Theorem cmddu 49630

Description: The duality of limits and colimits: colimits of a diagram are limits of an opposite diagram in opposite categories. (Contributed by Zhi Wang, 20-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmddu.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
lmddu.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
lmddu.g	⊢ 𝐺 = ( oppFunc ‘𝐹)
lmddu.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
lmddu.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cmddu	⊢ (𝜑 → ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) = ((𝑂 Limit 𝑃)‘𝐺))

Proof of Theorem cmddu

Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relup 49145	. . . 4 ⊢ Rel ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)
2		relup 49145	. . . 4 ⊢ Rel (((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))
3		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚) → 𝑥((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚)
4	3	up1st2nd 49147	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚) → 𝑥(⟨(1st ‘(𝐶Δfunc𝐷)), (2nd ‘(𝐶Δfunc𝐷))⟩(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚)
5		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐶) = (𝐷 FuncCat 𝐶)
6	5	fucbas 17901	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 Func 𝐶) = (Base‘(𝐷 FuncCat 𝐶))
7	4, 6	uprcl3 49152	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚) → 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
8		lmddu.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
9		lmddu.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
10		lmddu.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝐷 ∈ 𝑊)
12		lmddu.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝐶 ∈ 𝑉)
14		lmddu.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = ( oppFunc ‘𝐹)
15		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (oppCat‘𝑃) = (oppCat‘𝑃)
16		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
17	8	fvexi 6854	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝑃 ∈ V)
19	9	fvexi 6854	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝑂 ∈ V)
21		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚)
22	21	up1st2nd 49147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝑥(⟨(1st ‘((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))), (2nd ‘((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃)))⟩((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚)
23		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)) = ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂))
24	23	fucbas 17901	. . . . . . . . 9 ⊢ ((oppCat‘𝑃) Func (oppCat‘𝑂)) = (Base‘((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))
25	22, 24	uprcl3 49152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → ( oppFunc ‘𝐺) ∈ ((oppCat‘𝑃) Func (oppCat‘𝑂)))
26	15, 16, 18, 20, 25	funcoppc5 49107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝐺 ∈ (𝑃 Func 𝑂))
27	14, 26	eqeltrrid 2833	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → ( oppFunc ‘𝐹) ∈ (𝑃 Func 𝑂))
28	8, 9, 11, 13, 27	funcoppc5 49107	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
29	9	2oppchomf 17661	. . . . . . . . 9 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
31	9	2oppccomf 17662	. . . . . . . . 9 ⊢ (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
33	8	2oppchomf 17661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Homf ‘𝐷) = (Homf ‘(oppCat‘𝑃))
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (Homf ‘𝐷) = (Homf ‘(oppCat‘𝑃)))
35	8	2oppccomf 17662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (compf‘𝐷) = (compf‘(oppCat‘𝑃))
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (compf‘𝐷) = (compf‘(oppCat‘𝑃)))
37		funcrcl 17801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐶 ∈ Cat))
38	37	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → 𝐷 ∈ Cat)
39	8	oppccat 17659	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ Cat → 𝑃 ∈ Cat)
40	15	oppccat 17659	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Cat → (oppCat‘𝑃) ∈ Cat)
41	38, 39, 40	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (oppCat‘𝑃) ∈ Cat)
42	37	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
43	9	oppccat 17659	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
44	16	oppccat 17659	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑂 ∈ Cat → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
45	42, 43, 44	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
46	34, 36, 30, 32, 38, 41, 42, 45	fucpropd 17918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝐷 FuncCat 𝐶) = ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))
47	46	fveq2d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (Homf ‘(𝐷 FuncCat 𝐶)) = (Homf ‘((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂))))
48	46	fveq2d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (compf‘(𝐷 FuncCat 𝐶)) = (compf‘((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂))))
49	5, 38, 42	fuccat 17911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝐷 FuncCat 𝐶) ∈ Cat)
50	46, 49	eqeltrrd 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)) ∈ Cat)
51	30, 32, 47, 48, 42, 45, 49, 50	uppropd 49143	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶)) = ((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂))))
52	30, 32, 34, 36, 42, 45, 38, 41	diagpropd 49254	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝐶Δfunc𝐷) = ((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃)))
53		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
54	8, 9, 53	oppfoppc2 49104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → ( oppFunc ‘𝐹) ∈ (𝑃 Func 𝑂))
55	14, 54	eqeltrid 2832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → 𝐺 ∈ (𝑃 Func 𝑂))
56		relfunc 17800	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel (𝑃 Func 𝑂)
57	55, 56, 14	2oppf 49094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → ( oppFunc ‘𝐺) = 𝐹)
58	57	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → 𝐹 = ( oppFunc ‘𝐺))
59	51, 52, 58	oveq123d 7390	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹) = (((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺)))
60	59	breqd 5113	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝑥((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚 ↔ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚))
61	7, 28, 60	pm5.21nd 801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚 ↔ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚))
62	1, 2, 61	eqbrrdiv 5748	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹) = (((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺)))
63		cmdfval2 49618	. . 3 ⊢ ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) = ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)
64		cmdfval2 49618	. . 3 ⊢ (((oppCat‘𝑂) Colimit (oppCat‘𝑃))‘( oppFunc ‘𝐺)) = (((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))
65	62, 63, 64	3eqtr4g 2789	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) = (((oppCat‘𝑂) Colimit (oppCat‘𝑃))‘( oppFunc ‘𝐺)))
66		eqid 2729	. . 3 ⊢ ( oppFunc ‘𝐺) = ( oppFunc ‘𝐺)
67	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ V)
68	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ V)
69	16, 15, 66, 67, 68	lmddu 49629	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 Limit 𝑃)‘𝐺) = (((oppCat‘𝑂) Colimit (oppCat‘𝑃))‘( oppFunc ‘𝐺)))
70	65, 69	eqtr4d 2767	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) = ((𝑂 Limit 𝑃)‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  1^st c1st 7945  2^nd c2nd 7946  Catccat 17601  Hom_f chomf 17603  comp_fccomf 17604  oppCatcoppc 17648   Func cfunc 17792   FuncCat cfuc 17883  Δ_funccdiag 18149   oppFunc coppf 49084   UP cup 49135   Limit clmd 49605   Colimit ccmd 49606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-hom 17220  df-cco 17221  df-cat 17605  df-cid 17606  df-homf 17607  df-comf 17608  df-oppc 17649  df-sect 17685  df-inv 17686  df-iso 17687  df-func 17796  df-idfu 17797  df-cofu 17798  df-full 17844  df-fth 17845  df-nat 17884  df-fuc 17885  df-catc 18037  df-xpc 18109  df-1stf 18110  df-curf 18151  df-diag 18153  df-oppf 49085  df-up 49136  df-lmd 49607  df-cmd 49608

This theorem is referenced by:  termolmd  49632