Theorem cmddu 50446

Description: The duality of limits and colimits: colimits of a diagram are limits of an opposite diagram in opposite categories. (Contributed by Zhi Wang, 20-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmddu.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
lmddu.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
lmddu.g	⊢ 𝐺 = ( oppFunc ‘𝐹)
lmddu.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
lmddu.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cmddu	⊢ (𝜑 → ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) = ((𝑂 Limit 𝑃)‘𝐺))

Proof of Theorem cmddu

Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relup 49961	. . . 4 ⊢ Rel ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)
2		relup 49961	. . . 4 ⊢ Rel (((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))
3		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚) → 𝑥((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚)
4	3	up1st2nd 49963	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚) → 𝑥(⟨(1st ‘(𝐶Δfunc𝐷)), (2nd ‘(𝐶Δfunc𝐷))⟩(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚)
5		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐶) = (𝐷 FuncCat 𝐶)
6	5	fucbas 18015	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 Func 𝐶) = (Base‘(𝐷 FuncCat 𝐶))
7	4, 6	uprcl3 49968	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚) → 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
8		lmddu.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
9		lmddu.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
10		lmddu.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
11	10	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝐷 ∈ 𝑊)
12		lmddu.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
13	12	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝐶 ∈ 𝑉)
14		lmddu.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = ( oppFunc ‘𝐹)
15		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (oppCat‘𝑃) = (oppCat‘𝑃)
16		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
17	8	fvexi 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝑃 ∈ V)
19	9	fvexi 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝑂 ∈ V)
21		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚)
22	21	up1st2nd 49963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝑥(⟨(1st ‘((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))), (2nd ‘((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃)))⟩((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚)
23		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)) = ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂))
24	23	fucbas 18015	. . . . . . . . 9 ⊢ ((oppCat‘𝑃) Func (oppCat‘𝑂)) = (Base‘((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))
25	22, 24	uprcl3 49968	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → ( oppFunc ‘𝐺) ∈ ((oppCat‘𝑃) Func (oppCat‘𝑂)))
26	15, 16, 18, 20, 25	funcoppc5 49923	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝐺 ∈ (𝑃 Func 𝑂))
27	14, 26	eqeltrrid 2868	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → ( oppFunc ‘𝐹) ∈ (𝑃 Func 𝑂))
28	8, 9, 11, 13, 27	funcoppc5 49923	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚) → 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
29	9	2oppchomf 17775	. . . . . . . . 9 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
31	9	2oppccomf 17776	. . . . . . . . 9 ⊢ (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
33	8	2oppchomf 17775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Homf ‘𝐷) = (Homf ‘(oppCat‘𝑃))
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (Homf ‘𝐷) = (Homf ‘(oppCat‘𝑃)))
35	8	2oppccomf 17776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (compf‘𝐷) = (compf‘(oppCat‘𝑃))
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (compf‘𝐷) = (compf‘(oppCat‘𝑃)))
37		funcrcl 17915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐶 ∈ Cat))
38	37	simpld 499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → 𝐷 ∈ Cat)
39	8	oppccat 17773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ Cat → 𝑃 ∈ Cat)
40	15	oppccat 17773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Cat → (oppCat‘𝑃) ∈ Cat)
41	38, 39, 40	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (oppCat‘𝑃) ∈ Cat)
42	37	simprd 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
43	9	oppccat 17773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
44	16	oppccat 17773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑂 ∈ Cat → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
45	42, 43, 44	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
46	34, 36, 30, 32, 38, 41, 42, 45	fucpropd 18032	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝐷 FuncCat 𝐶) = ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))
47	46	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (Homf ‘(𝐷 FuncCat 𝐶)) = (Homf ‘((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂))))
48	46	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (compf‘(𝐷 FuncCat 𝐶)) = (compf‘((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂))))
49	5, 38, 42	fuccat 18025	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝐷 FuncCat 𝐶) ∈ Cat)
50	46, 49	eqeltrrd 2864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)) ∈ Cat)
51	30, 32, 47, 48, 42, 45, 49, 50	uppropd 49959	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶)) = ((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂))))
52	30, 32, 34, 36, 42, 45, 38, 41	diagpropd 50070	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝐶Δfunc𝐷) = ((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃)))
53		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
54	8, 9, 53	oppfoppc2 49920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → ( oppFunc ‘𝐹) ∈ (𝑃 Func 𝑂))
55	14, 54	eqeltrid 2867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → 𝐺 ∈ (𝑃 Func 𝑂))
56		relfunc 17914	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel (𝑃 Func 𝑂)
57	55, 56, 14	2oppf 49910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → ( oppFunc ‘𝐺) = 𝐹)
58	57	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → 𝐹 = ( oppFunc ‘𝐺))
59	51, 52, 58	oveq123d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹) = (((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺)))
60	59	breqd 5120	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝑥((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚 ↔ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚))
61	7, 28, 60	pm5.21nd 813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)𝑚 ↔ 𝑥(((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))𝑚))
62	1, 2, 61	eqbrrdiv 5780	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹) = (((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺)))
63		cmdfval2 50434	. . 3 ⊢ ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) = ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)
64		cmdfval2 50434	. . 3 ⊢ (((oppCat‘𝑂) Colimit (oppCat‘𝑃))‘( oppFunc ‘𝐺)) = (((oppCat‘𝑂)Δfunc(oppCat‘𝑃))((oppCat‘𝑂) UP ((oppCat‘𝑃) FuncCat (oppCat‘𝑂)))( oppFunc ‘𝐺))
65	62, 63, 64	3eqtr4g 2823	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) = (((oppCat‘𝑂) Colimit (oppCat‘𝑃))‘( oppFunc ‘𝐺)))
66		eqid 2763	. . 3 ⊢ ( oppFunc ‘𝐺) = ( oppFunc ‘𝐺)
67	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ V)
68	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ V)
69	16, 15, 66, 67, 68	lmddu 50445	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 Limit 𝑃)‘𝐺) = (((oppCat‘𝑂) Colimit (oppCat‘𝑃))‘( oppFunc ‘𝐺)))
70	65, 69	eqtr4d 2801	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) = ((𝑂 Limit 𝑃)‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1^st c1st 7980  2^nd c2nd 7981  Catccat 17715  Hom_f chomf 17717  comp_fccomf 17718  oppCatcoppc 17762   Func cfunc 17906   FuncCat cfuc 17997  Δ_funccdiag 18263   oppFunc coppf 49900   UP cup 49951   Limit clmd 50421   Colimit ccmd 50422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-hom 17329  df-cco 17330  df-cat 17719  df-cid 17720  df-homf 17721  df-comf 17722  df-oppc 17763  df-sect 17799  df-inv 17800  df-iso 17801  df-func 17910  df-idfu 17911  df-cofu 17912  df-full 17958  df-fth 17959  df-nat 17998  df-fuc 17999  df-catc 18151  df-xpc 18223  df-1stf 18224  df-curf 18265  df-diag 18267  df-oppf 49901  df-up 49952  df-lmd 50423  df-cmd 50424

This theorem is referenced by:  termolmd  50448