Theorem cmddu 50958

Description: The duality of limits and colimits: colimits of a diagram are limits of an opposite diagram in opposite categories. (Contributed by Zhi Wang, 20-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmddu.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
lmddu.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
lmddu.g	⊢ 𝐺 = ( oppFunc ‘𝐹)
lmddu.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
lmddu.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cmddu	⊢ (𝜑 → ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) = ((𝑂 Limit 𝑃)‘𝐺))

Proof of Theorem cmddu

Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relup 50406	. . . 4 ⊢ Rel ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)
2		relup 50406	. . . 4 ⊢ Rel (((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))
3		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚) → 𝑥((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚)
4	3	up1st2nd 50408	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚) → 𝑥(⟨(1st ‘(𝐶Δfunc𝐷)), (2nd ‘(𝐶Δfunc𝐷))⟩(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚)
5		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐶) = (𝐷 FuncCat 𝐶)
6	5	fucbas 18145	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 Func 𝐶) = (Base‘(𝐷 FuncCat 𝐶))
7	4, 6	uprcl3 50413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚) → 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
8		lmddu.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
9		lmddu.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
10		lmddu.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝐷 ∈ 𝑊)
12		lmddu.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
13	12	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝐶 ∈ 𝑉)
14		lmddu.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = ( oppFunc ‘𝐹)
15		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (oppCat‘𝑃) = (oppCat‘𝑃)
16		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
17	8	fvexi 6902	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝑃 ∈ V)
19	9	fvexi 6902	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝑂 ∈ V)
21		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚)
22	21	up1st2nd 50408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝑥(⟨(1st ‘((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))), (2nd ‘((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃)))⟩((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚)
23		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)) = ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂))
24	23	fucbas 18145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((oppCat‘𝑃) Func (oppCat‘𝑂)) = (Base‘((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))
25	22, 24	uprcl3 50413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → ( oppFunc ‘𝐺) ∈ ((oppCat‘𝑃) Func (oppCat‘𝑂)))
26	15, 16, 18, 20, 25	funcoppc5 50368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝐺 ∈ (𝑃 Func 𝑂))
27	14, 26	eqeltrrid 2865	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → ( oppFunc ‘𝐹) ∈ (𝑃 Func 𝑂))
28	8, 9, 11, 13, 27	funcoppc5 50368	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
29	9	2oppchomf 17905	. . . . . . . . 9 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
31	9	2oppccomf 17906	. . . . . . . . 9 ⊢ (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
33	8	2oppchomf 17905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Homf ‘𝐷) = (Homf ‘(oppCat‘𝑃))
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (Homf ‘𝐷) = (Homf ‘(oppCat‘𝑃)))
35	8	2oppccomf 17906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (compf‘𝐷) = (compf‘(oppCat‘𝑃))
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (compf‘𝐷) = (compf‘(oppCat‘𝑃)))
37		funcrcl 18045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐶 ∈ Cat))
38	37	simpld 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → 𝐷 ∈ Cat)
39	8	oppccat 17903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ Cat → 𝑃 ∈ Cat)
40	15	oppccat 17903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Cat → (oppCat‘𝑃) ∈ Cat)
41	38, 39, 40	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (oppCat‘𝑃) ∈ Cat)
42	37	simprd 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
43	9	oppccat 17903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
44	16	oppccat 17903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑂 ∈ Cat → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
45	42, 43, 44	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
46	34, 36, 30, 32, 38, 41, 42, 45	fucpropd 18162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝐷 FuncCat 𝐶) = ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))
47	46	fveq2d 6892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (Homf ‘(𝐷 FuncCat 𝐶)) = (Homf ‘((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂))))
48	46	fveq2d 6892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (compf‘(𝐷 FuncCat 𝐶)) = (compf‘((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂))))
49	5, 38, 42	fuccat 18155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝐷 FuncCat 𝐶) ∈ Cat)
50	46, 49	eqeltrrd 2861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)) ∈ Cat)
51	30, 32, 47, 48, 42, 45, 49, 50	uppropd 50404	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶)) = ((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂))))
52	30, 32, 34, 36, 42, 45, 38, 41	diagpropd 50521	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝐶Δfunc𝐷) = ((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃)))
53		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
54	8, 9, 53	oppfoppc2 50365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → ( oppFunc ‘𝐹) ∈ (𝑃 Func 𝑂))
55	14, 54	eqeltrid 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → 𝐺 ∈ (𝑃 Func 𝑂))
56		relfunc 18044	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel (𝑃 Func 𝑂)
57	55, 56, 14	2oppf 50355	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → ( oppFunc ‘𝐺) = 𝐹)
58	57	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → 𝐹 = ( oppFunc ‘𝐺))
59	51, 52, 58	oveq123d 7443	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹) = (((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺)))
60	59	breqd 5113	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝑥((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚 ↔ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚))
61	7, 28, 60	pm5.21nd 814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚 ↔ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚))
62	1, 2, 61	eqbrrdiv 5770	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹) = (((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺)))
63		cmdfval2 50946	. . 3 ⊢ ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) = ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)
64		cmdfval2 50946	. . 3 ⊢ (((oppCat‘𝑂) Colimit (oppCat‘𝑃))‘( oppFunc ‘𝐺)) = (((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))
65	62, 63, 64	3eqtr4g 2820	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) = (((oppCat‘𝑂) Colimit (oppCat‘𝑃))‘( oppFunc ‘𝐺)))
66		eqid 2760	. . 3 ⊢ ( oppFunc ‘𝐺) = ( oppFunc ‘𝐺)
67	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ V)
68	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ V)
69	16, 15, 66, 67, 68	lmddu 50957	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 Limit 𝑃)‘𝐺) = (((oppCat‘𝑂) Colimit (oppCat‘𝑃))‘( oppFunc ‘𝐺)))
70	65, 69	eqtr4d 2798	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) = ((𝑂 Limit 𝑃)‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   class class class wbr 5102  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  1^st c1st 8001  2^nd c2nd 8002  Catccat 17845  Hom_f chomf 17847  comp_fccomf 17848  oppCatcoppc 17892   Func cfunc 18036   FuncCat cfuc 18127  Δ_funccdiag 18393   oppFunc coppf 50345   UP cup 50396   Limit clmd 50933   Colimit ccmd 50934

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8248  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-er 8722  df-map 8854  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-fz 13645  df-struct 17332  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-hom 17459  df-cco 17460  df-cat 17849  df-cid 17850  df-homf 17851  df-comf 17852  df-oppc 17893  df-sect 17929  df-inv 17930  df-iso 17931  df-func 18040  df-idfu 18041  df-cofu 18042  df-full 18088  df-fth 18089  df-nat 18128  df-fuc 18129  df-catc 18281  df-xpc 18353  df-1stf 18354  df-curf 18395  df-diag 18397  df-oppf 50346  df-up 50397  df-lmd 50935  df-cmd 50936

This theorem is used by:  termolmd  50960