Theorem cmddu 50158

Description: The duality of limits and colimits: colimits of a diagram are limits of an opposite diagram in opposite categories. (Contributed by Zhi Wang, 20-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmddu.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
lmddu.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
lmddu.g	⊢ 𝐺 = ( oppFunc ‘𝐹)
lmddu.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
lmddu.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cmddu	⊢ (𝜑 → ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) = ((𝑂 Limit 𝑃)‘𝐺))

Proof of Theorem cmddu

Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relup 49673	. . . 4 ⊢ Rel ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)
2		relup 49673	. . . 4 ⊢ Rel (((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))
3		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚) → 𝑥((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚)
4	3	up1st2nd 49675	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚) → 𝑥(⟨(1st ‘(𝐶Δfunc𝐷)), (2nd ‘(𝐶Δfunc𝐷))⟩(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚)
5		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐶) = (𝐷 FuncCat 𝐶)
6	5	fucbas 17921	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 Func 𝐶) = (Base‘(𝐷 FuncCat 𝐶))
7	4, 6	uprcl3 49680	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚) → 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
8		lmddu.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
9		lmddu.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
10		lmddu.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
11	10	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝐷 ∈ 𝑊)
12		lmddu.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
13	12	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝐶 ∈ 𝑉)
14		lmddu.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = ( oppFunc ‘𝐹)
15		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (oppCat‘𝑃) = (oppCat‘𝑃)
16		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
17	8	fvexi 6841	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝑃 ∈ V)
19	9	fvexi 6841	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝑂 ∈ V)
21		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚)
22	21	up1st2nd 49675	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝑥(⟨(1st ‘((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))), (2nd ‘((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃)))⟩((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚)
23		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)) = ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂))
24	23	fucbas 17921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((oppCat‘𝑃) Func (oppCat‘𝑂)) = (Base‘((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))
25	22, 24	uprcl3 49680	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → ( oppFunc ‘𝐺) ∈ ((oppCat‘𝑃) Func (oppCat‘𝑂)))
26	15, 16, 18, 20, 25	funcoppc5 49635	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝐺 ∈ (𝑃 Func 𝑂))
27	14, 26	eqeltrrid 2844	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → ( oppFunc ‘𝐹) ∈ (𝑃 Func 𝑂))
28	8, 9, 11, 13, 27	funcoppc5 49635	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
29	9	2oppchomf 17681	. . . . . . . . 9 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
31	9	2oppccomf 17682	. . . . . . . . 9 ⊢ (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
33	8	2oppchomf 17681	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Homf ‘𝐷) = (Homf ‘(oppCat‘𝑃))
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (Homf ‘𝐷) = (Homf ‘(oppCat‘𝑃)))
35	8	2oppccomf 17682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (compf‘𝐷) = (compf‘(oppCat‘𝑃))
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (compf‘𝐷) = (compf‘(oppCat‘𝑃)))
37		funcrcl 17821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐶 ∈ Cat))
38	37	simpld 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → 𝐷 ∈ Cat)
39	8	oppccat 17679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ Cat → 𝑃 ∈ Cat)
40	15	oppccat 17679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Cat → (oppCat‘𝑃) ∈ Cat)
41	38, 39, 40	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (oppCat‘𝑃) ∈ Cat)
42	37	simprd 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
43	9	oppccat 17679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
44	16	oppccat 17679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑂 ∈ Cat → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
45	42, 43, 44	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
46	34, 36, 30, 32, 38, 41, 42, 45	fucpropd 17938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝐷 FuncCat 𝐶) = ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))
47	46	fveq2d 6831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (Homf ‘(𝐷 FuncCat 𝐶)) = (Homf ‘((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂))))
48	46	fveq2d 6831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (compf‘(𝐷 FuncCat 𝐶)) = (compf‘((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂))))
49	5, 38, 42	fuccat 17931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝐷 FuncCat 𝐶) ∈ Cat)
50	46, 49	eqeltrrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)) ∈ Cat)
51	30, 32, 47, 48, 42, 45, 49, 50	uppropd 49671	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶)) = ((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂))))
52	30, 32, 34, 36, 42, 45, 38, 41	diagpropd 49782	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝐶Δfunc𝐷) = ((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃)))
53		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
54	8, 9, 53	oppfoppc2 49632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → ( oppFunc ‘𝐹) ∈ (𝑃 Func 𝑂))
55	14, 54	eqeltrid 2843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → 𝐺 ∈ (𝑃 Func 𝑂))
56		relfunc 17820	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel (𝑃 Func 𝑂)
57	55, 56, 14	2oppf 49622	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → ( oppFunc ‘𝐺) = 𝐹)
58	57	eqcomd 2745	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → 𝐹 = ( oppFunc ‘𝐺))
59	51, 52, 58	oveq123d 7377	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹) = (((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺)))
60	59	breqd 5083	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝑥((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚 ↔ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚))
61	7, 28, 60	pm5.21nd 807	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚 ↔ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚))
62	1, 2, 61	eqbrrdiv 5737	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹) = (((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺)))
63		cmdfval2 50146	. . 3 ⊢ ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) = ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)
64		cmdfval2 50146	. . 3 ⊢ (((oppCat‘𝑂) Colimit (oppCat‘𝑃))‘( oppFunc ‘𝐺)) = (((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))
65	62, 63, 64	3eqtr4g 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) = (((oppCat‘𝑂) Colimit (oppCat‘𝑃))‘( oppFunc ‘𝐺)))
66		eqid 2739	. . 3 ⊢ ( oppFunc ‘𝐺) = ( oppFunc ‘𝐺)
67	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ V)
68	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ V)
69	16, 15, 66, 67, 68	lmddu 50157	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 Limit 𝑃)‘𝐺) = (((oppCat‘𝑂) Colimit (oppCat‘𝑃))‘( oppFunc ‘𝐺)))
70	65, 69	eqtr4d 2777	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) = ((𝑂 Limit 𝑃)‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  1^st c1st 7929  2^nd c2nd 7930  Catccat 17621  Hom_f chomf 17623  comp_fccomf 17624  oppCatcoppc 17668   Func cfunc 17812   FuncCat cfuc 17903  Δ_funccdiag 18169   oppFunc coppf 49612   UP cup 49663   Limit clmd 50133   Colimit ccmd 50134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-hom 17235  df-cco 17236  df-cat 17625  df-cid 17626  df-homf 17627  df-comf 17628  df-oppc 17669  df-sect 17705  df-inv 17706  df-iso 17707  df-func 17816  df-idfu 17817  df-cofu 17818  df-full 17864  df-fth 17865  df-nat 17904  df-fuc 17905  df-catc 18057  df-xpc 18129  df-1stf 18130  df-curf 18171  df-diag 18173  df-oppf 49613  df-up 49664  df-lmd 50135  df-cmd 50136

This theorem is referenced by:  termolmd  50160