Theorem unfi2 9205

Description: The union of two finite sets is finite. Part of Corollary 6K of [Enderton] p. 144. This version of unfi 9091 is useful only if we assume the Axiom of Infinity (see comments in fin2inf 9199). (Contributed by NM, 22-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
unfi2	⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ ω)

Proof of Theorem unfi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfinite2 9193	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)
2		isfinite2 9193	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ ω → 𝐵 ∈ Fin)
3		unfi 9091	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
5		fin2inf 9199	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ ω → ω ∈ V)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → ω ∈ V)
7		isfiniteg 9195	. . 3 ⊢ (ω ∈ V → ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ ω))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ ω))
9	4, 8	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ∪ cun 3896   class class class wbr 5095  ωcom 7805   ≺ csdm 8878  Fincfn 8879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883

This theorem is referenced by:  djufi  10089  cdainflem  10090  infunsdom1  10114