Theorem unfir 8770

Description: If a union is finite, the operands are finite. Converse of unfi 8769. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
unfir	⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))

Proof of Theorem unfir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 4099	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
2		ssfi 8722	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)) → 𝐴 ∈ Fin)
3	1, 2	mpan2 690	. 2 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
4		ssun2 4100	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
5		ssfi 8722	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
6	4, 5	mpan2 690	. 2 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin → 𝐵 ∈ Fin)
7	3, 6	jca 515	1 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   ∪ cun 3879   ⊆ wss 3881  Fincfn 8492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-om 7561  df-er 8272  df-en 8493  df-fin 8496

This theorem is referenced by:  difinf  8772  hashunx  13743  eldioph4b  39752