Theorem xrge0tmdALT 32757

Description: Alternate proof of xrge0tmd 32756. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Mar-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0tmdALT	⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd

Proof of Theorem xrge0tmdALT

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0cmn 20921	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
2		cmnmnd 19629	. . 3 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
4		xrge0tps 32753	. 2 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
5		eqeq1 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 = 0 ↔ 𝑥 = 0))
6		fveq2 6878	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (log‘𝑦) = (log‘𝑥))
7	6	negeqd 11436	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → -(log‘𝑦) = -(log‘𝑥))
8	5, 7	ifbieq2d 4548	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → if(𝑦 = 0, +∞, -(log‘𝑦)) = if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
9	8	cbvmptv 5254	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 = 0, +∞, -(log‘𝑦))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
10		eqid 2731	. . 3 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
11		eqid 2731	. . 3 ⊢ ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) = ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))
12	9, 10, 11	xrge0pluscn 32751	. 2 ⊢ ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) ∈ ((((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ×t ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))) Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
13		xrsbas 20895	. . . . 5 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
14		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
15		xrsadd 20896	. . . . 5 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
16		xaddf 13185	. . . . . 6 ⊢ +𝑒 :(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*
17		ffn 6704	. . . . . 6 ⊢ ( +𝑒 :(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ* → +𝑒 Fn (ℝ* × ℝ*))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ +𝑒 Fn (ℝ* × ℝ*)
19		iccssxr 13389	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
20	13, 14, 15, 18, 19	ressplusf 31998	. . . 4 ⊢ (+𝑓‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) = ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))
21	20	eqcomi 2740	. . 3 ⊢ ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) = (+𝑓‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
22		xrge0base 32057	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
23		ovex 7426	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
24		xrstset 20898	. . . . . 6 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘ℝ*𝑠)
25	14, 24	resstset 17292	. . . . 5 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
26	23, 25	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
27	22, 26	topnval 17362	. . 3 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
28	21, 27	istmd 23507	. 2 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd ↔ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp ∧ ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) ∈ ((((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ×t ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))) Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))))
29	3, 4, 12, 28	mpbir3an 1341	1 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3473  ifcif 4522   ↦ cmpt 5224   × cxp 5667   ↾ cres 5671   Fn wfn 6527  ⟶wf 6528  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  0cc0 11092  1c1 11093  +∞cpnf 11227  ℝ^*cxr 11229   ≤ cle 11231  -cneg 11427   +_𝑒 cxad 13072  [,]cicc 13309   ↾_s cress 17155  TopSetcts 17185   ↾_t crest 17348  ordTopcordt 17427  ℝ^*_𝑠cxrs 17428  +_𝑓cplusf 18540  Mndcmnd 18602  CMndccmn 19612  TopSpctps 22363   Cn ccn 22657   ×_t ctx 22993  TopMndctmd 23503  logclog 25992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170  ax-addf 11171  ax-mulf 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-supp 8129  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9345  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-xneg 13074  df-xadd 13075  df-xmul 13076  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-fl 13739  df-mod 13817  df-seq 13949  df-exp 14010  df-fac 14216  df-bc 14245  df-hash 14273  df-shft 14996  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-limsup 15397  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15615  df-ef 15993  df-sin 15995  df-cos 15996  df-pi 15998  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17350  df-topn 17351  df-0g 17369  df-gsum 17370  df-topgen 17371  df-pt 17372  df-prds 17375  df-ordt 17429  df-xrs 17430  df-qtop 17435  df-imas 17436  df-xps 17438  df-mre 17512  df-mrc 17513  df-acs 17515  df-ps 18501  df-tsr 18502  df-plusf 18542  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-submnd 18648  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-mulg 18923  df-subg 18975  df-cntz 19147  df-cmn 19614  df-abl 19615  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-cring 20017  df-subrg 20310  df-abv 20374  df-lmod 20422  df-scaf 20423  df-sra 20734  df-rgmod 20735  df-psmet 20870  df-xmet 20871  df-met 20872  df-bl 20873  df-mopn 20874  df-fbas 20875  df-fg 20876  df-cnfld 20879  df-top 22325  df-topon 22342  df-topsp 22364  df-bases 22378  df-cld 22452  df-ntr 22453  df-cls 22454  df-nei 22531  df-lp 22569  df-perf 22570  df-cn 22660  df-cnp 22661  df-haus 22748  df-tx 22995  df-hmeo 23188  df-fil 23279  df-fm 23371  df-flim 23372  df-flf 23373  df-tmd 23505  df-tgp 23506  df-trg 23593  df-xms 23755  df-ms 23756  df-tms 23757  df-nm 24020  df-ngp 24021  df-nrg 24023  df-nlm 24024  df-ii 24322  df-cncf 24323  df-limc 25312  df-dv 25313  df-log 25994

This theorem is referenced by: (None)