Theorem tpr2tp 34088

Description: The usual topology on (ℝ × ℝ) is the product topology of the usual topology on ℝ. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
tpr2tp.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
tpr2tp	⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ))

Proof of Theorem tpr2tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpr2tp.0	. . 3 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2		retopon 24746	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
3	1, 2	eqeltri 2835	. 2 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)
4		txtopon 23574	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ)))
5	3, 3, 4	mp2an 698	1 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ))

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   × cxp 5616  ran crn 5619  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  (,)cioo 13289  topGenctg 17391  TopOnctopon 22893   ×_t ctx 23543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-ioo 13293  df-topgen 17397  df-top 22877  df-topon 22894  df-bases 22929  df-tx 23545

This theorem is referenced by:  tpr2uni  34089  sxbrsigalem4  34471  sxbrsiga  34474