Theorem dya2iocnei 34442

Description: For any point of an open set of the usual topology on (ℝ × ℝ) there is a closed-below open-above dyadic rational square which contains that point and is entirely in the open set. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2	⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))

Assertion

Ref	Expression
dya2iocnei	⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼,𝑥   𝑢,𝑏,𝑣,𝑥   𝐴,𝑏   𝑅,𝑏   𝑋,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)   𝐼(𝑛,𝑏)   𝐽(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛,𝑏)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑛)

Proof of Theorem dya2iocnei

Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elunii 4856	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽)) → 𝑋 ∈ ∪ (𝐽 ×t 𝐽))
2	1	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ ∪ (𝐽 ×t 𝐽))
3		sxbrsiga.0	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
4	3	tpr2uni 34065	. . 3 ⊢ ∪ (𝐽 ×t 𝐽) = (ℝ × ℝ)
5	2, 4	eleqtrdi 2847	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (ℝ × ℝ))
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ, 𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑢 + (i · 𝑣))) = (𝑢 ∈ ℝ, 𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑢 + (i · 𝑣)))
7		eqid 2737	. . 3 ⊢ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) = ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓))
8	3, 6, 7	tpr2rico 34072	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓))(𝑋 ∈ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴))
9		anass 468	. . . . 5 ⊢ (((𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ↔ (𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴)))
10		dya2ioc.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
11		dya2ioc.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
12	3, 10, 11, 7	dya2iocnrect 34441	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑟) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟))
13	12	3expb 1121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑟)) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟))
14	13	anim1i 616	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑟)) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → (∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴))
15	14	anasss 466	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → (∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴))
16	9, 15	sylan2br 596	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → (∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴))
17		r19.41v 3168	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏 ∈ ran 𝑅((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ↔ (∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴))
18		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑏)
19		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑏 ⊆ 𝑟)
20		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑟 ⊆ 𝐴)
21	19, 20	sstrd 3933	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
22	18, 21	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))
23	22	reximi 3076	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏 ∈ ran 𝑅((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))
24	17, 23	sylbir 235	. . . 4 ⊢ ((∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑟) ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))
25	16, 24	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))
26	25	rexlimdvaa 3140	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) → (∃𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓))(𝑋 ∈ 𝑟 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)))
27	5, 8, 26	sylc 65	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  ∪ cuni 4851   × cxp 5622  ran crn 5625  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362  ℝcr 11028  1c1 11030  ici 11031   + caddc 11032   · cmul 11034   / cdiv 11798  2c2 12227  ℤcz 12515  (,)cioo 13289  [,)cico 13291  ↑cexp 14014  topGenctg 17391   ×_t ctx 23535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-refld 21595  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-cmp 23362  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-fcls 23916  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cncf 24855  df-cfil 25232  df-cmet 25234  df-cms 25312  df-limc 25843  df-dv 25844  df-log 26533  df-cxp 26534  df-logb 26742

This theorem is referenced by:  dya2iocuni  34443