Theorem uprcl3 49176

Description: Reverse closure for the class of universal property. (Contributed by Zhi Wang, 25-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
uprcl2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐷 UP 𝐸)𝑊)𝑀)
uprcl3.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
uprcl3	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem uprcl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uprcl2.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐷 UP 𝐸)𝑊)𝑀)
2		df-br 5096	. . 3 ⊢ (𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐷 UP 𝐸)𝑊)𝑀 ↔ ⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐷 UP 𝐸)𝑊))
3	2	biimpi 216	. 2 ⊢ (𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐷 UP 𝐸)𝑊)𝑀 → ⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐷 UP 𝐸)𝑊))
4		uprcl3.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐸)
5	4	uprcl 49170	. . 3 ⊢ (⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐷 UP 𝐸)𝑊) → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) ∧ 𝑊 ∈ 𝐶))
6	5	simprd 495	. 2 ⊢ (⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐷 UP 𝐸)𝑊) → 𝑊 ∈ 𝐶)
7	1, 3, 6	3syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4585   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138   Func cfunc 17779   UP cup 49159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-func 17783  df-up 49160

This theorem is referenced by:  uprcl4  49177  uprcl5  49178  isup2  49180  upeu3  49181  upeu4  49182  oppcuprcl3  49186  uptri  49200  uptrai  49203  uptr2  49207  isinito3  49486  lmddu  49653  cmddu  49654  cmdlan  49658