Theorem dya2iocnei 34696

Description: For any point of an open set of the usual topology on (ℝ × ℝ) there is a closed-below open-above dyadic rational square which contains that point and is entirely in the open set. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2	⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))

Assertion

Ref	Expression
dya2iocnei	⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼,𝑥   𝑢,𝑏,𝑣,𝑥   𝐴,𝑏   𝑅,𝑏   𝑋,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑣, 𝑢, 𝑛)   𝑅(𝑥, 𝑣, 𝑢, 𝑛)   𝐼(𝑛, 𝑏)   𝐽(𝑥, 𝑣, 𝑢, 𝑛, 𝑏)   𝑋(𝑣, 𝑢, 𝑛)

Proof of Theorem dya2iocnei

Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elunii 4879	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽)) → 𝑋 ∈ ∪ (𝐽 ×t 𝐽))
2	1	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ ∪ (𝐽 ×t 𝐽))
3		sxbrsiga.0	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
4	3	tpr2uni 34318	. . 3 ⊢ ∪ (𝐽 ×t 𝐽) = (ℝ × ℝ)
5	2, 4	eleqtrdi 2875	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (ℝ × ℝ))
6		eqid 2765	. . 3 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ, 𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑢 + (i · 𝑣))) = (𝑢 ∈ ℝ, 𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑢 + (i · 𝑣)))
7		eqid 2765	. . 3 ⊢ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) = ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓))
8	3, 6, 7	tpr2rico 34325	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓))(𝑋 ∈ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴))
9		anass 474	. . . . 5 ⊢ (((𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ↔ (𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴)))
10		dya2ioc.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
11		dya2ioc.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
12	3, 10, 11, 7	dya2iocnrect 34695	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑟) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟))
13	12	3expb 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑟)) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟))
14	13	anim1i 627	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑟)) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → (∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴))
15	14	anasss 472	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → (∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴))
16	9, 15	sylan2br 607	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → (∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴))
17		r19.41v 3197	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏 ∈ ran 𝑅((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ↔ (∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴))
18		simpll 779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑏)
19		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑏 ⊆ 𝑟)
20		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑟 ⊆ 𝐴)
21	19, 20	sstrd 3948	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
22	18, 21	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))
23	22	reximi 3105	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏 ∈ ran 𝑅((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))
24	17, 23	sylbir 238	. . . 4 ⊢ ((∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))
25	16, 24	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))
26	25	rexlimdvaa 3169	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) → (∃𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓))(𝑋 ∈ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)))
27	5, 8, 26	sylc 66	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091   ⊆ wss 3906  ∪ cuni 4874   × cxp 5661  ran crn 5664  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  ℝcr 11110  1c1 11112  ici 11113   + caddc 11114   · cmul 11116   / cdiv 11882  2c2 12306  ℤcz 12602  (,)cioo 13383  [,)cico 13385  ↑cexp 14110  topGenctg 17507   ×_t ctx 23746

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189  ax-addf 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-q 12984  df-rp 13028  df-xneg 13148  df-xadd 13149  df-xmul 13150  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-fl 13838  df-mod 13916  df-seq 14051  df-exp 14111  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15123  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-limsup 15541  df-clim 15558  df-rlim 15559  df-sum 15757  df-ef 16138  df-sin 16140  df-cos 16141  df-pi 16143  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-starv 17342  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-ip 17345  df-tset 17346  df-ple 17347  df-ds 17349  df-unif 17350  df-hom 17351  df-cco 17352  df-rest 17492  df-topn 17493  df-0g 17511  df-gsum 17512  df-topgen 17513  df-pt 17514  df-prds 17517  df-xrs 17573  df-qtop 17578  df-imas 17579  df-xps 17581  df-mre 17655  df-mrc 17656  df-acs 17658  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-submnd 18865  df-mulg 19157  df-cntz 19410  df-cmn 19875  df-psmet 21543  df-xmet 21544  df-met 21545  df-bl 21546  df-mopn 21547  df-fbas 21548  df-fg 21549  df-cnfld 21552  df-refld 21784  df-top 23080  df-topon 23097  df-topsp 23119  df-bases 23132  df-cld 23205  df-ntr 23206  df-cls 23207  df-nei 23284  df-lp 23322  df-perf 23323  df-cn 23413  df-cnp 23414  df-haus 23501  df-cmp 23573  df-tx 23748  df-hmeo 23941  df-fil 24032  df-fm 24124  df-flim 24125  df-flf 24126  df-fcls 24127  df-xms 24506  df-ms 24507  df-tms 24508  df-cncf 25066  df-cfil 25443  df-cmet 25445  df-cms 25523  df-limc 26054  df-dv 26055  df-log 26750  df-cxp 26751  df-logb 26959

This theorem is used by:  dya2iocuni  34697