Theorem uprcl3 50413

Description: Reverse closure for the class of universal property. (Contributed by Zhi Wang, 25-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
uprcl2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐷 UP 𝐸)𝑊)𝑀)
uprcl3.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
uprcl3	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem uprcl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uprcl2.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐷 UP 𝐸)𝑊)𝑀)
2		df-br 5103	. . 3 ⊢ (𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐷 UP 𝐸)𝑊)𝑀 ↔ ⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐷 UP 𝐸)𝑊))
3	2	biimpi 219	. 2 ⊢ (𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐷 UP 𝐸)𝑊)𝑀 → ⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐷 UP 𝐸)𝑊))
4		uprcl3.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐸)
5	4	uprcl 50407	. . 3 ⊢ (⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐷 UP 𝐸)𝑊) → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) ∧ 𝑊 ∈ 𝐶))
6	5	simprd 501	. 2 ⊢ (⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐷 UP 𝐸)𝑊) → 𝑊 ∈ 𝐶)
7	1, 3, 6	3syl 19	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  Basecbs 17394   Func cfunc 18036   UP cup 50396

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-func 18040  df-up 50397

This theorem is used by:  uprcl4  50414  uprcl5  50415  isup2  50417  upeu3  50418  upeu4  50419  oppcuprcl3  50423  uptri  50437  uptrai  50440  uptr2  50444  isinito3  50742  lmddu  50957  cmddu  50958  cmdlan  50962