Theorem tpr2tp 34162

Description: The usual topology on (ℝ × ℝ) is the product topology of the usual topology on ℝ. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
tpr2tp.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
tpr2tp	⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ))

Proof of Theorem tpr2tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpr2tp.0	. . 3 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2		retopon 24811	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
3	1, 2	eqeltri 2857	. 2 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)
4		txtopon 23639	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ)))
5	3, 3, 4	mp2an 702	1 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ))

Syntax hints:   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   × cxp 5641  ran crn 5644  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  ℝcr 11066  (,)cioo 13343  topGenctg 17457  TopOnctopon 22958   ×_t ctx 23608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-ioo 13347  df-topgen 17463  df-top 22942  df-topon 22959  df-bases 22994  df-tx 23610

This theorem is referenced by:  tpr2uni  34163  sxbrsigalem4  34545  sxbrsiga  34548