MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unfir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unfir 8774
Description: If a union is finite, the operands are finite. Converse of unfi 8773. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
unfir ((𝐴𝐵) ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))

Proof of Theorem unfir
StepHypRef Expression
1 ssun1 4123 . . 3 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
2 ssfi 8726 . . 3 (((𝐴𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ Fin)
31, 2mpan2 690 . 2 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
4 ssun2 4124 . . 3 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
5 ssfi 8726 . . 3 (((𝐴𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
64, 5mpan2 690 . 2 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → 𝐵 ∈ Fin)
73, 6jca 515 1 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2114  cun 3906  wss 3908  Fincfn 8496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-om 7566  df-er 8276  df-en 8497  df-fin 8500
This theorem is referenced by:  difinf  8776  hashunx  13743  eldioph4b  39686
  Copyright terms: Public domain W3C validator