Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0tmdALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0tmdALT 32339
Description: Alternate proof of xrge0tmd 32338. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Mar-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
xrge0tmdALT (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd

Proof of Theorem xrge0tmdALT
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0cmn 20792 . . 3 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
2 cmnmnd 19538 . . 3 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
31, 2ax-mp 5 . 2 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
4 xrge0tps 32335 . 2 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
5 eqeq1 2741 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 = 0 ↔ 𝑥 = 0))
6 fveq2 6839 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (log‘𝑦) = (log‘𝑥))
76negeqd 11353 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → -(log‘𝑦) = -(log‘𝑥))
85, 7ifbieq2d 4510 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → if(𝑦 = 0, +∞, -(log‘𝑦)) = if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
98cbvmptv 5216 . . 3 (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 = 0, +∞, -(log‘𝑦))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
10 eqid 2737 . . 3 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
11 eqid 2737 . . 3 ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) = ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))
129, 10, 11xrge0pluscn 32333 . 2 ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) ∈ ((((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ×t ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))) Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
13 xrsbas 20766 . . . . 5 * = (Base‘ℝ*𝑠)
14 eqid 2737 . . . . 5 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
15 xrsadd 20767 . . . . 5 +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
16 xaddf 13097 . . . . . 6 +𝑒 :(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*
17 ffn 6665 . . . . . 6 ( +𝑒 :(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ* → +𝑒 Fn (ℝ* × ℝ*))
1816, 17ax-mp 5 . . . . 5 +𝑒 Fn (ℝ* × ℝ*)
19 iccssxr 13301 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2013, 14, 15, 18, 19ressplusf 31643 . . . 4 (+𝑓‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))
2120eqcomi 2746 . . 3 ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) = (+𝑓‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
22 xrge0base 31702 . . . 4 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
23 ovex 7384 . . . . 5 (0[,]+∞) ∈ V
24 xrstset 20769 . . . . . 6 (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘ℝ*𝑠)
2514, 24resstset 17206 . . . . 5 ((0[,]+∞) ∈ V → (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
2623, 25ax-mp 5 . . . 4 (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
2722, 26topnval 17276 . . 3 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
2821, 27istmd 23377 . 2 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd ↔ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp ∧ ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) ∈ ((((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ×t ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))) Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))))
293, 4, 12, 28mpbir3an 1341 1 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3443  ifcif 4484  cmpt 5186   × cxp 5629  cres 5633   Fn wfn 6488  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7351  0cc0 11009  1c1 11010  +∞cpnf 11144  *cxr 11146  cle 11148  -cneg 11344   +𝑒 cxad 12985  [,]cicc 13221  s cress 17072  TopSetcts 17099  t crest 17262  ordTopcordt 17341  *𝑠cxrs 17342  +𝑓cplusf 18454  Mndcmnd 18516  CMndccmn 19521  TopSpctps 22233   Cn ccn 22527   ×t ctx 22863  TopMndctmd 23373  logclog 25862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-2o 8405  df-er 8606  df-map 8725  df-pm 8726  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xneg 12987  df-xadd 12988  df-xmul 12989  df-ioo 13222  df-ioc 13223  df-ico 13224  df-icc 13225  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-fl 13651  df-mod 13729  df-seq 13861  df-exp 13922  df-fac 14128  df-bc 14157  df-hash 14185  df-shft 14912  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-limsup 15313  df-clim 15330  df-rlim 15331  df-sum 15531  df-ef 15910  df-sin 15912  df-cos 15913  df-pi 15915  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-starv 17108  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-ip 17111  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-unif 17116  df-hom 17117  df-cco 17118  df-rest 17264  df-topn 17265  df-0g 17283  df-gsum 17284  df-topgen 17285  df-pt 17286  df-prds 17289  df-ordt 17343  df-xrs 17344  df-qtop 17349  df-imas 17350  df-xps 17352  df-mre 17426  df-mrc 17427  df-acs 17429  df-ps 18415  df-tsr 18416  df-plusf 18456  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-submnd 18562  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-sbg 18713  df-mulg 18832  df-subg 18884  df-cntz 19056  df-cmn 19523  df-abl 19524  df-mgp 19856  df-ur 19873  df-ring 19920  df-cring 19921  df-subrg 20173  df-abv 20229  df-lmod 20277  df-scaf 20278  df-sra 20586  df-rgmod 20587  df-psmet 20741  df-xmet 20742  df-met 20743  df-bl 20744  df-mopn 20745  df-fbas 20746  df-fg 20747  df-cnfld 20750  df-top 22195  df-topon 22212  df-topsp 22234  df-bases 22248  df-cld 22322  df-ntr 22323  df-cls 22324  df-nei 22401  df-lp 22439  df-perf 22440  df-cn 22530  df-cnp 22531  df-haus 22618  df-tx 22865  df-hmeo 23058  df-fil 23149  df-fm 23241  df-flim 23242  df-flf 23243  df-tmd 23375  df-tgp 23376  df-trg 23463  df-xms 23625  df-ms 23626  df-tms 23627  df-nm 23890  df-ngp 23891  df-nrg 23893  df-nlm 23894  df-ii 24192  df-cncf 24193  df-limc 25182  df-dv 25183  df-log 25864
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator