Theorem xaddmnf2 13314

Description: Addition of negative infinity on the left. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddmnf2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐴) = -∞)

Proof of Theorem xaddmnf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 11323	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2		xaddval 13308	. . 3 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞ +𝑒 𝐴) = if(-∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))))
3	1, 2	mpan 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ +𝑒 𝐴) = if(-∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))))
4		mnfnepnf 11322	. . . . 5 ⊢ -∞ ≠ +∞
5		ifnefalse 4494	. . . . 5 ⊢ (-∞ ≠ +∞ → if(-∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))) = if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴)))))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ if(-∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))) = if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))
7		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ -∞ = -∞
8	7	iftruei 4489	. . . 4 ⊢ if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴)))) = if(𝐴 = +∞, 0, -∞)
9	6, 8	eqtri 2783	. . 3 ⊢ if(-∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))) = if(𝐴 = +∞, 0, -∞)
10		ifnefalse 4494	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ +∞ → if(𝐴 = +∞, 0, -∞) = -∞)
11	9, 10	eqtrid 2807	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ +∞ → if(-∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(-∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (-∞ + 𝐴))))) = -∞)
12	3, 11	sylan9eq 2815	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐴) = -∞)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ifcif 4482  (class class class)co 7409  0cc0 11157   + caddc 11160  +∞cpnf 11297  -∞cmnf 11298  ℝ^*cxr 11299   +_𝑒 cxad 13194

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-mulcl 11219  ax-i2m1 11225

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fv 6536  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-xadd 13197

This theorem is used by:  xaddnepnf  13322  xaddcom  13325  xaddrid  13326  xnegdi  13333  xpncan  13336  xleadd1a  13338  xlt2add  13345  xadddilem  13379  xadddi2  13382  xrsnsgrp  21661  xaddeq0  33264  supxrgelem  46265  supxrge  46266  xrlexaddrp  46280  infleinflem2  46298