Theorem unfi2 9340

Description: The union of two finite sets is finite. Part of Corollary 6K of [Enderton] p. 144. This version of unfi 9224 is useful only if we assume the Axiom of Infinity (see comments in fin2inf 9334). (Contributed by NM, 22-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
unfi2	⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ ω)

Proof of Theorem unfi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfinite2 9328	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)
2		isfinite2 9328	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ ω → 𝐵 ∈ Fin)
3		unfi 9224	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
5		fin2inf 9334	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ ω → ω ∈ V)
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → ω ∈ V)
7		isfiniteg 9330	. . 3 ⊢ (ω ∈ V → ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ ω))
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ ω))
9	4, 8	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ ω)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ∪ cun 4152   class class class wbr 5108  ωcom 7911   ≺ csdm 9010  Fincfn 9011

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015

This theorem is used by:  djufi  10304  cdainflem  10305  infunsdom1  10329