MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unfi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unfi2 9346
Description: The union of two finite sets is finite. Part of Corollary 6K of [Enderton] p. 144. This version of unfi 9210 is useful only if we assume the Axiom of Infinity (see comments in fin2inf 9340). (Contributed by NM, 22-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
unfi2 ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴𝐵) ≺ ω)

Proof of Theorem unfi2
StepHypRef Expression
1 isfinite2 9332 . . 3 (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)
2 isfinite2 9332 . . 3 (𝐵 ≺ ω → 𝐵 ∈ Fin)
3 unfi 9210 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
41, 2, 3syl2an 596 . 2 ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
5 fin2inf 9340 . . . 4 (𝐴 ≺ ω → ω ∈ V)
65adantr 480 . . 3 ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → ω ∈ V)
7 isfiniteg 9335 . . 3 (ω ∈ V → ((𝐴𝐵) ∈ Fin ↔ (𝐴𝐵) ≺ ω))
86, 7syl 17 . 2 ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → ((𝐴𝐵) ∈ Fin ↔ (𝐴𝐵) ≺ ω))
94, 8mpbid 232 1 ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴𝐵) ≺ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2106  Vcvv 3478  cun 3961   class class class wbr 5148  ωcom 7887  csdm 8983  Fincfn 8984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988
This theorem is referenced by:  djufi  10225  cdainflem  10226  infunsdom1  10250
  Copyright terms: Public domain W3C validator