MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwdjundom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwdjundom 10690
Description: The powerset of a Dedekind-infinite set does not inject into its cardinal sum with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwdjundom (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴𝐴))

Proof of Theorem pwdjundom
StepHypRef Expression
1 pwxpndom2 10688 . 2 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
2 df1o2 8493 . . . . . . . 8 1o = {∅}
32xpeq1i 5704 . . . . . . 7 (1o × 𝐴) = ({∅} × 𝐴)
4 0ex 5307 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
5 reldom 8969 . . . . . . . . 9 Rel ≼
65brrelex2i 5735 . . . . . . . 8 (ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ V)
7 xpsnen2g 9089 . . . . . . . 8 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
84, 6, 7sylancr 586 . . . . . . 7 (ω ≼ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
93, 8eqbrtrid 5183 . . . . . 6 (ω ≼ 𝐴 → (1o × 𝐴) ≈ 𝐴)
109ensymd 9025 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴𝐴 ≈ (1o × 𝐴))
11 omex 9666 . . . . . . . 8 ω ∈ V
12 ordom 7880 . . . . . . . . 9 Ord ω
13 1onn 8660 . . . . . . . . 9 1o ∈ ω
14 ordelss 6385 . . . . . . . . 9 ((Ord ω ∧ 1o ∈ ω) → 1o ⊆ ω)
1512, 13, 14mp2an 691 . . . . . . . 8 1o ⊆ ω
16 ssdomg 9020 . . . . . . . 8 (ω ∈ V → (1o ⊆ ω → 1o ≼ ω))
1711, 15, 16mp2 9 . . . . . . 7 1o ≼ ω
18 domtr 9027 . . . . . . 7 ((1o ≼ ω ∧ ω ≼ 𝐴) → 1o𝐴)
1917, 18mpan 689 . . . . . 6 (ω ≼ 𝐴 → 1o𝐴)
20 xpdom1g 9093 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 1o𝐴) → (1o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
216, 19, 20syl2anc 583 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴 → (1o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
22 endomtr 9032 . . . . 5 ((𝐴 ≈ (1o × 𝐴) ∧ (1o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
2310, 21, 22syl2anc 583 . . . 4 (ω ≼ 𝐴𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
24 djudom2 10206 . . . 4 ((𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
2523, 6, 24syl2anc 583 . . 3 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
26 domtr 9027 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ≼ (𝐴𝐴) ∧ (𝐴𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
2726expcom 413 . . 3 ((𝐴𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)) → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))))
2825, 27syl 17 . 2 (ω ≼ 𝐴 → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))))
291, 28mtod 197 1 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 2099  Vcvv 3471  wss 3947  c0 4323  𝒫 cpw 4603  {csn 4629   class class class wbr 5148   × cxp 5676  Ord word 6368  ωcom 7870  1oc1o 8479  cen 8960  cdom 8961  cdju 9921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-seqom 8468  df-1o 8486  df-2o 8487  df-oadd 8490  df-omul 8491  df-oexp 8492  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-oi 9533  df-har 9580  df-cnf 9685  df-dju 9924  df-card 9962
This theorem is referenced by:  gchdjuidm  10691
  Copyright terms: Public domain W3C validator