Theorem xaddmnf2 13283

Description: Addition of negative infinity on the left. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddmnf2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐴) = -∞)

Proof of Theorem xaddmnf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 11293	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2		xaddval 13277	. . 3 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞ +𝑒 𝐴) = if(-∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))))
3	1, 2	mpan 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ +𝑒 𝐴) = if(-∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))))
4		mnfnepnf 11292	. . . . 5 ⊢ -∞ ≠ +∞
5		ifnefalse 4497	. . . . 5 ⊢ (-∞ ≠ +∞ → if(-∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))) = if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴)))))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ if(-∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))) = if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))
7		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ -∞ = -∞
8	7	iftruei 4492	. . . 4 ⊢ if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴)))) = if(𝐴 = +∞, 0, -∞)
9	6, 8	eqtri 2785	. . 3 ⊢ if(-∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))) = if(𝐴 = +∞, 0, -∞)
10		ifnefalse 4497	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ +∞ → if(𝐴 = +∞, 0, -∞) = -∞)
11	9, 10	eqtrid 2809	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ +∞ → if(-∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))) = -∞)
12	3, 11	sylan9eq 2817	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐴) = -∞)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ifcif 4485  (class class class)co 7416  0cc0 11127   + caddc 11130  +∞cpnf 11267  -∞cmnf 11268  ℝ^*cxr 11269   +_𝑒 cxad 13163

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-mulcl 11189  ax-i2m1 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-xadd 13166

This theorem is used by:  xaddnepnf  13291  xaddcom  13294  xaddrid  13295  xnegdi  13302  xpncan  13305  xleadd1a  13307  xlt2add  13314  xadddilem  13348  xadddi2  13351  xrsnsgrp  21622  xaddeq0  33211  supxrgelem  46154  supxrge  46155  xrlexaddrp  46169  infleinflem2  46187