Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocnei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dya2iocnei 31761
 Description: For any point of an open set of the usual topology on (ℝ × ℝ) there is a closed-below open-above dyadic rational square which contains that point and is entirely in the open set. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
Assertion
Ref Expression
dya2iocnei ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑋𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋𝑏𝑏𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼,𝑥   𝑢,𝑏,𝑣,𝑥   𝐴,𝑏   𝑅,𝑏   𝑋,𝑏,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)   𝐼(𝑛,𝑏)   𝐽(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛,𝑏)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑛)

Proof of Theorem dya2iocnei
Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elunii 4804 . . . 4 ((𝑋𝐴𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽)) → 𝑋 (𝐽 ×t 𝐽))
21ancoms 463 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 (𝐽 ×t 𝐽))
3 sxbrsiga.0 . . . 4 𝐽 = (topGen‘ran (,))
43tpr2uni 31369 . . 3 (𝐽 ×t 𝐽) = (ℝ × ℝ)
52, 4eleqtrdi 2863 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 ∈ (ℝ × ℝ))
6 eqid 2759 . . 3 (𝑢 ∈ ℝ, 𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑢 + (i · 𝑣))) = (𝑢 ∈ ℝ, 𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑢 + (i · 𝑣)))
7 eqid 2759 . . 3 ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) = ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓))
83, 6, 7tpr2rico 31376 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑋𝐴) → ∃𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓))(𝑋𝑟𝑟𝐴))
9 anass 473 . . . . 5 (((𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ 𝑋𝑟) ∧ 𝑟𝐴) ↔ (𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ (𝑋𝑟𝑟𝐴)))
10 dya2ioc.1 . . . . . . . . 9 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
11 dya2ioc.2 . . . . . . . . 9 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
123, 10, 11, 7dya2iocnrect 31760 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ 𝑋𝑟) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋𝑏𝑏𝑟))
13123expb 1118 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ 𝑋𝑟)) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋𝑏𝑏𝑟))
1413anim1i 618 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ 𝑋𝑟)) ∧ 𝑟𝐴) → (∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋𝑏𝑏𝑟) ∧ 𝑟𝐴))
1514anasss 471 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ 𝑋𝑟) ∧ 𝑟𝐴)) → (∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋𝑏𝑏𝑟) ∧ 𝑟𝐴))
169, 15sylan2br 598 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ (𝑋𝑟𝑟𝐴))) → (∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋𝑏𝑏𝑟) ∧ 𝑟𝐴))
17 r19.41v 3266 . . . . 5 (∃𝑏 ∈ ran 𝑅((𝑋𝑏𝑏𝑟) ∧ 𝑟𝐴) ↔ (∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋𝑏𝑏𝑟) ∧ 𝑟𝐴))
18 simpll 767 . . . . . . 7 (((𝑋𝑏𝑏𝑟) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑋𝑏)
19 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑏𝑏𝑟) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑏𝑟)
20 simpr 489 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑏𝑏𝑟) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑟𝐴)
2119, 20sstrd 3903 . . . . . . 7 (((𝑋𝑏𝑏𝑟) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑏𝐴)
2218, 21jca 516 . . . . . 6 (((𝑋𝑏𝑏𝑟) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑋𝑏𝑏𝐴))
2322reximi 3172 . . . . 5 (∃𝑏 ∈ ran 𝑅((𝑋𝑏𝑏𝑟) ∧ 𝑟𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋𝑏𝑏𝐴))
2417, 23sylbir 238 . . . 4 ((∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋𝑏𝑏𝑟) ∧ 𝑟𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋𝑏𝑏𝐴))
2516, 24syl 17 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓)) ∧ (𝑋𝑟𝑟𝐴))) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋𝑏𝑏𝐴))
2625rexlimdvaa 3210 . 2 (𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) → (∃𝑟 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 × 𝑓))(𝑋𝑟𝑟𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋𝑏𝑏𝐴)))
275, 8, 26sylc 65 1 ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑋𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝑅(𝑋𝑏𝑏𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3072   ⊆ wss 3859  ∪ cuni 4799   × cxp 5523  ran crn 5526  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151   ∈ cmpo 7153  ℝcr 10567  1c1 10569  ici 10570   + caddc 10571   · cmul 10573   / cdiv 11328  2c2 11722  ℤcz 12013  (,)cioo 12772  [,)cico 12774  ↑cexp 13472  topGenctg 16762   ×t ctx 22253 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-inf2 9130  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645  ax-pre-sup 10646  ax-addf 10647  ax-mulf 10648 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7406  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-supp 7837  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-2o 8114  df-oadd 8117  df-er 8300  df-map 8419  df-pm 8420  df-ixp 8481  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-fsupp 8860  df-fi 8901  df-sup 8932  df-inf 8933  df-oi 9000  df-card 9394  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-div 11329  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-4 11732  df-5 11733  df-6 11734  df-7 11735  df-8 11736  df-9 11737  df-n0 11928  df-z 12014  df-dec 12131  df-uz 12276  df-q 12382  df-rp 12424  df-xneg 12541  df-xadd 12542  df-xmul 12543  df-ioo 12776  df-ioc 12777  df-ico 12778  df-icc 12779  df-fz 12933  df-fzo 13076  df-fl 13204  df-mod 13280  df-seq 13412  df-exp 13473  df-fac 13677  df-bc 13706  df-hash 13734  df-shft 14467  df-cj 14499  df-re 14500  df-im 14501  df-sqrt 14635  df-abs 14636  df-limsup 14869  df-clim 14886  df-rlim 14887  df-sum 15084  df-ef 15462  df-sin 15464  df-cos 15465  df-pi 15467  df-struct 16536  df-ndx 16537  df-slot 16538  df-base 16540  df-sets 16541  df-ress 16542  df-plusg 16629  df-mulr 16630  df-starv 16631  df-sca 16632  df-vsca 16633  df-ip 16634  df-tset 16635  df-ple 16636  df-ds 16638  df-unif 16639  df-hom 16640  df-cco 16641  df-rest 16747  df-topn 16748  df-0g 16766  df-gsum 16767  df-topgen 16768  df-pt 16769  df-prds 16772  df-xrs 16826  df-qtop 16831  df-imas 16832  df-xps 16834  df-mre 16908  df-mrc 16909  df-acs 16911  df-mgm 17911  df-sgrp 17960  df-mnd 17971  df-submnd 18016  df-mulg 18285  df-cntz 18507  df-cmn 18968  df-psmet 20151  df-xmet 20152  df-met 20153  df-bl 20154  df-mopn 20155  df-fbas 20156  df-fg 20157  df-cnfld 20160  df-refld 20363  df-top 21587  df-topon 21604  df-topsp 21626  df-bases 21639  df-cld 21712  df-ntr 21713  df-cls 21714  df-nei 21791  df-lp 21829  df-perf 21830  df-cn 21920  df-cnp 21921  df-haus 22008  df-cmp 22080  df-tx 22255  df-hmeo 22448  df-fil 22539  df-fm 22631  df-flim 22632  df-flf 22633  df-fcls 22634  df-xms 23015  df-ms 23016  df-tms 23017  df-cncf 23572  df-cfil 23948  df-cmet 23950  df-cms 24028  df-limc 24558  df-dv 24559  df-log 25240  df-cxp 25241  df-logb 25443 This theorem is referenced by:  dya2iocuni  31762
 Copyright terms: Public domain W3C validator