Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocnei Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dya2iocnei 33811
Description: For any point of an open set of the usual topology on (ℝ Γ— ℝ) there is a closed-below open-above dyadic rational square which contains that point and is entirely in the open set. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
dya2ioc.1 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑛 ∈ β„€ ↦ ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2 𝑅 = (𝑒 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
Assertion
Ref Expression
dya2iocnei ((𝐴 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛   π‘₯,𝐼   𝑣,𝑒,𝐼,π‘₯   𝑒,𝑏,𝑣,π‘₯   𝐴,𝑏   𝑅,𝑏   𝑋,𝑏,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑣,𝑒,𝑛)   𝑅(π‘₯,𝑣,𝑒,𝑛)   𝐼(𝑛,𝑏)   𝐽(π‘₯,𝑣,𝑒,𝑛,𝑏)   𝑋(𝑣,𝑒,𝑛)
Proof of Theorem dya2iocnei
Dummy variables 𝑒 𝑓 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elunii 4907 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐽)) β†’ 𝑋 ∈ βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽))
21ancoms 458 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽))
3 sxbrsiga.0 . . . 4 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
43tpr2uni 33415 . . 3 βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽) = (ℝ Γ— ℝ)
52, 4eleqtrdi 2837 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ))
6 eqid 2726 . . 3 (𝑒 ∈ ℝ, 𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + (i Β· 𝑣))) = (𝑒 ∈ ℝ, 𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑒 + (i Β· 𝑣)))
7 eqid 2726 . . 3 ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) = ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓))
83, 6, 7tpr2rico 33422 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓))(𝑋 ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴))
9 anass 468 . . . . 5 (((π‘Ÿ ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ 𝑋 ∈ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴) ↔ (π‘Ÿ ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴)))
10 dya2ioc.1 . . . . . . . . 9 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑛 ∈ β„€ ↦ ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
11 dya2ioc.2 . . . . . . . . 9 𝑅 = (𝑒 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
123, 10, 11, 7dya2iocnrect 33810 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ 𝑋 ∈ π‘Ÿ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ÿ))
13123expb 1117 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ 𝑋 ∈ π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ÿ))
1413anim1i 614 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ 𝑋 ∈ π‘Ÿ)) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴))
1514anasss 466 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ ((π‘Ÿ ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ 𝑋 ∈ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴))
169, 15sylan2br 594 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴))) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴))
17 r19.41v 3182 . . . . 5 (βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴) ↔ (βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴))
18 simpll 764 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝑏)
19 simplr 766 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴) β†’ 𝑏 βŠ† π‘Ÿ)
20 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴) β†’ π‘Ÿ βŠ† 𝐴)
2119, 20sstrd 3987 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐴)
2218, 21jca 511 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴))
2322reximi 3078 . . . . 5 (βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴))
2417, 23sylbir 234 . . . 4 ((βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴))
2516, 24syl 17 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (π‘Ÿ ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ (𝑋 ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴))
2625rexlimdvaa 3150 . 2 (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓))(𝑋 ∈ π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴)))
275, 8, 26sylc 65 1 ((𝐴 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943  βˆͺ cuni 4902   Γ— cxp 5667  ran crn 5670  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  β„cr 11111  1c1 11113  ici 11114   + caddc 11115   Β· cmul 11117   / cdiv 11875  2c2 12271  β„€cz 12562  (,)cioo 13330  [,)cico 13332  β†‘cexp 14032  topGenctg 17392   Γ—t ctx 23419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-refld 21498  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-fcls 23800  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-cfil 25138  df-cmet 25140  df-cms 25218  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-cxp 26446  df-logb 26652
This theorem is referenced by:  dya2iocuni  33812
  Copyright terms: Public domain W3C validator