Theorem unfir 8388

Description: If a union is finite, the operands are finite. Converse of unfi 8387. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
unfir	⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))

Proof of Theorem unfir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 3927	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
2		ssfi 8340	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)) → 𝐴 ∈ Fin)
3	1, 2	mpan2 671	. 2 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
4		ssun2 3928	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
5		ssfi 8340	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
6	4, 5	mpan2 671	. 2 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin → 𝐵 ∈ Fin)
7	3, 6	jca 501	1 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3721   ⊆ wss 3723  Fincfn 8113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-om 7217  df-er 7900  df-en 8114  df-fin 8117

This theorem is referenced by:  difinf  8390  hashunx  13377  eldioph4b  37899