Theorem nrmreg 23252

Description: A normal T₁ space is regular Hausdorff. In other words, a T₄ space is T₃ . One can get away with slightly weaker assumptions; see nrmr0reg 23177. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nrmreg	⊢ ((𝐽 ∈ Nrm ∧ 𝐽 ∈ Fre) → 𝐽 ∈ Reg)

Proof of Theorem nrmreg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		t1r0 23249	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → (KQ‘𝐽) ∈ Fre)
2		nrmr0reg 23177	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Nrm ∧ (KQ‘𝐽) ∈ Fre) → 𝐽 ∈ Reg)
3	1, 2	sylan2 593	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Nrm ∧ 𝐽 ∈ Fre) → 𝐽 ∈ Reg)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6529  Frect1 22735  Regcreg 22737  Nrmcnrm 22738  KQckq 23121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-op 4626  df-uni 4899  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7954  df-2nd 7955  df-1o 8445  df-map 8802  df-topgen 17368  df-qtop 17432  df-top 22320  df-topon 22337  df-cld 22447  df-cn 22655  df-t0 22741  df-t1 22742  df-reg 22744  df-nrm 22745  df-kq 23122  df-hmeo 23183  df-hmph 23184

This theorem is referenced by:  nrmhaus  23254  metreg  24303