Theorem tpr2uni 34207

Description: The usual topology on (ℝ × ℝ) is the product topology of the usual topology on ℝ. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
tpr2tp.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
tpr2uni	⊢ ∪ (𝐽 ×t 𝐽) = (ℝ × ℝ)

Proof of Theorem tpr2uni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpr2tp.0	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2	1	tpr2tp 34206	. . 3 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ))
3	2	toponunii 23030	. 2 ⊢ (ℝ × ℝ) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽)
4	3	eqcomi 2774	1 ⊢ ∪ (𝐽 ×t 𝐽) = (ℝ × ℝ)

Syntax hints:   = wceq 1563  ∪ cuni 4867   × cxp 5649  ran crn 5652  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  (,)cioo 13360  topGenctg 17478   ×_t ctx 23674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-ioo 13364  df-topgen 17484  df-top 23008  df-topon 23025  df-bases 23060  df-tx 23676

This theorem is referenced by:  dya2iocnei  34584  sxbrsiga  34592