Theorem tpr2uni 33851

Description: The usual topology on (ℝ × ℝ) is the product topology of the usual topology on ℝ. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
tpr2tp.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
tpr2uni	⊢ ∪ (𝐽 ×t 𝐽) = (ℝ × ℝ)

Proof of Theorem tpr2uni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpr2tp.0	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2	1	tpr2tp 33850	. . 3 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ))
3	2	toponunii 22943	. 2 ⊢ (ℝ × ℝ) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽)
4	3	eqcomi 2749	1 ⊢ ∪ (𝐽 ×t 𝐽) = (ℝ × ℝ)

Syntax hints:   = wceq 1537  ∪ cuni 4931   × cxp 5698  ran crn 5701  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  (,)cioo 13407  topGenctg 17497   ×_t ctx 23589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-ioo 13411  df-topgen 17503  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974  df-tx 23591

This theorem is referenced by:  dya2iocnei  34247  sxbrsiga  34255