MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashunx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashunx 14422
Description: The size of the union of disjoint sets is the result of the extended real addition of their sizes, analogous to hashun 14418. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashunx ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem hashunx
StepHypRef Expression
1 hashun 14418 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
213expa 1117 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
3 hashcl 14392 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
43nn0red 12586 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
5 hashcl 14392 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
65nn0red 12586 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
74, 6anim12i 613 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ))
87adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ))
9 rexadd 13271 . . . . . . 7 (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
108, 9syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
1110eqcomd 2741 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))
122, 11eqtrd 2775 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))
1312expcom 413 . . 3 ((𝐴𝐵) = ∅ → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))))
14133ad2ant3 1134 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))))
15 unexg 7762 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)
16 unfir 9344 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
1716con3i 154 . . . . . 6 (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ (𝐴𝐵) ∈ Fin)
18 hashinf 14371 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ∈ V ∧ ¬ (𝐴𝐵) ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) = +∞)
1915, 17, 18syl2anr 597 . . . . 5 ((¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (♯‘(𝐴𝐵)) = +∞)
20 ianor 983 . . . . . . 7 (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝐴 ∈ Fin ∨ ¬ 𝐵 ∈ Fin))
21 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → 𝐴𝑉)
22 simprr 773 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → 𝐵𝑊)
23 hashnfinnn0 14397 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∉ ℕ0)
2423ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∉ ℕ0))
2524adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∉ ℕ0))
2625impcom 407 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (♯‘𝐴) ∉ ℕ0)
27 hashinfxadd 14421 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (♯‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = +∞)
2821, 22, 26, 27syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = +∞)
2928eqcomd 2741 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))
3029ex 412 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ Fin → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))))
31 hashxrcl 14393 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
32 hashxrcl 14393 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵𝑊 → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
3331, 32anim12i 613 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ*))
3433adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ*))
35 xaddcom 13279 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ*) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐵) +𝑒 (♯‘𝐴)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐵) +𝑒 (♯‘𝐴)))
37 simprr 773 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → 𝐵𝑊)
38 simprl 771 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → 𝐴𝑉)
39 hashnfinnn0 14397 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∉ ℕ0)
4039ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵𝑊 → (¬ 𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∉ ℕ0))
4140adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (¬ 𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∉ ℕ0))
4241impcom 407 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (♯‘𝐵) ∉ ℕ0)
43 hashinfxadd 14421 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵𝑊𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐵) ∉ ℕ0) → ((♯‘𝐵) +𝑒 (♯‘𝐴)) = +∞)
4437, 38, 42, 43syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → ((♯‘𝐵) +𝑒 (♯‘𝐴)) = +∞)
4536, 44eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)) = +∞)
4645eqcomd 2741 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))
4746ex 412 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ Fin → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))))
4830, 47jaoi 857 . . . . . . 7 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∨ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))))
4920, 48sylbi 217 . . . . . 6 (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))))
5049imp 406 . . . . 5 ((¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → +∞ = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))
5119, 50eqtrd 2775 . . . 4 ((¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))
5251expcom 413 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))))
53523adant3 1131 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵))))
5414, 53pm2.61d 179 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) +𝑒 (♯‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wnel 3044  Vcvv 3478  cun 3961  cin 3962  c0 4339  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cr 11152   + caddc 11156  +∞cpnf 11290  *cxr 11292  0cn0 12524   +𝑒 cxad 13150  chash 14366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-xadd 13153  df-hash 14367
This theorem is referenced by:  hashunsngx  14429  vtxdun  29514  vtxdginducedm1  29576  dimkerim  33655
  Copyright terms: Public domain W3C validator