Theorem unfir 9179

Description: If a union is finite, the operands are finite. Converse of unfi 9037. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
unfir	⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))

Proof of Theorem unfir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 4119	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
2		ssfi 9038	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)) → 𝐴 ∈ Fin)
3	1, 2	mpan2 688	. 2 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
4		ssun2 4120	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
5		ssfi 9038	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
6	4, 5	mpan2 688	. 2 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin → 𝐵 ∈ Fin)
7	3, 6	jca 512	1 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2105   ∪ cun 3896   ⊆ wss 3898  Fincfn 8804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pr 5372  ax-un 7650

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-br 5093  df-opab 5155  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-om 7781  df-1o 8367  df-en 8805  df-fin 8808

This theorem is referenced by:  difinf  9181  hashunx  14201  eldioph4b  40903