MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrmreg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nrmreg 23016
Description: A normal T1 space is regular Hausdorff. In other words, a T4 space is T3 . One can get away with slightly weaker assumptions; see nrmr0reg 22941. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrmreg ((𝐽 ∈ Nrm ∧ 𝐽 ∈ Fre) → 𝐽 ∈ Reg)

Proof of Theorem nrmreg
StepHypRef Expression
1 t1r0 23013 . 2 (𝐽 ∈ Fre → (KQ‘𝐽) ∈ Fre)
2 nrmr0reg 22941 . 2 ((𝐽 ∈ Nrm ∧ (KQ‘𝐽) ∈ Fre) → 𝐽 ∈ Reg)
31, 2sylan2 594 1 ((𝐽 ∈ Nrm ∧ 𝐽 ∈ Fre) → 𝐽 ∈ Reg)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2104  cfv 6454  Frect1 22499  Regcreg 22501  Nrmcnrm 22502  KQckq 22885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5496  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-1o 8324  df-map 8644  df-topgen 17195  df-qtop 17259  df-top 22084  df-topon 22101  df-cld 22211  df-cn 22419  df-t0 22505  df-t1 22506  df-reg 22508  df-nrm 22509  df-kq 22886  df-hmeo 22947  df-hmph 22948
This theorem is referenced by:  nrmhaus  23018  metreg  24067
  Copyright terms: Public domain W3C validator