Theorem isinito3 49975

Description: The predicate "is an initial object" of a category, using universal property. (Contributed by Zhi Wang, 23-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinito2.1	⊢ 1 = (SetCat‘1o)
isinito2.f	⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘∅)

Assertion

Ref	Expression
isinito3	⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅))

Proof of Theorem isinito3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relup 49658	. . 3 ⊢ Rel (𝐹(𝐶 UP 1 )∅)
2		isinito2.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (SetCat‘1o)
3		isinito2.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘∅)
4	2, 3	isinito2 49974	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅)
5	4	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅)
6		releldm 5899	. . 3 ⊢ ((Rel (𝐹(𝐶 UP 1 )∅) ∧ 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅) → 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅))
7	1, 5, 6	sylancr 588	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅))
8		releldmb 5901	. . . 4 ⊢ (Rel (𝐹(𝐶 UP 1 )∅) → (𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅) ↔ ∃𝑦 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦))
9	1, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅) ↔ ∃𝑦 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦)
10		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦)
11	10	up1st2nd 49660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼(⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩(𝐶 UP 1 )∅)𝑦)
12	2	setc1ohomfval 49968	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨∅, ∅, 1o⟩} = (Hom ‘ 1 )
13	11, 12	uprcl5 49667	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝑦 ∈ (∅{⟨∅, ∅, 1o⟩} ((1st ‘𝐹)‘𝐼)))
14		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( 1 Δfunc𝐶) = ( 1 Δfunc𝐶)
15		setc1oterm 49966	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (SetCat‘1o) ∈ TermCat
16	2, 15	eqeltri 2832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ TermCat
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 1 ∈ TermCat)
18	17	termccd 49954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 1 ∈ Cat)
19	11	uprcl2 49664	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 1 )(2nd ‘𝐹))
20	19	funcrcl2 49554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐶 ∈ Cat)
21	2	setc1obas 49967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = (Base‘ 1 )
22	11, 21	uprcl3 49665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → ∅ ∈ 1o)
23		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
24	11, 23	uprcl4 49666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼 ∈ (Base‘𝐶))
25	14, 18, 20, 21, 22, 3, 23, 24	diag11 18209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → ((1st ‘𝐹)‘𝐼) = ∅)
26	25	oveq2d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → (∅{⟨∅, ∅, 1o⟩} ((1st ‘𝐹)‘𝐼)) = (∅{⟨∅, ∅, 1o⟩}∅))
27		1oex 8415	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ V
28	27	ovsn2 49336	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅{⟨∅, ∅, 1o⟩}∅) = 1o
29	26, 28	eqtrdi 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → (∅{⟨∅, ∅, 1o⟩} ((1st ‘𝐹)‘𝐼)) = 1o)
30	13, 29	eleqtrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝑦 ∈ 1o)
31		el1o 8430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 1o ↔ 𝑦 = ∅)
32	30, 31	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝑦 = ∅)
33	10, 32	breqtrd 5111	. . . . 5 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅)
34	33, 4	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼 ∈ (InitO‘𝐶))
35	34	exlimiv 1932	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼 ∈ (InitO‘𝐶))
36	9, 35	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅) → 𝐼 ∈ (InitO‘𝐶))
37	7, 36	impbii 209	1 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅))

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∅c0 4273  {csn 4567  ⟨cotp 4575   class class class wbr 5085  dom cdm 5631  Rel wrel 5636  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  1^st c1st 7940  2^nd c2nd 7941  1_oc1o 8398  Basecbs 17179  InitOcinito 17948  SetCatcsetc 18042  Δ_funccdiag 18178   UP cup 49648  TermCatctermc 49947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-hom 17244  df-cco 17245  df-cat 17634  df-cid 17635  df-func 17825  df-nat 17913  df-fuc 17914  df-inito 17951  df-setc 18043  df-xpc 18138  df-1stf 18139  df-curf 18180  df-diag 18182  df-up 49649  df-thinc 49893  df-termc 49948

This theorem is referenced by:  dfinito4  49976  isinito4  50022