MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unfir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unfir 9348
Description: If a union is finite, the operands are finite. Converse of unfi 9210. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
unfir ((𝐴𝐵) ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))

Proof of Theorem unfir
StepHypRef Expression
1 ssun1 4173 . . 3 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
2 ssfi 9211 . . 3 (((𝐴𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ Fin)
31, 2mpan2 689 . 2 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
4 ssun2 4174 . . 3 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
5 ssfi 9211 . . 3 (((𝐴𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
64, 5mpan2 689 . 2 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → 𝐵 ∈ Fin)
73, 6jca 510 1 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wcel 2099  cun 3945  wss 3947  Fincfn 8974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-om 7877  df-1o 8496  df-en 8975  df-fin 8978
This theorem is referenced by:  unfib  9349  difinf  9351  hashunx  14403  eldioph4b  42468
  Copyright terms: Public domain W3C validator