Theorem unfi2 9248

Description: The union of two finite sets is finite. Part of Corollary 6K of [Enderton] p. 144. This version of unfi 9133 is useful only if we assume the Axiom of Infinity (see comments in fin2inf 9242). (Contributed by NM, 22-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
unfi2	⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ ω)

Proof of Theorem unfi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfinite2 9236	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)
2		isfinite2 9236	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ ω → 𝐵 ∈ Fin)
3		unfi 9133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2an 605	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
5		fin2inf 9242	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ ω → ω ∈ V)
6	5	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → ω ∈ V)
7		isfiniteg 9238	. . 3 ⊢ (ω ∈ V → ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ ω))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ ω))
9	4, 8	mpbid 234	1 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ∪ cun 3900   class class class wbr 5097  ωcom 7841   ≺ csdm 8920  Fincfn 8921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7394  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925

This theorem is referenced by:  djufi  10137  cdainflem  10138  infunsdom1  10162