MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unfir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unfir 9332
Description: If a union is finite, the operands are finite. Converse of unfi 9190. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
unfir ((𝐴𝐵) ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))

Proof of Theorem unfir
StepHypRef Expression
1 ssun1 4168 . . 3 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
2 ssfi 9191 . . 3 (((𝐴𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ Fin)
31, 2mpan2 690 . 2 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
4 ssun2 4169 . . 3 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
5 ssfi 9191 . . 3 (((𝐴𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
64, 5mpan2 690 . 2 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → 𝐵 ∈ Fin)
73, 6jca 511 1 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2099  cun 3943  wss 3945  Fincfn 8957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7865  df-1o 8480  df-en 8958  df-fin 8961
This theorem is referenced by:  difinf  9334  hashunx  14371  eldioph4b  42225
  Copyright terms: Public domain W3C validator