Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocnei Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dya2iocnei 33269
Description: For any point of an open set of the usual topology on (ℝ Γ— ℝ) there is a closed-below open-above dyadic rational square which contains that point and is entirely in the open set. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
dya2ioc.1 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑛 ∈ β„€ ↦ ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2 𝑅 = (𝑒 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
Assertion
Ref Expression
dya2iocnei ((𝐴 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛   π‘₯,𝐼   𝑣,𝑒,𝐼,π‘₯   𝑒,𝑏,𝑣,π‘₯   𝐴,𝑏   𝑅,𝑏   𝑋,𝑏,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑣,𝑒,𝑛)   𝑅(π‘₯,𝑣,𝑒,𝑛)   𝐼(𝑛,𝑏)   𝐽(π‘₯,𝑣,𝑒,𝑛,𝑏)   𝑋(𝑣,𝑒,𝑛)
Proof of Theorem dya2iocnei
Dummy variables 𝑒 𝑓 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elunii 4912 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐽)) β†’ 𝑋 ∈ βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽))
21ancoms 459 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽))
3 sxbrsiga.0 . . . 4 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
43tpr2uni 32873 . . 3 βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽) = (ℝ Γ— ℝ)
52, 4eleqtrdi 2843 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ))
6 eqid 2732 . . 3 (𝑒 ∈ ℝ, 𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + (i Β· 𝑣))) = (𝑒 ∈ ℝ, 𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + (i Β· 𝑣)))
7 eqid 2732 . . 3 ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) = ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓))
83, 6, 7tpr2rico 32880 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓))(𝑋 ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴))
9 anass 469 . . . . 5 (((π‘Ÿ ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ 𝑋 ∈ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴) ↔ (π‘Ÿ ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴)))
10 dya2ioc.1 . . . . . . . . 9 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑛 ∈ β„€ ↦ ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
11 dya2ioc.2 . . . . . . . . 9 𝑅 = (𝑒 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
123, 10, 11, 7dya2iocnrect 33268 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ 𝑋 ∈ π‘Ÿ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ÿ))
13123expb 1120 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ 𝑋 ∈ π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ÿ))
1413anim1i 615 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ 𝑋 ∈ π‘Ÿ)) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴))
1514anasss 467 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ 𝑋 ∈ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴))
169, 15sylan2br 595 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴))) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴))
17 r19.41v 3188 . . . . 5 (βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴) ↔ (βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴))
18 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝑏)
19 simplr 767 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴) β†’ 𝑏 βŠ† π‘Ÿ)
20 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴) β†’ π‘Ÿ βŠ† 𝐴)
2119, 20sstrd 3991 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐴)
2218, 21jca 512 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴))
2322reximi 3084 . . . . 5 (βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴))
2417, 23sylbir 234 . . . 4 ((βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴))
2516, 24syl 17 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴))
2625rexlimdvaa 3156 . 2 (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓))(𝑋 ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴)))
275, 8, 26sylc 65 1 ((𝐴 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4907   Γ— cxp 5673  ran crn 5676  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  β„cr 11105  1c1 11107  ici 11108   + caddc 11109   Β· cmul 11111   / cdiv 11867  2c2 12263  β„€cz 12554  (,)cioo 13320  [,)cico 13322  β†‘cexp 14023  topGenctg 17379   Γ—t ctx 23055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-refld 21149  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-fcls 23436  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-cfil 24763  df-cmet 24765  df-cms 24843  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-cxp 26057  df-logb 26259
This theorem is referenced by:  dya2iocuni  33270
  Copyright terms: Public domain W3C validator