . . . 14 if(π‘˜ = 𝑗, 0 , 0 ) = 0
4947, 48eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ (𝐷 βˆ– (𝑦 supp 0 ))) β†’ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘¦β€˜π‘—), 0 ) = 0 )
5049mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ (𝐷 βˆ– (𝑦 supp 0 ))) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘¦β€˜π‘—), 0 )) = (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 0 ))
51 ringgrp 20060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
5211, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
5312, 4, 16, 3, 8, 52mpl0 21564 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) = (𝐷 Γ— { 0 }))
54 fconstmpt 5738 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 Γ— { 0 }) = (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 0 )
5553, 54eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) = (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 0 ))
5655ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ (𝐷 βˆ– (𝑦 supp 0 ))) β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) = (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 0 ))
5750, 56eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ (𝐷 βˆ– (𝑦 supp 0 ))) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘¦β€˜π‘—), 0 )) = (0gβ€˜π‘ƒ))
5857, 43suppss2 8184 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘¦β€˜π‘—), 0 ))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)) βŠ† (𝑦 supp 0 ))
59 suppssfifsupp 9377 . . . . . . . . . 10 ((((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘¦β€˜π‘—), 0 ))) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘¦β€˜π‘—), 0 ))) ∧ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V) ∧ ((𝑦 supp 0 ) ∈ Fin ∧ ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘¦β€˜π‘—), 0 ))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)) βŠ† (𝑦 supp 0 ))) β†’ (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘¦β€˜π‘—), 0 ))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
6036, 40, 58, 59syl12anc 835 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘¦β€˜π‘—), 0 ))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
6160ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘¦β€˜π‘—), 0 ))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
62 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = π‘₯ β†’ (π‘¦β€˜π‘—) = (π‘₯β€˜π‘—))
6362ifeq1d 4547 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = π‘₯ β†’ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘¦β€˜π‘—), 0 ) = if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))
6463mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘¦β€˜π‘—), 0 )) = (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 )))
6564mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘¦β€˜π‘—), 0 ))) = (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))))
6665breq1d 5158 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘¦β€˜π‘—), 0 ))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ) ↔ (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ)))
6766cbvralvw 3234 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘¦β€˜π‘—), 0 ))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
6861, 67sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
6968r19.21bi 3248 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
7069adantrr 715 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
71 equequ2 2029 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘˜ = 𝑖 ↔ π‘˜ = 𝑗))
72 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘¦β€˜π‘–) = (π‘¦β€˜π‘—))
7371, 72ifbieq1d 4552 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 β†’ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ) = if(π‘˜ = 𝑗, (π‘¦β€˜π‘—), 0 ))
7473mpteq2dv 5250 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )) = (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘¦β€˜π‘—), 0 )))
7574cbvmptv 5261 . . . . . 6 (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))) = (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘¦β€˜π‘—), 0 )))
7660adantrl 714 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘¦β€˜π‘—), 0 ))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
7775, 76eqbrtrid 5183 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
781, 2, 3, 7, 7, 15, 24, 31, 70, 77gsumdixp 20130 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑃 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))))(.rβ€˜π‘ƒ)(𝑃 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))))) = (𝑃 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐷 ↦ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))))))
7978fveq2d 6895 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (πΈβ€˜((𝑃 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))))(.rβ€˜π‘ƒ)(𝑃 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))))) = (πΈβ€˜(𝑃 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐷 ↦ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))))))
80 ringcmn 20098 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
8114, 80syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
8281adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
83 evlslem2.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
84 crngring 20067 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ CRing β†’ 𝑆 ∈ Ring)
8583, 84syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
8685adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
87 ringmnd 20065 . . . . 5 (𝑆 ∈ Ring β†’ 𝑆 ∈ Mnd)
8886, 87syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑆 ∈ Mnd)
896, 6xpex 7739 . . . . 5 (𝐷 Γ— 𝐷) ∈ V
9089a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐷 Γ— 𝐷) ∈ V)
91 evlslem2.e1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑆))
92 ghmmhm 19101 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑆) β†’ 𝐸 ∈ (𝑃 MndHom 𝑆))
9391, 92syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝑃 MndHom 𝑆))
9493adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐸 ∈ (𝑃 MndHom 𝑆))
9514ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷)) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
9624adantrr 715 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 )) ∈ 𝐡)
9731adantrl 714 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )) ∈ 𝐡)
981, 2ringcl 20072 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 )) ∈ 𝐡 ∧ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))) ∈ 𝐡)
9995, 96, 97, 98syl3anc 1371 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))) ∈ 𝐡)
10099ralrimivva 3200 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐷 βˆ€π‘– ∈ 𝐷 ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))) ∈ 𝐡)
101 eqid 2732 . . . . . 6 (𝑗 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐷 ↦ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))) = (𝑗 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐷 ↦ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))))
102101fmpo 8053 . . . . 5 (βˆ€π‘— ∈ 𝐷 βˆ€π‘– ∈ 𝐷 ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))) ∈ 𝐡 ↔ (𝑗 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐷 ↦ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))):(𝐷 Γ— 𝐷)⟢𝐡)
103100, 102sylib 217 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑗 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐷 ↦ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))):(𝐷 Γ— 𝐷)⟢𝐡)
1046, 6mpoex 8065 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐷 ↦ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))) ∈ V
105101mpofun 7531 . . . . . . 7 Fun (𝑗 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐷 ↦ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))))
106104, 105, 343pm3.2i 1339 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐷 ↦ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐷 ↦ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))) ∧ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V)
107106a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑗 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐷 ↦ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐷 ↦ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))) ∧ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V))
10870fsuppimpd 9368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)) ∈ Fin)
10977fsuppimpd 9368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)) ∈ Fin)
110 xpfi 9316 . . . . . 6 ((((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)) ∈ Fin ∧ ((𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)) ∈ Fin) β†’ (((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)) Γ— ((𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))) supp (0gβ€˜π‘ƒ))) ∈ Fin)
111108, 109, 110syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)) Γ— ((𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))) supp (0gβ€˜π‘ƒ))) ∈ Fin)
1121, 3, 2, 15, 24, 31, 7, 7evlslem4 21636 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑗 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐷 ↦ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)) βŠ† (((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)) Γ— ((𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))) supp (0gβ€˜π‘ƒ))))
113 suppssfifsupp 9377 . . . . 5 ((((𝑗 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐷 ↦ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐷 ↦ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))) ∧ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V) ∧ ((((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)) Γ— ((𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))) supp (0gβ€˜π‘ƒ))) ∈ Fin ∧ ((𝑗 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐷 ↦ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)) βŠ† (((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)) Γ— ((𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))) supp (0gβ€˜π‘ƒ))))) β†’ (𝑗 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐷 ↦ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
114107, 111, 112, 113syl12anc 835 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑗 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐷 ↦ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
1151, 3, 82, 88, 90, 94, 103, 114gsummhm 19805 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑆 Ξ£g (𝐸 ∘ (𝑗 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐷 ↦ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))))) = (πΈβ€˜(𝑃 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐷 ↦ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))))))
1168ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷)) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
1179ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷)) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
118 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
119 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷)) β†’ 𝑗 ∈ 𝐷)
120 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷)) β†’ 𝑖 ∈ 𝐷)
12122adantrr 715 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘₯β€˜π‘—) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
12229adantrl 714 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
12312, 4, 16, 17, 116, 117, 2, 118, 119, 120, 121, 122mplmon2mul 21629 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))) = (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = (𝑗 ∘f + 𝑖), ((π‘₯β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘–)), 0 )))
124123fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷)) β†’ (πΈβ€˜((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))) = (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = (𝑗 ∘f + 𝑖), ((π‘₯β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘–)), 0 ))))
125 evlslem2.e2 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷))) β†’ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = (𝑗 ∘f + 𝑖), ((π‘₯β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘–)), 0 ))) = ((πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))) Β· (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))))
126125anassrs 468 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷)) β†’ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = (𝑗 ∘f + 𝑖), ((π‘₯β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘–)), 0 ))) = ((πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))) Β· (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))))
127124, 126eqtrd 2772 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷)) β†’ (πΈβ€˜((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))) = ((πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))) Β· (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))))
1281273impb 1115 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) β†’ (πΈβ€˜((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))) = ((πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))) Β· (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))))
129128mpoeq3dva 7485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑗 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))))) = (𝑗 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐷 ↦ ((πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))) Β· (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))))))
130129oveq2d 7424 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑆 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))))) = (𝑆 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐷 ↦ ((πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))) Β· (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))))))
131 eqidd 2733 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑗 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐷 ↦ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))) = (𝑗 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐷 ↦ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))))
132 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
1331, 132ghmf 19095 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑆) β†’ 𝐸:𝐡⟢(Baseβ€˜π‘†))
13491, 133syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸:𝐡⟢(Baseβ€˜π‘†))
135134feqmptd 6960 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ (πΈβ€˜π‘§)))
136135adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐸 = (𝑧 ∈ 𝐡 ↦ (πΈβ€˜π‘§)))
137 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑧 = ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))) β†’ (πΈβ€˜π‘§) = (πΈβ€˜((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))))
13899, 131, 136, 137fmpoco 8080 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐸 ∘ (𝑗 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐷 ↦ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))))) = (𝑗 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))))))
139138oveq2d 7424 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑆 Ξ£g (𝐸 ∘ (𝑗 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐷 ↦ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))))) = (𝑆 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))))))
140 eqidd 2733 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))) = (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))))
141 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑧 = (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 )) β†’ (πΈβ€˜π‘§) = (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))))
14224, 140, 136, 141fmptco 7126 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐸 ∘ (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 )))) = (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 )))))
143142oveq2d 7424 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑆 Ξ£g (𝐸 ∘ (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))))) = (𝑆 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))))))
144 eqidd 2733 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))) = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))))
145 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑧 = (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )) β†’ (πΈβ€˜π‘§) = (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))))
14631, 144, 136, 145fmptco 7126 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐸 ∘ (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))) = (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))))
147146oveq2d 7424 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑆 Ξ£g (𝐸 ∘ (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))))) = (𝑆 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))))))
148143, 147oveq12d 7426 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑆 Ξ£g (𝐸 ∘ (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))))) Β· (𝑆 Ξ£g (𝐸 ∘ (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))))) = ((𝑆 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))))) Β· (𝑆 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))))))
149 evlslem2.m . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜π‘†)
150 eqid 2732 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
151134ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) β†’ 𝐸:𝐡⟢(Baseβ€˜π‘†))
152151, 24ffvelcdmd 7087 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) β†’ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
153134ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) β†’ 𝐸:𝐡⟢(Baseβ€˜π‘†))
154153, 31ffvelcdmd 7087 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) β†’ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
1556mptex 7224 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 )))) ∈ V
156 funmpt 6586 . . . . . . . . 9 Fun (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))))
157 fvex 6904 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘†) ∈ V
158155, 156, 1573pm3.2i 1339 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 )))) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 )))) ∧ (0gβ€˜π‘†) ∈ V)
159158a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 )))) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 )))) ∧ (0gβ€˜π‘†) ∈ V))
160 ssidd 4005 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)) βŠ† ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)))
1613, 150ghmid 19097 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑆) β†’ (πΈβ€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) = (0gβ€˜π‘†))
16291, 161syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) = (0gβ€˜π‘†))
1636mptex 7224 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 )) ∈ V
164163a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 )) ∈ V)
16534a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V)
166160, 162, 164, 165suppssfv 8186 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 )))) supp (0gβ€˜π‘†)) βŠ† ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)))
167166adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 )))) supp (0gβ€˜π‘†)) βŠ† ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)))
168 suppssfifsupp 9377 . . . . . . 7 ((((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 )))) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 )))) ∧ (0gβ€˜π‘†) ∈ V) ∧ (((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)) ∈ Fin ∧ ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 )))) supp (0gβ€˜π‘†)) βŠ† ((𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)))) β†’ (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 )))) finSupp (0gβ€˜π‘†))
169159, 108, 167, 168syl12anc 835 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 )))) finSupp (0gβ€˜π‘†))
1706mptex 7224 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))) ∈ V
171 funmpt 6586 . . . . . . . . 9 Fun (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))))
172170, 171, 1573pm3.2i 1339 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))) ∈ V ∧ Fun (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))) ∧ (0gβ€˜π‘†) ∈ V)
173172a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))) ∈ V ∧ Fun (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))) ∧ (0gβ€˜π‘†) ∈ V))
174 ssidd 4005 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)) βŠ† ((𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)))
1756mptex 7224 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )) ∈ V
176175a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )) ∈ V)
177174, 162, 176, 165suppssfv 8186 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))) supp (0gβ€˜π‘†)) βŠ† ((𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)))
178177adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))) supp (0gβ€˜π‘†)) βŠ† ((𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)))
179 suppssfifsupp 9377 . . . . . . 7 ((((𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))) ∈ V ∧ Fun (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))) ∧ (0gβ€˜π‘†) ∈ V) ∧ (((𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)) ∈ Fin ∧ ((𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))) supp (0gβ€˜π‘†)) βŠ† ((𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)))) β†’ (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))) finSupp (0gβ€˜π‘†))
180173, 109, 178, 179syl12anc 835 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))) finSupp (0gβ€˜π‘†))
181132, 149, 150, 7, 7, 86, 152, 154, 169, 180gsumdixp 20130 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑆 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))))) Β· (𝑆 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))))) = (𝑆 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐷 ↦ ((πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))) Β· (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))))))
182148, 181eqtrd 2772 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑆 Ξ£g (𝐸 ∘ (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))))) Β· (𝑆 Ξ£g (𝐸 ∘ (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))))) = (𝑆 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐷 ↦ ((πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))) Β· (πΈβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))))))
183130, 139, 1823eqtr4d 2782 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑆 Ξ£g (𝐸 ∘ (𝑗 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐷 ↦ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))))) = ((𝑆 Ξ£g (𝐸 ∘ (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))))) Β· (𝑆 Ξ£g (𝐸 ∘ (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))))))
18479, 115, 1833eqtr2d 2778 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (πΈβ€˜((𝑃 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))))(.rβ€˜π‘ƒ)(𝑃 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))))) = ((𝑆 Ξ£g (𝐸 ∘ (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))))) Β· (𝑆 Ξ£g (𝐸 ∘ (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))))))
1858adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
18611adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
18712, 4, 16, 1, 185, 186, 20mplcoe4 21631 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ = (𝑃 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 )))))
18812, 4, 16, 1, 185, 186, 27mplcoe4 21631 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 = (𝑃 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))))
189187, 188oveq12d 7426 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) = ((𝑃 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))))(.rβ€˜π‘ƒ)(𝑃 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))))))
190189fveq2d 6895 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (πΈβ€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = (πΈβ€˜((𝑃 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))))(.rβ€˜π‘ƒ)(𝑃 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))))))
191187fveq2d 6895 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (πΈβ€˜π‘₯) = (πΈβ€˜(𝑃 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))))))
19224fmpttd 7114 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))):𝐷⟢𝐡)
1931, 3, 82, 88, 7, 94, 192, 70gsummhm 19805 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑆 Ξ£g (𝐸 ∘ (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))))) = (πΈβ€˜(𝑃 Ξ£g (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))))))
194191, 193eqtr4d 2775 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (πΈβ€˜π‘₯) = (𝑆 Ξ£g (𝐸 ∘ (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))))))
195188fveq2d 6895 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (πΈβ€˜π‘¦) = (πΈβ€˜(𝑃 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))))))
19631fmpttd 7114 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))):𝐷⟢𝐡)
1971, 3, 82, 88, 7, 94, 196, 77gsummhm 19805 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑆 Ξ£g (𝐸 ∘ (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))))) = (πΈβ€˜(𝑃 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))))))
198195, 197eqtr4d 2775 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (πΈβ€˜π‘¦) = (𝑆 Ξ£g (𝐸 ∘ (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 ))))))
199194, 198oveq12d 7426 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΈβ€˜π‘₯) Β· (πΈβ€˜π‘¦)) = ((𝑆 Ξ£g (𝐸 ∘ (𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑗, (π‘₯β€˜π‘—), 0 ))))) Β· (𝑆 Ξ£g (𝐸 ∘ (𝑖 ∈ 𝐷 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = 𝑖, (π‘¦β€˜π‘–), 0 )))))))
200184, 190, 1993eqtr4d 2782 1 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (πΈβ€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = ((πΈβ€˜π‘₯) Β· (πΈβ€˜π‘¦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  ifcif 4528  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410   ∘f cof 7667   supp csupp 8145   ↑m cmap 8819  Fincfn 8938   finSupp cfsupp 9360   + caddc 11112  β„•cn 12211  β„•0cn0 12471  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  0gc0g 17384   Ξ£g cgsu 17385  Mndcmnd 18624   MndHom cmhm 18668  Grpcgrp 18818   GrpHom cghm 19088  CMndccmn 19647  Ringcrg 20055  CRingccrg 20056   mPoly cmpl 21458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-assa 21407  df-psr 21461  df-mpl 21463
This theorem is referenced by:  evlslem1  21644
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