Theorem isinito3 50742

Description: The predicate "is an initial object" of a category, using universal property. (Contributed by Zhi Wang, 23-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinito2.1	⊢ 1 = (SetCat‘1o)
isinito2.f	⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘∅)

Assertion

Ref	Expression
isinito3	⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅))

Proof of Theorem isinito3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relup 50406	. . 3 ⊢ Rel (𝐹(𝐶 UP 1 )∅)
2		isinito2.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (SetCat‘1o)
3		isinito2.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘∅)
4	2, 3	isinito2 50741	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅)
5	4	biimpi 219	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅)
6		releldm 5926	. . 3 ⊢ ((Rel (𝐹(𝐶 UP 1 )∅) ∧ 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅) → 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅))
7	1, 5, 6	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅))
8		releldmb 5928	. . . 4 ⊢ (Rel (𝐹(𝐶 UP 1 )∅) → (𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅) ↔ ∃𝑦 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦))
9	1, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅) ↔ ∃𝑦 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦)
10		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦)
11	10	up1st2nd 50408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼(⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩(𝐶 UP 1 )∅)𝑦)
12	2	setc1ohomfval 50735	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨∅, ∅, 1o⟩} = (Hom ‘ 1 )
13	11, 12	uprcl5 50415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝑦 ∈ (∅{⟨∅, ∅, 1o⟩} ((1st ‘𝐹)‘𝐼)))
14		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( 1 Δfunc𝐶) = ( 1 Δfunc𝐶)
15		setc1oterm 50733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (SetCat‘1o) ∈ TermCat
16	2, 15	eqeltri 2856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ TermCat
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 1 ∈ TermCat)
18	17	termccatd 50721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 1 ∈ Cat)
19	11	uprcl2 50412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 1 )(2nd ‘𝐹))
20	19	funcrcl2 50300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐶 ∈ Cat)
21	2	setc1obas 50734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = (Base‘ 1 )
22	11, 21	uprcl3 50413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → ∅ ∈ 1o)
23		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
24	11, 23	uprcl4 50414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼 ∈ (Base‘𝐶))
25	14, 18, 20, 21, 22, 3, 23, 24	diag11 18424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → ((1st ‘𝐹)‘𝐼) = ∅)
26	25	oveq2d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → (∅{⟨∅, ∅, 1o⟩} ((1st ‘𝐹)‘𝐼)) = (∅{⟨∅, ∅, 1o⟩}∅))
27		1oex 8491	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ V
28	27	ovsn2 50079	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅{⟨∅, ∅, 1o⟩}∅) = 1o
29	26, 28	eqtrdi 2811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → (∅{⟨∅, ∅, 1o⟩} ((1st ‘𝐹)‘𝐼)) = 1o)
30	13, 29	eleqtrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝑦 ∈ 1o)
31		el1o 8508	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 1o ↔ 𝑦 = ∅)
32	30, 31	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝑦 = ∅)
33	10, 32	breqtrd 5130	. . . . 5 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅)
34	33, 4	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼 ∈ (InitO‘𝐶))
35	34	exlimiv 1962	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼 ∈ (InitO‘𝐶))
36	9, 35	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅) → 𝐼 ∈ (InitO‘𝐶))
37	7, 36	impbii 212	1 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  ∅c0 4277  {csn 4584  ⟨cotp 4857   class class class wbr 5102  dom cdm 5650  Rel wrel 5655  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  1^st c1st 8001  2^nd c2nd 8002  1_oc1o 8474  Basecbs 17394  InitOcinito 18163  SetCatcsetc 18257  Δ_funccdiag 18393   UP cup 50396  TermCatctermc 50714

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-er 8722  df-map 8854  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-fz 13645  df-struct 17332  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-hom 17459  df-cco 17460  df-cat 17849  df-cid 17850  df-func 18040  df-nat 18128  df-fuc 18129  df-inito 18166  df-setc 18258  df-xpc 18353  df-1stf 18354  df-curf 18395  df-diag 18397  df-up 50397  df-thinc 50660  df-termc 50715

This theorem is used by:  dfinito4  50743  isinito4  50792