Theorem dya2iocnei 34589

Description: For any point of an open set of the usual topology on (ℝ × ℝ) there is a closed-below open-above dyadic rational square which contains that point and is entirely in the open set. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2	⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))

Assertion

Ref	Expression
dya2iocnei	⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼,𝑥   𝑢,𝑏,𝑣,𝑥   𝐴,𝑏   𝑅,𝑏   𝑋,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)   𝐼(𝑛,𝑏)   𝐽(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛,𝑏)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑛)

Proof of Theorem dya2iocnei

Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elunii 4873	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽)) → 𝑋 ∈ ∪ (𝐽 ×t 𝐽))
2	1	ancoms 463	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ ∪ (𝐽 ×t 𝐽))
3		sxbrsiga.0	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
4	3	tpr2uni 34212	. . 3 ⊢ ∪ (𝐽 ×t 𝐽) = (ℝ × ℝ)
5	2, 4	eleqtrdi 2875	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (ℝ × ℝ))
6		eqid 2765	. . 3 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ, 𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑢 + (i · 𝑣))) = (𝑢 ∈ ℝ, 𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑢 + (i · 𝑣)))
7		eqid 2765	. . 3 ⊢ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) = ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓))
8	3, 6, 7	tpr2rico 34219	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓))(𝑋 ∈ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴))
9		anass 473	. . . . 5 ⊢ (((𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ↔ (𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴)))
10		dya2ioc.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
11		dya2ioc.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
12	3, 10, 11, 7	dya2iocnrect 34588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑟) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟))
13	12	3expb 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑟)) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟))
14	13	anim1i 626	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑟)) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → (∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴))
15	14	anasss 471	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → (∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴))
16	9, 15	sylan2br 606	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → (∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴))
17		r19.41v 3195	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏 ∈ ran 𝑅((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ↔ (∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴))
18		simpll 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑏)
19		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑏 ⊆ 𝑟)
20		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑟 ⊆ 𝐴)
21	19, 20	sstrd 3949	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
22	18, 21	jca 520	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))
23	22	reximi 3103	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏 ∈ ran 𝑅((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))
24	17, 23	sylbir 238	. . . 4 ⊢ ((∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))
25	16, 24	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))
26	25	rexlimdvaa 3167	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) → (∃𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓))(𝑋 ∈ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)))
27	5, 8, 26	sylc 66	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3907  ∪ cuni 4868   × cxp 5650  ran crn 5653  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∈ cmpo 7402  ℝcr 11087  1c1 11089  ici 11090   + caddc 11091   · cmul 11093   / cdiv 11859  2c2 12286  ℤcz 12582  (,)cioo 13363  [,)cico 13365  ↑cexp 14088  topGenctg 17480   ×_t ctx 23678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13367  df-ioc 13368  df-ico 13369  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-mod 13894  df-seq 14029  df-exp 14089  df-fac 14301  df-bc 14330  df-hash 14358  df-shft 15094  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-limsup 15512  df-clim 15529  df-rlim 15530  df-sum 15728  df-ef 16111  df-sin 16113  df-cos 16114  df-pi 16116  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-hom 17324  df-cco 17325  df-rest 17465  df-topn 17466  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-topgen 17486  df-pt 17487  df-prds 17490  df-xrs 17546  df-qtop 17551  df-imas 17552  df-xps 17554  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-mulg 19125  df-cntz 19378  df-cmn 19843  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-fbas 21479  df-fg 21480  df-cnfld 21483  df-refld 21715  df-top 23012  df-topon 23029  df-topsp 23051  df-bases 23064  df-cld 23137  df-ntr 23138  df-cls 23139  df-nei 23216  df-lp 23254  df-perf 23255  df-cn 23345  df-cnp 23346  df-haus 23433  df-cmp 23505  df-tx 23680  df-hmeo 23873  df-fil 23964  df-fm 24056  df-flim 24057  df-flf 24058  df-fcls 24059  df-xms 24438  df-ms 24439  df-tms 24440  df-cncf 24998  df-cfil 25375  df-cmet 25377  df-cms 25455  df-limc 25986  df-dv 25987  df-log 26679  df-cxp 26680  df-logb 26888

This theorem is referenced by:  dya2iocuni  34590