Theorem isinito3 50311

Description: The predicate "is an initial object" of a category, using universal property. (Contributed by Zhi Wang, 23-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinito2.1	⊢ 1 = (SetCat‘1o)
isinito2.f	⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘∅)

Assertion

Ref	Expression
isinito3	⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅))

Proof of Theorem isinito3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relup 49994	. . 3 ⊢ Rel (𝐹(𝐶 UP 1 )∅)
2		isinito2.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (SetCat‘1o)
3		isinito2.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘∅)
4	2, 3	isinito2 50310	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅)
5	4	biimpi 219	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅)
6		releldm 5936	. . 3 ⊢ ((Rel (𝐹(𝐶 UP 1 )∅) ∧ 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅) → 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅))
7	1, 5, 6	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅))
8		releldmb 5938	. . . 4 ⊢ (Rel (𝐹(𝐶 UP 1 )∅) → (𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅) ↔ ∃𝑦 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦))
9	1, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅) ↔ ∃𝑦 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦)
10		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦)
11	10	up1st2nd 49996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼(⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩(𝐶 UP 1 )∅)𝑦)
12	2	setc1ohomfval 50304	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨∅, ∅, 1o⟩} = (Hom ‘ 1 )
13	11, 12	uprcl5 50003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝑦 ∈ (∅{⟨∅, ∅, 1o⟩} ((1st ‘𝐹)‘𝐼)))
14		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( 1 Δfunc𝐶) = ( 1 Δfunc𝐶)
15		setc1oterm 50302	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (SetCat‘1o) ∈ TermCat
16	2, 15	eqeltri 2861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ TermCat
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 1 ∈ TermCat)
18	17	termccd 50290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 1 ∈ Cat)
19	11	uprcl2 50000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 1 )(2nd ‘𝐹))
20	19	funcrcl2 49890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐶 ∈ Cat)
21	2	setc1obas 50303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = (Base‘ 1 )
22	11, 21	uprcl3 50001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → ∅ ∈ 1o)
23		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
24	11, 23	uprcl4 50002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼 ∈ (Base‘𝐶))
25	14, 18, 20, 21, 22, 3, 23, 24	diag11 18317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → ((1st ‘𝐹)‘𝐼) = ∅)
26	25	oveq2d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → (∅{⟨∅, ∅, 1o⟩} ((1st ‘𝐹)‘𝐼)) = (∅{⟨∅, ∅, 1o⟩}∅))
27		1oex 8465	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ V
28	27	ovsn2 49672	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅{⟨∅, ∅, 1o⟩}∅) = 1o
29	26, 28	eqtrdi 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → (∅{⟨∅, ∅, 1o⟩} ((1st ‘𝐹)‘𝐼)) = 1o)
30	13, 29	eleqtrd 2867	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝑦 ∈ 1o)
31		el1o 8482	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 1o ↔ 𝑦 = ∅)
32	30, 31	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝑦 = ∅)
33	10, 32	breqtrd 5139	. . . . 5 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅)
34	33, 4	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼 ∈ (InitO‘𝐶))
35	34	exlimiv 1963	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼 ∈ (InitO‘𝐶))
36	9, 35	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅) → 𝐼 ∈ (InitO‘𝐶))
37	7, 36	impbii 212	1 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146  ∅c0 4286  {csn 4591  ⟨cotp 4599   class class class wbr 5111  dom cdm 5663  Rel wrel 5668  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  1^st c1st 7986  2^nd c2nd 7987  1_oc1o 8448  Basecbs 17287  InitOcinito 18056  SetCatcsetc 18150  Δ_funccdiag 18286   UP cup 49984  TermCatctermc 50283

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-fz 13548  df-struct 17225  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-hom 17352  df-cco 17353  df-cat 17742  df-cid 17743  df-func 17933  df-nat 18021  df-fuc 18022  df-inito 18059  df-setc 18151  df-xpc 18246  df-1stf 18247  df-curf 18288  df-diag 18290  df-up 49985  df-thinc 50229  df-termc 50284

This theorem is used by:  dfinito4  50312  isinito4  50358