Theorem ttc0elw 37133

Description: If a transitive closure is a set, then it contains ∅ as an element iff it is nonempty, assuming Regularity. If we also assume Transitive Containment, then we can remove the TC+ 𝐴 ∈ 𝑉 hypothesis, see ttc0el 37141. (Contributed by Matthew House, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ttc0elw	⊢ (TC+ 𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∅ ∈ TC+ 𝐴))

Proof of Theorem ttc0elw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ttc00 37114	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ TC+ 𝐴 = ∅)
2	1	necon3bii 3009	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ TC+ 𝐴 ≠ ∅)
3		ttctr 37099	. . . 4 ⊢ Tr TC+ 𝐴
4		tr0elw 37090	. . . 4 ⊢ ((TC+ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ TC+ 𝐴 ≠ ∅ ∧ Tr TC+ 𝐴) → ∅ ∈ TC+ 𝐴)
5	3, 4	mp3an3 1479	. . 3 ⊢ ((TC+ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ TC+ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ TC+ 𝐴)
6		ne0i 4290	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ TC+ 𝐴 → TC+ 𝐴 ≠ ∅)
7	6	adantl 487	. . 3 ⊢ ((TC+ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ TC+ 𝐴) → TC+ 𝐴 ≠ ∅)
8	5, 7	impbida 813	. 2 ⊢ (TC+ 𝐴 ∈ 𝑉 → (TC+ 𝐴 ≠ ∅ ↔ ∅ ∈ TC+ 𝐴))
9	2, 8	bitrid 286	1 ⊢ (TC+ 𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∅ ∈ TC+ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∅c0 4282  Tr wtr 5216  TC+ cttc 37092

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-reg 9567

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-ttc 37093

This theorem is used by: (None)