Theorem uprcl3 49543

Description: Reverse closure for the class of universal property. (Contributed by Zhi Wang, 25-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
uprcl2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐷 UP 𝐸)𝑊)𝑀)
uprcl3.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
uprcl3	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem uprcl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uprcl2.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐷 UP 𝐸)𝑊)𝑀)
2		df-br 5101	. . 3 ⊢ (𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐷 UP 𝐸)𝑊)𝑀 ↔ ⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐷 UP 𝐸)𝑊))
3	2	biimpi 216	. 2 ⊢ (𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐷 UP 𝐸)𝑊)𝑀 → ⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐷 UP 𝐸)𝑊))
4		uprcl3.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐸)
5	4	uprcl 49537	. . 3 ⊢ (⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐷 UP 𝐸)𝑊) → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) ∧ 𝑊 ∈ 𝐶))
6	5	simprd 495	. 2 ⊢ (⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐷 UP 𝐸)𝑊) → 𝑊 ∈ 𝐶)
7	1, 3, 6	3syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148   Func cfunc 17790   UP cup 49526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-func 17794  df-up 49527

This theorem is referenced by:  uprcl4  49544  uprcl5  49545  isup2  49547  upeu3  49548  upeu4  49549  oppcuprcl3  49553  uptri  49567  uptrai  49570  uptr2  49574  isinito3  49853  lmddu  50020  cmddu  50021  cmdlan  50025