Theorem unfir 8497

Description: If a union is finite, the operands are finite. Converse of unfi 8496. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
unfir	⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))

Proof of Theorem unfir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 4003	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
2		ssfi 8449	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)) → 𝐴 ∈ Fin)
3	1, 2	mpan2 684	. 2 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
4		ssun2 4004	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
5		ssfi 8449	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
6	4, 5	mpan2 684	. 2 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin → 𝐵 ∈ Fin)
7	3, 6	jca 509	1 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2166   ∪ cun 3796   ⊆ wss 3798  Fincfn 8222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-br 4874  df-opab 4936  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-om 7327  df-er 8009  df-en 8223  df-fin 8226

This theorem is referenced by:  difinf  8499  hashunx  13465  eldioph4b  38219