Theorem tpr2uni 33904

Description: The usual topology on (ℝ × ℝ) is the product topology of the usual topology on ℝ. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
tpr2tp.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
tpr2uni	⊢ ∪ (𝐽 ×t 𝐽) = (ℝ × ℝ)

Proof of Theorem tpr2uni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpr2tp.0	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2	1	tpr2tp 33903	. . 3 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ))
3	2	toponunii 22922	. 2 ⊢ (ℝ × ℝ) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽)
4	3	eqcomi 2746	1 ⊢ ∪ (𝐽 ×t 𝐽) = (ℝ × ℝ)

Syntax hints:   = wceq 1540  ∪ cuni 4907   × cxp 5683  ran crn 5686  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  (,)cioo 13387  topGenctg 17482   ×_t ctx 23568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-ioo 13391  df-topgen 17488  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-tx 23570

This theorem is referenced by:  dya2iocnei  34284  sxbrsiga  34292