Theorem pwdjundom 10700

Description: The powerset of a Dedekind-infinite set does not inject into its cardinal sum with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwdjundom	⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))

Proof of Theorem pwdjundom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwxpndom2 10698	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
2		df1o2 8502	. . . . . . . 8 ⊢ 1o = {∅}
3	2	xpeq1i 5708	. . . . . . 7 ⊢ (1o × 𝐴) = ({∅} × 𝐴)
4		0ex 5311	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
5		reldom 8978	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≼
6	5	brrelex2i 5739	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
7		xpsnen2g 9098	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
8	4, 6, 7	sylancr 585	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
9	3, 8	eqbrtrid 5187	. . . . . 6 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (1o × 𝐴) ≈ 𝐴)
10	9	ensymd 9034	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≈ (1o × 𝐴))
11		omex 9676	. . . . . . . 8 ⊢ ω ∈ V
12		ordom 7888	. . . . . . . . 9 ⊢ Ord ω
13		1onn 8669	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ ω
14		ordelss 6390	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord ω ∧ 1o ∈ ω) → 1o ⊆ ω)
15	12, 13, 14	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ⊆ ω
16		ssdomg 9029	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ∈ V → (1o ⊆ ω → 1o ≼ ω))
17	11, 15, 16	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ 1o ≼ ω
18		domtr 9036	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ≼ ω ∧ ω ≼ 𝐴) → 1o ≼ 𝐴)
19	17, 18	mpan 688	. . . . . 6 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 1o ≼ 𝐴)
20		xpdom1g 9102	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 1o ≼ 𝐴) → (1o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
21	6, 19, 20	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (1o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
22		endomtr 9041	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ (1o × 𝐴) ∧ (1o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
23	10, 21, 22	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
24		djudom2 10216	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
25	23, 6, 24	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
26		domtr 9036	. . . 4 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
27	26	expcom 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)) → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))))
28	25, 27	syl 17	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))))
29	1, 28	mtod 197	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   ⊆ wss 3949  ∅c0 4326  𝒫 cpw 4606  {csn 4632   class class class wbr 5152   × cxp 5680  Ord word 6373  ωcom 7878  1_oc1o 8488   ≈ cen 8969   ≼ cdom 8970   ⊔ cdju 9931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-seqom 8477  df-1o 8495  df-2o 8496  df-oadd 8499  df-omul 8500  df-oexp 8501  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-oi 9543  df-har 9590  df-cnf 9695  df-dju 9934  df-card 9972

This theorem is referenced by:  gchdjuidm  10701