Theorem pwdjundom 10264

Description: The powerset of a Dedekind-infinite set does not inject into its cardinal sum with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwdjundom	⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))

Proof of Theorem pwdjundom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwxpndom2 10262	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
2		df1o2 8203	. . . . . . . 8 ⊢ 1o = {∅}
3	2	xpeq1i 5566	. . . . . . 7 ⊢ (1o × 𝐴) = ({∅} × 𝐴)
4		0ex 5189	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
5		reldom 8621	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≼
6	5	brrelex2i 5595	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
7		xpsnen2g 8727	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
8	4, 6, 7	sylancr 590	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
9	3, 8	eqbrtrid 5078	. . . . . 6 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (1o × 𝐴) ≈ 𝐴)
10	9	ensymd 8668	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≈ (1o × 𝐴))
11		omex 9247	. . . . . . . 8 ⊢ ω ∈ V
12		ordom 7643	. . . . . . . . 9 ⊢ Ord ω
13		1onn 8356	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ ω
14		ordelss 6218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord ω ∧ 1o ∈ ω) → 1o ⊆ ω)
15	12, 13, 14	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ⊆ ω
16		ssdomg 8663	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ∈ V → (1o ⊆ ω → 1o ≼ ω))
17	11, 15, 16	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ 1o ≼ ω
18		domtr 8670	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ≼ ω ∧ ω ≼ 𝐴) → 1o ≼ 𝐴)
19	17, 18	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 1o ≼ 𝐴)
20		xpdom1g 8731	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 1o ≼ 𝐴) → (1o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
21	6, 19, 20	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (1o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
22		endomtr 8675	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ (1o × 𝐴) ∧ (1o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
23	10, 21, 22	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
24		djudom2 9780	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
25	23, 6, 24	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
26		domtr 8670	. . . 4 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
27	26	expcom 417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)) → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))))
28	25, 27	syl 17	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))))
29	1, 28	mtod 201	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2110  Vcvv 3401   ⊆ wss 3857  ∅c0 4227  𝒫 cpw 4503  {csn 4531   class class class wbr 5043   × cxp 5538  Ord word 6201  ωcom 7633  1_oc1o 8184   ≈ cen 8612   ≼ cdom 8613   ⊔ cdju 9497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-inf2 9245

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-int 4850  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-se 5499  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-isom 6378  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-supp 7893  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-seqom 8173  df-1o 8191  df-2o 8192  df-oadd 8195  df-omul 8196  df-oexp 8197  df-er 8380  df-map 8499  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-fin 8619  df-fsupp 8975  df-oi 9115  df-har 9162  df-cnf 9266  df-dju 9500  df-card 9538

This theorem is referenced by:  gchdjuidm  10265