Theorem isinito3 49198

Description: The predicate "is an initial object" of a category, using universal property. (Contributed by Zhi Wang, 23-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinito2.1	⊢ 1 = (SetCat‘1o)
isinito2.f	⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘∅)

Assertion

Ref	Expression
isinito3	⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶UP 1 )∅))

Proof of Theorem isinito3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relup 48966	. . 3 ⊢ Rel (𝐹(𝐶UP 1 )∅)
2		isinito2.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (SetCat‘1o)
3		isinito2.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘∅)
4	2, 3	isinito2 49197	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)∅)
5	4	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)∅)
6		releldm 5935	. . 3 ⊢ ((Rel (𝐹(𝐶UP 1 )∅) ∧ 𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)∅) → 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶UP 1 )∅))
7	1, 5, 6	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶UP 1 )∅))
8		releldmb 5937	. . . 4 ⊢ (Rel (𝐹(𝐶UP 1 )∅) → (𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶UP 1 )∅) ↔ ∃𝑦 𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)𝑦))
9	1, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶UP 1 )∅) ↔ ∃𝑦 𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)𝑦)
10		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)𝑦)
11	10	up1st2nd 48968	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼(⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩(𝐶UP 1 )∅)𝑦)
12	2	setc1ohomfval 49191	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨∅, ∅, 1o⟩} = (Hom ‘ 1 )
13	11, 12	uprcl5 48975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)𝑦 → 𝑦 ∈ (∅{⟨∅, ∅, 1o⟩} ((1st ‘𝐹)‘𝐼)))
14		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( 1 Δfunc𝐶) = ( 1 Δfunc𝐶)
15		setc1oterm 49189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (SetCat‘1o) ∈ TermCat
16	2, 15	eqeltri 2829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ TermCat
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)𝑦 → 1 ∈ TermCat)
18	17	termccd 49178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)𝑦 → 1 ∈ Cat)
19	11	uprcl2 48972	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)𝑦 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 1 )(2nd ‘𝐹))
20	19	funcrcl2 48937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)𝑦 → 𝐶 ∈ Cat)
21	2	setc1obas 49190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = (Base‘ 1 )
22	11, 21	uprcl3 48973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)𝑦 → ∅ ∈ 1o)
23		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
24	11, 23	uprcl4 48974	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼 ∈ (Base‘𝐶))
25	14, 18, 20, 21, 22, 3, 23, 24	diag11 18259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)𝑦 → ((1st ‘𝐹)‘𝐼) = ∅)
26	25	oveq2d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)𝑦 → (∅{⟨∅, ∅, 1o⟩} ((1st ‘𝐹)‘𝐼)) = (∅{⟨∅, ∅, 1o⟩}∅))
27		1oex 8498	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ V
28	27	ovsn2 48745	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅{⟨∅, ∅, 1o⟩}∅) = 1o
29	26, 28	eqtrdi 2785	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)𝑦 → (∅{⟨∅, ∅, 1o⟩} ((1st ‘𝐹)‘𝐼)) = 1o)
30	13, 29	eleqtrd 2835	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)𝑦 → 𝑦 ∈ 1o)
31		el1o 8515	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 1o ↔ 𝑦 = ∅)
32	30, 31	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)𝑦 → 𝑦 = ∅)
33	10, 32	breqtrd 5149	. . . . 5 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)∅)
34	33, 4	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼 ∈ (InitO‘𝐶))
35	34	exlimiv 1929	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝐼(𝐹(𝐶UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼 ∈ (InitO‘𝐶))
36	9, 35	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶UP 1 )∅) → 𝐼 ∈ (InitO‘𝐶))
37	7, 36	impbii 209	1 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶UP 1 )∅))

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107  ∅c0 4313  {csn 4606  ⟨cotp 4614   class class class wbr 5123  dom cdm 5665  Rel wrel 5670  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  1^st c1st 7994  2^nd c2nd 7995  1_oc1o 8481  Basecbs 17230  InitOcinito 17998  SetCatcsetc 18092  Δ_funccdiag 18228  UPcup 48957  TermCatctermc 49171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-ot 4615  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8727  df-map 8850  df-ixp 8920  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-fz 13530  df-struct 17167  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-hom 17298  df-cco 17299  df-cat 17683  df-cid 17684  df-func 17875  df-nat 17963  df-fuc 17964  df-inito 18001  df-setc 18093  df-xpc 18188  df-1stf 18189  df-curf 18230  df-diag 18232  df-up 48958  df-thinc 49119  df-termc 49172

This theorem is referenced by:  dfinito4  49199