MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwdjundom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwdjundom 9935
Description: The powerset of a Dedekind-infinite set does not inject into its cardinal sum with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwdjundom (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴𝐴))

Proof of Theorem pwdjundom
StepHypRef Expression
1 pwxpndom2 9933 . 2 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
2 df1o2 7967 . . . . . . . 8 1o = {∅}
32xpeq1i 5469 . . . . . . 7 (1o × 𝐴) = ({∅} × 𝐴)
4 0ex 5102 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
5 reldom 8363 . . . . . . . . 9 Rel ≼
65brrelex2i 5495 . . . . . . . 8 (ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ V)
7 xpsnen2g 8457 . . . . . . . 8 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
84, 6, 7sylancr 587 . . . . . . 7 (ω ≼ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
93, 8eqbrtrid 4997 . . . . . 6 (ω ≼ 𝐴 → (1o × 𝐴) ≈ 𝐴)
109ensymd 8408 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴𝐴 ≈ (1o × 𝐴))
11 omex 8952 . . . . . . . 8 ω ∈ V
12 ordom 7445 . . . . . . . . 9 Ord ω
13 1onn 8115 . . . . . . . . 9 1o ∈ ω
14 ordelss 6082 . . . . . . . . 9 ((Ord ω ∧ 1o ∈ ω) → 1o ⊆ ω)
1512, 13, 14mp2an 688 . . . . . . . 8 1o ⊆ ω
16 ssdomg 8403 . . . . . . . 8 (ω ∈ V → (1o ⊆ ω → 1o ≼ ω))
1711, 15, 16mp2 9 . . . . . . 7 1o ≼ ω
18 domtr 8410 . . . . . . 7 ((1o ≼ ω ∧ ω ≼ 𝐴) → 1o𝐴)
1917, 18mpan 686 . . . . . 6 (ω ≼ 𝐴 → 1o𝐴)
20 xpdom1g 8461 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 1o𝐴) → (1o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
216, 19, 20syl2anc 584 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴 → (1o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
22 endomtr 8415 . . . . 5 ((𝐴 ≈ (1o × 𝐴) ∧ (1o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
2310, 21, 22syl2anc 584 . . . 4 (ω ≼ 𝐴𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
24 djudom2 9455 . . . 4 ((𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
2523, 6, 24syl2anc 584 . . 3 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
26 domtr 8410 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ≼ (𝐴𝐴) ∧ (𝐴𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
2726expcom 414 . . 3 ((𝐴𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)) → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))))
2825, 27syl 17 . 2 (ω ≼ 𝐴 → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))))
291, 28mtod 199 1 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 2081  Vcvv 3437  wss 3859  c0 4211  𝒫 cpw 4453  {csn 4472   class class class wbr 4962   × cxp 5441  Ord word 6065  ωcom 7436  1oc1o 7946  cen 8354  cdom 8355  cdju 9173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-seqom 7935  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-omul 7958  df-oexp 7959  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-oi 8820  df-har 8868  df-cnf 8971  df-dju 9176  df-card 9214
This theorem is referenced by:  gchdjuidm  9936
  Copyright terms: Public domain W3C validator