Theorem cmddu 49700

Description: The duality of limits and colimits: colimits of a diagram are limits of an opposite diagram in opposite categories. (Contributed by Zhi Wang, 20-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmddu.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
lmddu.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
lmddu.g	⊢ 𝐺 = ( oppFunc ‘𝐹)
lmddu.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
lmddu.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cmddu	⊢ (𝜑 → ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) = ((𝑂 Limit 𝑃)‘𝐺))

Proof of Theorem cmddu

Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relup 49215	. . . 4 ⊢ Rel ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)
2		relup 49215	. . . 4 ⊢ Rel (((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))
3		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚) → 𝑥((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚)
4	3	up1st2nd 49217	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚) → 𝑥(⟨(1st ‘(𝐶Δfunc𝐷)), (2nd ‘(𝐶Δfunc𝐷))⟩(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚)
5		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐶) = (𝐷 FuncCat 𝐶)
6	5	fucbas 17865	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 Func 𝐶) = (Base‘(𝐷 FuncCat 𝐶))
7	4, 6	uprcl3 49222	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚) → 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
8		lmddu.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
9		lmddu.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
10		lmddu.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝐷 ∈ 𝑊)
12		lmddu.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝐶 ∈ 𝑉)
14		lmddu.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = ( oppFunc ‘𝐹)
15		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (oppCat‘𝑃) = (oppCat‘𝑃)
16		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
17	8	fvexi 6831	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝑃 ∈ V)
19	9	fvexi 6831	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝑂 ∈ V)
21		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚)
22	21	up1st2nd 49217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝑥(⟨(1st ‘((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))), (2nd ‘((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃)))⟩((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚)
23		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)) = ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂))
24	23	fucbas 17865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((oppCat‘𝑃) Func (oppCat‘𝑂)) = (Base‘((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))
25	22, 24	uprcl3 49222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → ( oppFunc ‘𝐺) ∈ ((oppCat‘𝑃) Func (oppCat‘𝑂)))
26	15, 16, 18, 20, 25	funcoppc5 49177	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝐺 ∈ (𝑃 Func 𝑂))
27	14, 26	eqeltrrid 2836	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → ( oppFunc ‘𝐹) ∈ (𝑃 Func 𝑂))
28	8, 9, 11, 13, 27	funcoppc5 49177	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
29	9	2oppchomf 17625	. . . . . . . . 9 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
31	9	2oppccomf 17626	. . . . . . . . 9 ⊢ (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
33	8	2oppchomf 17625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Homf ‘𝐷) = (Homf ‘(oppCat‘𝑃))
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (Homf ‘𝐷) = (Homf ‘(oppCat‘𝑃)))
35	8	2oppccomf 17626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (compf‘𝐷) = (compf‘(oppCat‘𝑃))
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (compf‘𝐷) = (compf‘(oppCat‘𝑃)))
37		funcrcl 17765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐶 ∈ Cat))
38	37	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → 𝐷 ∈ Cat)
39	8	oppccat 17623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ Cat → 𝑃 ∈ Cat)
40	15	oppccat 17623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Cat → (oppCat‘𝑃) ∈ Cat)
41	38, 39, 40	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (oppCat‘𝑃) ∈ Cat)
42	37	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
43	9	oppccat 17623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
44	16	oppccat 17623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑂 ∈ Cat → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
45	42, 43, 44	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
46	34, 36, 30, 32, 38, 41, 42, 45	fucpropd 17882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝐷 FuncCat 𝐶) = ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))
47	46	fveq2d 6821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (Homf ‘(𝐷 FuncCat 𝐶)) = (Homf ‘((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂))))
48	46	fveq2d 6821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (compf‘(𝐷 FuncCat 𝐶)) = (compf‘((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂))))
49	5, 38, 42	fuccat 17875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝐷 FuncCat 𝐶) ∈ Cat)
50	46, 49	eqeltrrd 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)) ∈ Cat)
51	30, 32, 47, 48, 42, 45, 49, 50	uppropd 49213	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶)) = ((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂))))
52	30, 32, 34, 36, 42, 45, 38, 41	diagpropd 49324	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝐶Δfunc𝐷) = ((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃)))
53		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
54	8, 9, 53	oppfoppc2 49174	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → ( oppFunc ‘𝐹) ∈ (𝑃 Func 𝑂))
55	14, 54	eqeltrid 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → 𝐺 ∈ (𝑃 Func 𝑂))
56		relfunc 17764	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel (𝑃 Func 𝑂)
57	55, 56, 14	2oppf 49164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → ( oppFunc ‘𝐺) = 𝐹)
58	57	eqcomd 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → 𝐹 = ( oppFunc ‘𝐺))
59	51, 52, 58	oveq123d 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹) = (((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺)))
60	59	breqd 5097	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝑥((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚 ↔ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚))
61	7, 28, 60	pm5.21nd 801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚 ↔ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚))
62	1, 2, 61	eqbrrdiv 5729	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹) = (((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺)))
63		cmdfval2 49688	. . 3 ⊢ ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) = ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)
64		cmdfval2 49688	. . 3 ⊢ (((oppCat‘𝑂) Colimit (oppCat‘𝑃))‘( oppFunc ‘𝐺)) = (((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))
65	62, 63, 64	3eqtr4g 2791	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) = (((oppCat‘𝑂) Colimit (oppCat‘𝑃))‘( oppFunc ‘𝐺)))
66		eqid 2731	. . 3 ⊢ ( oppFunc ‘𝐺) = ( oppFunc ‘𝐺)
67	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ V)
68	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ V)
69	16, 15, 66, 67, 68	lmddu 49699	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 Limit 𝑃)‘𝐺) = (((oppCat‘𝑂) Colimit (oppCat‘𝑃))‘( oppFunc ‘𝐺)))
70	65, 69	eqtr4d 2769	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) = ((𝑂 Limit 𝑃)‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  1^st c1st 7914  2^nd c2nd 7915  Catccat 17565  Hom_f chomf 17567  comp_fccomf 17568  oppCatcoppc 17612   Func cfunc 17756   FuncCat cfuc 17847  Δ_funccdiag 18113   oppFunc coppf 49154   UP cup 49205   Limit clmd 49675   Colimit ccmd 49676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-hom 17180  df-cco 17181  df-cat 17569  df-cid 17570  df-homf 17571  df-comf 17572  df-oppc 17613  df-sect 17649  df-inv 17650  df-iso 17651  df-func 17760  df-idfu 17761  df-cofu 17762  df-full 17808  df-fth 17809  df-nat 17848  df-fuc 17849  df-catc 18001  df-xpc 18073  df-1stf 18074  df-curf 18115  df-diag 18117  df-oppf 49155  df-up 49206  df-lmd 49677  df-cmd 49678

This theorem is referenced by:  termolmd  49702