Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocnei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dya2iocnei 34263
Description: For any point of an open set of the usual topology on (ℝ × ℝ) there is a closed-below open-above dyadic rational square which contains that point and is entirely in the open set. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
Assertion
Ref Expression
dya2iocnei ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑋𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋𝑏𝑏𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼,𝑥   𝑢,𝑏,𝑣,𝑥   𝐴,𝑏   𝑅,𝑏   𝑋,𝑏,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)   𝐼(𝑛,𝑏)   𝐽(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛,𝑏)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑛)

Proof of Theorem dya2iocnei
Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elunii 4916 . . . 4 ((𝑋𝐴𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽)) → 𝑋 (𝐽 ×t 𝐽))
21ancoms 458 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 (𝐽 ×t 𝐽))
3 sxbrsiga.0 . . . 4 𝐽 = (topGen‘ran (,))
43tpr2uni 33865 . . 3 (𝐽 ×t 𝐽) = (ℝ × ℝ)
52, 4eleqtrdi 2848 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 ∈ (ℝ × ℝ))
6 eqid 2734 . . 3 (𝑢 ∈ ℝ, 𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑢 + (i · 𝑣))) = (𝑢 ∈ ℝ, 𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑢 + (i · 𝑣)))
7 eqid 2734 . . 3 ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) = ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓))
83, 6, 7tpr2rico 33872 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑋𝐴) → ∃𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓))(𝑋𝑟𝑟𝐴))
9 anass 468 . . . . 5 (((𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ 𝑋𝑟) ∧ 𝑟𝐴) ↔ (𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ (𝑋𝑟𝑟𝐴)))
10 dya2ioc.1 . . . . . . . . 9 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
11 dya2ioc.2 . . . . . . . . 9 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
123, 10, 11, 7dya2iocnrect 34262 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ 𝑋𝑟) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋𝑏𝑏𝑟))
13123expb 1119 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ 𝑋𝑟)) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋𝑏𝑏𝑟))
1413anim1i 615 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ 𝑋𝑟)) ∧ 𝑟𝐴) → (∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋𝑏𝑏𝑟) ∧ 𝑟𝐴))
1514anasss 466 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ 𝑋𝑟) ∧ 𝑟𝐴)) → (∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋𝑏𝑏𝑟) ∧ 𝑟𝐴))
169, 15sylan2br 595 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ (𝑋𝑟𝑟𝐴))) → (∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋𝑏𝑏𝑟) ∧ 𝑟𝐴))
17 r19.41v 3186 . . . . 5 (∃𝑏 ∈ ran 𝑅((𝑋𝑏𝑏𝑟) ∧ 𝑟𝐴) ↔ (∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋𝑏𝑏𝑟) ∧ 𝑟𝐴))
18 simpll 767 . . . . . . 7 (((𝑋𝑏𝑏𝑟) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑋𝑏)
19 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑏𝑏𝑟) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑏𝑟)
20 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑏𝑏𝑟) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑟𝐴)
2119, 20sstrd 4005 . . . . . . 7 (((𝑋𝑏𝑏𝑟) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑏𝐴)
2218, 21jca 511 . . . . . 6 (((𝑋𝑏𝑏𝑟) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑋𝑏𝑏𝐴))
2322reximi 3081 . . . . 5 (∃𝑏 ∈ ran 𝑅((𝑋𝑏𝑏𝑟) ∧ 𝑟𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋𝑏𝑏𝐴))
2417, 23sylbir 235 . . . 4 ((∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋𝑏𝑏𝑟) ∧ 𝑟𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋𝑏𝑏𝐴))
2516, 24syl 17 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ (𝑋𝑟𝑟𝐴))) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋𝑏𝑏𝐴))
2625rexlimdvaa 3153 . 2 (𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) → (∃𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓))(𝑋𝑟𝑟𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋𝑏𝑏𝐴)))
275, 8, 26sylc 65 1 ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑋𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋𝑏𝑏𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wrex 3067  wss 3962   cuni 4911   × cxp 5686  ran crn 5689  cfv 6562  (class class class)co 7430  cmpo 7432  cr 11151  1c1 11153  ici 11154   + caddc 11155   · cmul 11157   / cdiv 11917  2c2 12318  cz 12610  (,)cioo 13383  [,)cico 13385  cexp 14098  topGenctg 17483   ×t ctx 23583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-refld 21640  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-fcls 23964  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-cfil 25302  df-cmet 25304  df-cms 25382  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612  df-cxp 26613  df-logb 26822
This theorem is referenced by:  dya2iocuni  34264
  Copyright terms: Public domain W3C validator