Theorem isinito3 50082

Description: The predicate "is an initial object" of a category, using universal property. (Contributed by Zhi Wang, 23-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinito2.1	⊢ 1 = (SetCat‘1o)
isinito2.f	⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘∅)

Assertion

Ref	Expression
isinito3	⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅))

Proof of Theorem isinito3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relup 49765	. . 3 ⊢ Rel (𝐹(𝐶 UP 1 )∅)
2		isinito2.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (SetCat‘1o)
3		isinito2.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘∅)
4	2, 3	isinito2 50081	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅)
5	4	biimpi 218	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅)
6		releldm 5916	. . 3 ⊢ ((Rel (𝐹(𝐶 UP 1 )∅) ∧ 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅) → 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅))
7	1, 5, 6	sylancr 596	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅))
8		releldmb 5918	. . . 4 ⊢ (Rel (𝐹(𝐶 UP 1 )∅) → (𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅) ↔ ∃𝑦 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦))
9	1, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅) ↔ ∃𝑦 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦)
10		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦)
11	10	up1st2nd 49767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼(⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩(𝐶 UP 1 )∅)𝑦)
12	2	setc1ohomfval 50075	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨∅, ∅, 1o⟩} = (Hom ‘ 1 )
13	11, 12	uprcl5 49774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝑦 ∈ (∅{⟨∅, ∅, 1o⟩} ((1st ‘𝐹)‘𝐼)))
14		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( 1 Δfunc𝐶) = ( 1 Δfunc𝐶)
15		setc1oterm 50073	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (SetCat‘1o) ∈ TermCat
16	2, 15	eqeltri 2857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ TermCat
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 1 ∈ TermCat)
18	17	termccd 50061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 1 ∈ Cat)
19	11	uprcl2 49771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 1 )(2nd ‘𝐹))
20	19	funcrcl2 49661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐶 ∈ Cat)
21	2	setc1obas 50074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = (Base‘ 1 )
22	11, 21	uprcl3 49772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → ∅ ∈ 1o)
23		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
24	11, 23	uprcl4 49773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼 ∈ (Base‘𝐶))
25	14, 18, 20, 21, 22, 3, 23, 24	diag11 18266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → ((1st ‘𝐹)‘𝐼) = ∅)
26	25	oveq2d 7407	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → (∅{⟨∅, ∅, 1o⟩} ((1st ‘𝐹)‘𝐼)) = (∅{⟨∅, ∅, 1o⟩}∅))
27		1oex 8441	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ V
28	27	ovsn2 49443	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅{⟨∅, ∅, 1o⟩}∅) = 1o
29	26, 28	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → (∅{⟨∅, ∅, 1o⟩} ((1st ‘𝐹)‘𝐼)) = 1o)
30	13, 29	eleqtrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝑦 ∈ 1o)
31		el1o 8458	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 1o ↔ 𝑦 = ∅)
32	30, 31	sylib 220	. . . . . 6 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝑦 = ∅)
33	10, 32	breqtrd 5123	. . . . 5 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅)
34	33, 4	sylibr 236	. . . 4 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼 ∈ (InitO‘𝐶))
35	34	exlimiv 1949	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼 ∈ (InitO‘𝐶))
36	9, 35	sylbi 219	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅) → 𝐼 ∈ (InitO‘𝐶))
37	7, 36	impbii 211	1 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅))

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1559  ∃wex 1798   ∈ wcel 2141  ∅c0 4283  {csn 4579  ⟨cotp 4587   class class class wbr 5097  dom cdm 5643  Rel wrel 5648  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  1^st c1st 7963  2^nd c2nd 7964  1_oc1o 8424  Basecbs 17236  InitOcinito 18005  SetCatcsetc 18099  Δ_funccdiag 18235   UP cup 49755  TermCatctermc 50054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-fz 13507  df-struct 17174  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-hom 17301  df-cco 17302  df-cat 17691  df-cid 17692  df-func 17882  df-nat 17970  df-fuc 17971  df-inito 18008  df-setc 18100  df-xpc 18195  df-1stf 18196  df-curf 18237  df-diag 18239  df-up 49756  df-thinc 50000  df-termc 50055

This theorem is referenced by:  dfinito4  50083  isinito4  50129