MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashunx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashunx 14101
Description: The size of the union of disjoint sets is the result of the extended real addition of their sizes, analogous to hashun 14097. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashunx ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem hashunx
StepHypRef Expression
1 hashun 14097 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
213expa 1117 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
3 hashcl 14071 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
43nn0red 12294 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
5 hashcl 14071 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
65nn0red 12294 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
74, 6anim12i 613 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ))
87adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ))
9 rexadd 12966 . . . . . . 7 (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
108, 9syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
1110eqcomd 2744 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))
122, 11eqtrd 2778 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))
1312expcom 414 . . 3 ((𝐴𝐵) = ∅ → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))))
14133ad2ant3 1134 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))))
15 unexg 7599 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)
16 unfir 9082 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
1716con3i 154 . . . . . 6 (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ (𝐴𝐵) ∈ Fin)
18 hashinf 14049 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ∈ V ∧ ¬ (𝐴𝐵) ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) = +∞)
1915, 17, 18syl2anr 597 . . . . 5 ((¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (♯‘(𝐴𝐵)) = +∞)
20 ianor 979 . . . . . . 7 (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝐴 ∈ Fin ∨ ¬ 𝐵 ∈ Fin))
21 simprl 768 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → 𝐴𝑉)
22 simprr 770 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → 𝐵𝑊)
23 hashnfinnn0 14076 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∉ ℕ0)
2423ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∉ ℕ0))
2524adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∉ ℕ0))
2625impcom 408 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (♯‘𝐴) ∉ ℕ0)
27 hashinfxadd 14100 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (♯‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = +∞)
2821, 22, 26, 27syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = +∞)
2928eqcomd 2744 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))
3029ex 413 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ Fin → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))))
31 hashxrcl 14072 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
32 hashxrcl 14072 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵𝑊 → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
3331, 32anim12i 613 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ*))
3433adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ*))
35 xaddcom 12974 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ*) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐵) +𝑒 (♯‘𝐴)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐵) +𝑒 (♯‘𝐴)))
37 simprr 770 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → 𝐵𝑊)
38 simprl 768 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → 𝐴𝑉)
39 hashnfinnn0 14076 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∉ ℕ0)
4039ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵𝑊 → (¬ 𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∉ ℕ0))
4140adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (¬ 𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∉ ℕ0))
4241impcom 408 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (♯‘𝐵) ∉ ℕ0)
43 hashinfxadd 14100 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵𝑊𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐵) ∉ ℕ0) → ((♯‘𝐵) +𝑒 (♯‘𝐴)) = +∞)
4437, 38, 42, 43syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → ((♯‘𝐵) +𝑒 (♯‘𝐴)) = +∞)
4536, 44eqtrd 2778 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = +∞)
4645eqcomd 2744 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))
4746ex 413 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ Fin → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))))
4830, 47jaoi 854 . . . . . . 7 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∨ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))))
4920, 48sylbi 216 . . . . . 6 (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))))
5049imp 407 . . . . 5 ((¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))
5119, 50eqtrd 2778 . . . 4 ((¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))
5251expcom 414 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))))
53523adant3 1131 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))))
5414, 53pm2.61d 179 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 844  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wnel 3049  Vcvv 3432  cun 3885  cin 3886  c0 4256  cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  cr 10870   + caddc 10874  +∞cpnf 11006  *cxr 11008  0cn0 12233   +𝑒 cxad 12846  chash 14044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-xadd 12849  df-hash 14045
This theorem is referenced by:  hashunsngx  14108  vtxdun  27848  vtxdginducedm1  27910  dimkerim  31708
  Copyright terms: Public domain W3C validator