Theorem unfi2 9189

Description: The union of two finite sets is finite. Part of Corollary 6K of [Enderton] p. 144. This version of unfi 9075 is useful only if we assume the Axiom of Infinity (see comments in fin2inf 9183). (Contributed by NM, 22-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
unfi2	⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ ω)

Proof of Theorem unfi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfinite2 9177	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)
2		isfinite2 9177	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ ω → 𝐵 ∈ Fin)
3		unfi 9075	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
5		fin2inf 9183	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ ω → ω ∈ V)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → ω ∈ V)
7		isfiniteg 9179	. . 3 ⊢ (ω ∈ V → ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ ω))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ ω))
9	4, 8	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∪ cun 3895   class class class wbr 5086  ωcom 7791   ≺ csdm 8863  Fincfn 8864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7344  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868

This theorem is referenced by:  djufi  10073  cdainflem  10074  infunsdom1  10098