MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashunx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashunx 14348
Description: The size of the union of disjoint sets is the result of the extended real addition of their sizes, analogous to hashun 14344. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashunx ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem hashunx
StepHypRef Expression
1 hashun 14344 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
213expa 1115 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
3 hashcl 14318 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
43nn0red 12534 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
5 hashcl 14318 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
65nn0red 12534 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
74, 6anim12i 612 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ))
87adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ))
9 rexadd 13214 . . . . . . 7 (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
108, 9syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
1110eqcomd 2732 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))
122, 11eqtrd 2766 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))
1312expcom 413 . . 3 ((𝐴𝐵) = ∅ → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))))
14133ad2ant3 1132 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))))
15 unexg 7732 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)
16 unfir 9313 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
1716con3i 154 . . . . . 6 (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ (𝐴𝐵) ∈ Fin)
18 hashinf 14297 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ∈ V ∧ ¬ (𝐴𝐵) ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) = +∞)
1915, 17, 18syl2anr 596 . . . . 5 ((¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (♯‘(𝐴𝐵)) = +∞)
20 ianor 978 . . . . . . 7 (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝐴 ∈ Fin ∨ ¬ 𝐵 ∈ Fin))
21 simprl 768 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → 𝐴𝑉)
22 simprr 770 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → 𝐵𝑊)
23 hashnfinnn0 14323 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∉ ℕ0)
2423ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∉ ℕ0))
2524adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∉ ℕ0))
2625impcom 407 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (♯‘𝐴) ∉ ℕ0)
27 hashinfxadd 14347 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (♯‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = +∞)
2821, 22, 26, 27syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = +∞)
2928eqcomd 2732 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))
3029ex 412 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ Fin → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))))
31 hashxrcl 14319 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
32 hashxrcl 14319 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵𝑊 → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
3331, 32anim12i 612 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ*))
3433adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ*))
35 xaddcom 13222 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ*) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐵) +𝑒 (♯‘𝐴)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐵) +𝑒 (♯‘𝐴)))
37 simprr 770 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → 𝐵𝑊)
38 simprl 768 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → 𝐴𝑉)
39 hashnfinnn0 14323 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∉ ℕ0)
4039ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵𝑊 → (¬ 𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∉ ℕ0))
4140adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (¬ 𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∉ ℕ0))
4241impcom 407 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (♯‘𝐵) ∉ ℕ0)
43 hashinfxadd 14347 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵𝑊𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐵) ∉ ℕ0) → ((♯‘𝐵) +𝑒 (♯‘𝐴)) = +∞)
4437, 38, 42, 43syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → ((♯‘𝐵) +𝑒 (♯‘𝐴)) = +∞)
4536, 44eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = +∞)
4645eqcomd 2732 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))
4746ex 412 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ Fin → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))))
4830, 47jaoi 854 . . . . . . 7 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∨ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))))
4920, 48sylbi 216 . . . . . 6 (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))))
5049imp 406 . . . . 5 ((¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))
5119, 50eqtrd 2766 . . . 4 ((¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))
5251expcom 413 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))))
53523adant3 1129 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))))
5414, 53pm2.61d 179 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 844  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wnel 3040  Vcvv 3468  cun 3941  cin 3942  c0 4317  cfv 6536  (class class class)co 7404  Fincfn 8938  cr 11108   + caddc 11112  +∞cpnf 11246  *cxr 11248  0cn0 12473   +𝑒 cxad 13093  chash 14292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-uz 12824  df-xadd 13096  df-hash 14293
This theorem is referenced by:  hashunsngx  14355  vtxdun  29242  vtxdginducedm1  29304  dimkerim  33229
  Copyright terms: Public domain W3C validator