Theorem hashunx 14029

Description: The size of the union of disjoint sets is the result of the extended real addition of their sizes, analogous to hashun 14025. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hashunx	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem hashunx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashun 14025	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
2	1	3expa 1116	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
3		hashcl 13999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
4	3	nn0red 12224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
5		hashcl 13999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
6	5	nn0red 12224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
7	4, 6	anim12i 612	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ))
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ))
9		rexadd 12895	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
11	10	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))
12	2, 11	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))
13	12	expcom 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))))
14	13	3ad2ant3 1133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))))
15		unexg 7577	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
16		unfir 9012	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
17	16	con3i 154	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
18		hashinf 13977	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V ∧ ¬ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = +∞)
19	15, 17, 18	syl2anr 596	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = +∞)
20		ianor 978	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝐴 ∈ Fin ∨ ¬ 𝐵 ∈ Fin))
21		simprl 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
22		simprr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → 𝐵 ∈ 𝑊)
23		hashnfinnn0 14004	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∉ ℕ0)
24	23	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∉ ℕ0))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∉ ℕ0))
26	25	impcom 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → (♯‘𝐴) ∉ ℕ0)
27		hashinfxadd 14028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = +∞)
28	21, 22, 26, 27	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = +∞)
29	28	eqcomd 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))
30	29	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))))
31		hashxrcl 14000	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
32		hashxrcl 14000	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
33	31, 32	anim12i 612	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ*))
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ*))
35		xaddcom 12903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ*) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐵) +𝑒 (♯‘𝐴)))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐵) +𝑒 (♯‘𝐴)))
37		simprr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → 𝐵 ∈ 𝑊)
38		simprl 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
39		hashnfinnn0 14004	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∉ ℕ0)
40	39	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (¬ 𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∉ ℕ0))
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (¬ 𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∉ ℕ0))
42	41	impcom 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → (♯‘𝐵) ∉ ℕ0)
43		hashinfxadd 14028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐵) ∉ ℕ0) → ((♯‘𝐵) +𝑒 (♯‘𝐴)) = +∞)
44	37, 38, 42, 43	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → ((♯‘𝐵) +𝑒 (♯‘𝐴)) = +∞)
45	36, 44	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = +∞)
46	45	eqcomd 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))
47	46	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ Fin → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))))
48	30, 47	jaoi 853	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∨ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))))
49	20, 48	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))))
50	49	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))
51	19, 50	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))
52	51	expcom 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))))
53	52	3adant3 1130	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))))
54	14, 53	pm2.61d 179	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3048  Vcvv 3422   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882  ∅c0 4253  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  ℝcr 10801   + caddc 10805  +∞cpnf 10937  ℝ^*cxr 10939  ℕ₀cn0 12163   +_𝑒 cxad 12775  ♯chash 13972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-xadd 12778  df-hash 13973

This theorem is referenced by:  hashunsngx  14036  vtxdun  27751  vtxdginducedm1  27813  dimkerim  31610