Theorem tpr2tp 32884

Description: The usual topology on (ℝ × ℝ) is the product topology of the usual topology on ℝ. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
tpr2tp.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
tpr2tp	⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ))

Proof of Theorem tpr2tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpr2tp.0	. . 3 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2		retopon 24280	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
3	1, 2	eqeltri 2830	. 2 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)
4		txtopon 23095	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ)))
5	3, 3, 4	mp2an 691	1 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ))

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   × cxp 5675  ran crn 5678  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  (,)cioo 13324  topGenctg 17383  TopOnctopon 22412   ×_t ctx 23064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-ioo 13328  df-topgen 17389  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-tx 23066

This theorem is referenced by:  tpr2uni  32885  sxbrsigalem4  33286  sxbrsiga  33289