Theorem ttc0elw 36715

Description: If a transitive closure is a set, then it contains ∅ as an element iff it is nonempty, assuming Regularity. If we also assume Transitive Containment, then we can remove the TC+ 𝐴 ∈ 𝑉 hypothesis, see ttc0el 36723. (Contributed by Matthew House, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ttc0elw	⊢ (TC+ 𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∅ ∈ TC+ 𝐴))

Proof of Theorem ttc0elw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ttc00 36696	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ TC+ 𝐴 = ∅)
2	1	necon3bii 2985	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ TC+ 𝐴 ≠ ∅)
3		ttctr 36681	. . . 4 ⊢ Tr TC+ 𝐴
4		tr0elw 36672	. . . 4 ⊢ ((TC+ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ TC+ 𝐴 ≠ ∅ ∧ Tr TC+ 𝐴) → ∅ ∈ TC+ 𝐴)
5	3, 4	mp3an3 1453	. . 3 ⊢ ((TC+ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ TC+ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ TC+ 𝐴)
6		ne0i 4282	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ TC+ 𝐴 → TC+ 𝐴 ≠ ∅)
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((TC+ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ TC+ 𝐴) → TC+ 𝐴 ≠ ∅)
8	5, 7	impbida 801	. 2 ⊢ (TC+ 𝐴 ∈ 𝑉 → (TC+ 𝐴 ≠ ∅ ↔ ∅ ∈ TC+ 𝐴))
9	2, 8	bitrid 283	1 ⊢ (TC+ 𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∅ ∈ TC+ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4274  Tr wtr 5193  TC+ cttc 36674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-reg 9498

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-ttc 36675

This theorem is referenced by: (None)