Theorem unfir 9348

Description: If a union is finite, the operands are finite. Converse of unfi 9210. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
unfir	⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))

Proof of Theorem unfir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 4173	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
2		ssfi 9211	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)) → 𝐴 ∈ Fin)
3	1, 2	mpan2 689	. 2 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
4		ssun2 4174	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
5		ssfi 9211	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
6	4, 5	mpan2 689	. 2 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin → 𝐵 ∈ Fin)
7	3, 6	jca 510	1 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2099   ∪ cun 3945   ⊆ wss 3947  Fincfn 8974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-om 7877  df-1o 8496  df-en 8975  df-fin 8978

This theorem is referenced by:  unfib  9349  difinf  9351  hashunx  14403  eldioph4b  42468