Theorem ttc0elw 36697

Description: If a transitive closure is a set, then it contains ∅ as an element iff it is nonempty, assuming Regularity. If we also assume Transitive Containment, then we can remove the TC+ 𝐴 ∈ 𝑉 hypothesis, see ttc0el 36705. (Contributed by Matthew House, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ttc0elw	⊢ (TC+ 𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∅ ∈ TC+ 𝐴))

Proof of Theorem ttc0elw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ttc00 36678	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ TC+ 𝐴 = ∅)
2	1	necon3bii 2982	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ TC+ 𝐴 ≠ ∅)
3		ttctr 36663	. . . 4 ⊢ Tr TC+ 𝐴
4		tr0elw 36654	. . . 4 ⊢ ((TC+ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ TC+ 𝐴 ≠ ∅ ∧ Tr TC+ 𝐴) → ∅ ∈ TC+ 𝐴)
5	3, 4	mp3an3 1453	. . 3 ⊢ ((TC+ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ TC+ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ TC+ 𝐴)
6		ne0i 4271	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ TC+ 𝐴 → TC+ 𝐴 ≠ ∅)
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((TC+ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ TC+ 𝐴) → TC+ 𝐴 ≠ ∅)
8	5, 7	impbida 801	. 2 ⊢ (TC+ 𝐴 ∈ 𝑉 → (TC+ 𝐴 ≠ ∅ ↔ ∅ ∈ TC+ 𝐴))
9	2, 8	bitrid 283	1 ⊢ (TC+ 𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∅ ∈ TC+ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2930  ∅c0 4263  Tr wtr 5181  TC+ cttc 36656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-reg 9496

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-ttc 36657

This theorem is referenced by: (None)