Theorem nrmreg 23981

Description: A normal T₁ space is regular Hausdorff. In other words, a T₄ space is T₃ . One can get away with slightly weaker assumptions; see nrmr0reg 23906. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nrmreg	⊢ ((𝐽 ∈ Nrm ∧ 𝐽 ∈ Fre) → 𝐽 ∈ Reg)

Proof of Theorem nrmreg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		t1r0 23978	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → (KQ‘𝐽) ∈ Fre)
2		nrmr0reg 23906	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Nrm ∧ (KQ‘𝐽) ∈ Fre) → 𝐽 ∈ Reg)
3	1, 2	sylan2 604	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Nrm ∧ 𝐽 ∈ Fre) → 𝐽 ∈ Reg)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  Frect1 23464  Regcreg 23466  Nrmcnrm 23467  KQckq 23850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-1o 8449  df-map 8822  df-topgen 17491  df-qtop 17556  df-top 23051  df-topon 23068  df-cld 23176  df-cn 23384  df-t0 23470  df-t1 23471  df-reg 23473  df-nrm 23474  df-kq 23851  df-hmeo 23912  df-hmph 23913

This theorem is referenced by:  nrmhaus  23983  metreg  25021