Proof of Theorem hashunx
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | hashun 14097 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) |
2 | 1 | 3expa 1117 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) |
3 | | hashcl 14071 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ Fin →
(♯‘𝐴) ∈
ℕ0) |
4 | 3 | nn0red 12294 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ Fin →
(♯‘𝐴) ∈
ℝ) |
5 | | hashcl 14071 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐵 ∈ Fin →
(♯‘𝐵) ∈
ℕ0) |
6 | 5 | nn0red 12294 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐵 ∈ Fin →
(♯‘𝐵) ∈
ℝ) |
7 | 4, 6 | anim12i 613 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) →
((♯‘𝐴) ∈
ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ)) |
8 | 7 | adantr 481 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧
(♯‘𝐵) ∈
ℝ)) |
9 | | rexadd 12966 |
. . . . . . 7
⊢
(((♯‘𝐴)
∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ) →
((♯‘𝐴)
+𝑒 (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) |
10 | 8, 9 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ((♯‘𝐴) +𝑒
(♯‘𝐵)) =
((♯‘𝐴) +
(♯‘𝐵))) |
11 | 10 | eqcomd 2744 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒
(♯‘𝐵))) |
12 | 2, 11 | eqtrd 2778 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))) |
13 | 12 | expcom 414 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))) |
14 | 13 | 3ad2ant3 1134 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))) |
15 | | unexg 7599 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V) |
16 | | unfir 9082 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) |
17 | 16 | con3i 154 |
. . . . . 6
⊢ (¬
(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin) |
18 | | hashinf 14049 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V ∧ ¬ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = +∞) |
19 | 15, 17, 18 | syl2anr 597 |
. . . . 5
⊢ ((¬
(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = +∞) |
20 | | ianor 979 |
. . . . . . 7
⊢ (¬
(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝐴 ∈ Fin ∨ ¬ 𝐵 ∈ Fin)) |
21 | | simprl 768 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((¬
𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → 𝐴 ∈ 𝑉) |
22 | | simprr 770 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((¬
𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → 𝐵 ∈ 𝑊) |
23 | | hashnfinnn0 14076 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∉
ℕ0) |
24 | 23 | ex 413 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∉
ℕ0)) |
25 | 24 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∉
ℕ0)) |
26 | 25 | impcom 408 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((¬
𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → (♯‘𝐴) ∉
ℕ0) |
27 | | hashinfxadd 14100 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝐴) ∉ ℕ0) →
((♯‘𝐴)
+𝑒 (♯‘𝐵)) = +∞) |
28 | 21, 22, 26, 27 | syl3anc 1370 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((¬
𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = +∞) |
29 | 28 | eqcomd 2744 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((¬
𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒
(♯‘𝐵))) |
30 | 29 | ex 413 |
. . . . . . . 8
⊢ (¬
𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒
(♯‘𝐵)))) |
31 | | hashxrcl 14072 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈
ℝ*) |
32 | | hashxrcl 14072 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (♯‘𝐵) ∈
ℝ*) |
33 | 31, 32 | anim12i 613 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ* ∧
(♯‘𝐵) ∈
ℝ*)) |
34 | 33 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((¬
𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ* ∧
(♯‘𝐵) ∈
ℝ*)) |
35 | | xaddcom 12974 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((♯‘𝐴)
∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ*) →
((♯‘𝐴)
+𝑒 (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐵) +𝑒 (♯‘𝐴))) |
36 | 34, 35 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((¬
𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐵) +𝑒
(♯‘𝐴))) |
37 | | simprr 770 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((¬
𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → 𝐵 ∈ 𝑊) |
38 | | simprl 768 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((¬
𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → 𝐴 ∈ 𝑉) |
39 | | hashnfinnn0 14076 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∉
ℕ0) |
40 | 39 | ex 413 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (¬ 𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∉
ℕ0)) |
41 | 40 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (¬ 𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∉
ℕ0)) |
42 | 41 | impcom 408 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((¬
𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → (♯‘𝐵) ∉
ℕ0) |
43 | | hashinfxadd 14100 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐵) ∉ ℕ0) →
((♯‘𝐵)
+𝑒 (♯‘𝐴)) = +∞) |
44 | 37, 38, 42, 43 | syl3anc 1370 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((¬
𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → ((♯‘𝐵) +𝑒 (♯‘𝐴)) = +∞) |
45 | 36, 44 | eqtrd 2778 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((¬
𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = +∞) |
46 | 45 | eqcomd 2744 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((¬
𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒
(♯‘𝐵))) |
47 | 46 | ex 413 |
. . . . . . . 8
⊢ (¬
𝐵 ∈ Fin → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒
(♯‘𝐵)))) |
48 | 30, 47 | jaoi 854 |
. . . . . . 7
⊢ ((¬
𝐴 ∈ Fin ∨ ¬
𝐵 ∈ Fin) →
((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒
(♯‘𝐵)))) |
49 | 20, 48 | sylbi 216 |
. . . . . 6
⊢ (¬
(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒
(♯‘𝐵)))) |
50 | 49 | imp 407 |
. . . . 5
⊢ ((¬
(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒
(♯‘𝐵))) |
51 | 19, 50 | eqtrd 2778 |
. . . 4
⊢ ((¬
(𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))) |
52 | 51 | expcom 414 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))) |
53 | 52 | 3adant3 1131 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) →
(♯‘(𝐴 ∪
𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒
(♯‘𝐵)))) |
54 | 14, 53 | pm2.61d 179 |
1
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))) |