Theorem xrge0tmdALT 34402

Description: Alternate proof of xrge0tmd 34401. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Mar-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0tmdALT	⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd

Proof of Theorem xrge0tmdALT

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0cmn 21646	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
2		cmnmnd 19913	. . 3 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
4		xrge0tps 34398	. 2 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
5		eqeq1 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 = 0 ↔ 𝑥 = 0))
6		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (log‘𝑦) = (log‘𝑥))
7	6	negeqd 11468	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → -(log‘𝑦) = -(log‘𝑥))
8	5, 7	ifbieq2d 4516	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → if(𝑦 = 0, +∞, -(log‘𝑦)) = if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
9	8	cbvmptv 5217	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 = 0, +∞, -(log‘𝑦))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
10		eqid 2765	. . 3 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
11		eqid 2765	. . 3 ⊢ ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) = ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))
12	9, 10, 11	xrge0pluscn 34396	. 2 ⊢ ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) ∈ ((((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ×t ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))) Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
13		xrsbas 17684	. . . . 5 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
14		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
15		xrsadd 21592	. . . . 5 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
16		xaddf 13268	. . . . . 6 ⊢ +𝑒 :(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*
17		ffn 6709	. . . . . 6 ⊢ ( +𝑒 :(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ* → +𝑒 Fn (ℝ* × ℝ*))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ +𝑒 Fn (ℝ* × ℝ*)
19		iccssxr 13475	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
20	13, 14, 15, 18, 19	ressplusf 33349	. . . 4 ⊢ (+𝑓‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) = ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))
21	20	eqcomi 2774	. . 3 ⊢ ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) = (+𝑓‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
22		xrge0base 17685	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
23		ovex 7452	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
24		xrstset 21594	. . . . . 6 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘ℝ*𝑠)
25	14, 24	resstset 17442	. . . . 5 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
26	23, 25	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
27	22, 26	topnval 17511	. . 3 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
28	21, 27	istmd 24284	. 2 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd ↔ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp ∧ ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) ∈ ((((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ×t ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))) Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))))
29	3, 4, 12, 28	mpbir3an 1360	1 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  ifcif 4489   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661   ↾ cres 5665   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11117  1c1 11118  +∞cpnf 11257  ℝ^*cxr 11259   ≤ cle 11261  -cneg 11459   +_𝑒 cxad 13153  [,]cicc 13393   ↾_s cress 17314  TopSetcts 17340   ↾_t crest 17497  ordTopcordt 17577  ℝ^*_𝑠cxrs 17578  +_𝑓cplusf 18719  Mndcmnd 18826  CMndccmn 19896  TopSpctps 23141   Cn ccn 23433   ×_t ctx 23770  TopMndctmd 24280  logclog 26772

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195  ax-addf 11196  ax-mulf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16145  df-sin 16147  df-cos 16148  df-pi 16150  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-hom 17358  df-cco 17359  df-rest 17499  df-topn 17500  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-topgen 17520  df-pt 17521  df-prds 17524  df-ordt 17579  df-xrs 17580  df-qtop 17585  df-imas 17586  df-xps 17588  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-ps 18646  df-tsr 18647  df-plusf 18721  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-submnd 18881  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-sbg 19051  df-mulg 19180  df-subg 19235  df-cntz 19433  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363  df-cring 20364  df-subrng 20697  df-subrg 20721  df-abv 20964  df-lmod 21035  df-scaf 21036  df-sra 21346  df-rgmod 21347  df-psmet 21566  df-xmet 21567  df-met 21568  df-bl 21569  df-mopn 21570  df-fbas 21571  df-fg 21572  df-cnfld 21575  df-top 23103  df-topon 23120  df-topsp 23142  df-bases 23155  df-cld 23228  df-ntr 23229  df-cls 23230  df-nei 23307  df-lp 23345  df-perf 23346  df-cn 23436  df-cnp 23437  df-haus 23524  df-tx 23772  df-hmeo 23965  df-fil 24056  df-fm 24148  df-flim 24149  df-flf 24150  df-tmd 24282  df-tgp 24283  df-trg 24370  df-xms 24530  df-ms 24531  df-tms 24532  df-nm 24792  df-ngp 24793  df-nrg 24795  df-nlm 24796  df-ii 25089  df-cncf 25090  df-limc 26078  df-dv 26079  df-log 26774

This theorem is used by: (None)