Theorem isinito3 49661

Description: The predicate "is an initial object" of a category, using universal property. (Contributed by Zhi Wang, 23-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinito2.1	⊢ 1 = (SetCat‘1o)
isinito2.f	⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘∅)

Assertion

Ref	Expression
isinito3	⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅))

Proof of Theorem isinito3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relup 49344	. . 3 ⊢ Rel (𝐹(𝐶 UP 1 )∅)
2		isinito2.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (SetCat‘1o)
3		isinito2.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘∅)
4	2, 3	isinito2 49660	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅)
5	4	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅)
6		releldm 5890	. . 3 ⊢ ((Rel (𝐹(𝐶 UP 1 )∅) ∧ 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅) → 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅))
7	1, 5, 6	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅))
8		releldmb 5892	. . . 4 ⊢ (Rel (𝐹(𝐶 UP 1 )∅) → (𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅) ↔ ∃𝑦 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦))
9	1, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅) ↔ ∃𝑦 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦)
10		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦)
11	10	up1st2nd 49346	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼(⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩(𝐶 UP 1 )∅)𝑦)
12	2	setc1ohomfval 49654	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨∅, ∅, 1o⟩} = (Hom ‘ 1 )
13	11, 12	uprcl5 49353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝑦 ∈ (∅{⟨∅, ∅, 1o⟩} ((1st ‘𝐹)‘𝐼)))
14		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( 1 Δfunc𝐶) = ( 1 Δfunc𝐶)
15		setc1oterm 49652	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (SetCat‘1o) ∈ TermCat
16	2, 15	eqeltri 2829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ TermCat
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 1 ∈ TermCat)
18	17	termccd 49640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 1 ∈ Cat)
19	11	uprcl2 49350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 1 )(2nd ‘𝐹))
20	19	funcrcl2 49240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐶 ∈ Cat)
21	2	setc1obas 49653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = (Base‘ 1 )
22	11, 21	uprcl3 49351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → ∅ ∈ 1o)
23		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
24	11, 23	uprcl4 49352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼 ∈ (Base‘𝐶))
25	14, 18, 20, 21, 22, 3, 23, 24	diag11 18157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → ((1st ‘𝐹)‘𝐼) = ∅)
26	25	oveq2d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → (∅{⟨∅, ∅, 1o⟩} ((1st ‘𝐹)‘𝐼)) = (∅{⟨∅, ∅, 1o⟩}∅))
27		1oex 8404	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ V
28	27	ovsn2 49022	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅{⟨∅, ∅, 1o⟩}∅) = 1o
29	26, 28	eqtrdi 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → (∅{⟨∅, ∅, 1o⟩} ((1st ‘𝐹)‘𝐼)) = 1o)
30	13, 29	eleqtrd 2835	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝑦 ∈ 1o)
31		el1o 8419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 1o ↔ 𝑦 = ∅)
32	30, 31	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝑦 = ∅)
33	10, 32	breqtrd 5121	. . . . 5 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)∅)
34	33, 4	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼 ∈ (InitO‘𝐶))
35	34	exlimiv 1931	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝐼(𝐹(𝐶 UP 1 )∅)𝑦 → 𝐼 ∈ (InitO‘𝐶))
36	9, 35	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅) → 𝐼 ∈ (InitO‘𝐶))
37	7, 36	impbii 209	1 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )∅))

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  ∅c0 4282  {csn 4577  ⟨cotp 4585   class class class wbr 5095  dom cdm 5621  Rel wrel 5626  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  1^st c1st 7928  2^nd c2nd 7929  1_oc1o 8387  Basecbs 17127  InitOcinito 17896  SetCatcsetc 17990  Δ_funccdiag 18126   UP cup 49334  TermCatctermc 49633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13415  df-struct 17065  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-hom 17192  df-cco 17193  df-cat 17582  df-cid 17583  df-func 17773  df-nat 17861  df-fuc 17862  df-inito 17899  df-setc 17991  df-xpc 18086  df-1stf 18087  df-curf 18128  df-diag 18130  df-up 49335  df-thinc 49579  df-termc 49634

This theorem is referenced by:  dfinito4  49662  isinito4  49708