Theorem pwdjundom 10620

Description: The powerset of a Dedekind-infinite set does not inject into its cardinal sum with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwdjundom	⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))

Proof of Theorem pwdjundom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwxpndom2 10618	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
2		df1o2 8441	. . . . . . . 8 ⊢ 1o = {∅}
3	2	xpeq1i 5664	. . . . . . 7 ⊢ (1o × 𝐴) = ({∅} × 𝐴)
4		0ex 5262	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
5		reldom 8924	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≼
6	5	brrelex2i 5695	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
7		xpsnen2g 9034	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
8	4, 6, 7	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
9	3, 8	eqbrtrid 5142	. . . . . 6 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (1o × 𝐴) ≈ 𝐴)
10	9	ensymd 8976	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≈ (1o × 𝐴))
11		omex 9596	. . . . . . . 8 ⊢ ω ∈ V
12		ordom 7852	. . . . . . . . 9 ⊢ Ord ω
13		1onn 8604	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ ω
14		ordelss 6348	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord ω ∧ 1o ∈ ω) → 1o ⊆ ω)
15	12, 13, 14	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ⊆ ω
16		ssdomg 8971	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ∈ V → (1o ⊆ ω → 1o ≼ ω))
17	11, 15, 16	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ 1o ≼ ω
18		domtr 8978	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ≼ ω ∧ ω ≼ 𝐴) → 1o ≼ 𝐴)
19	17, 18	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 1o ≼ 𝐴)
20		xpdom1g 9038	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 1o ≼ 𝐴) → (1o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
21	6, 19, 20	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (1o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
22		endomtr 8983	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ (1o × 𝐴) ∧ (1o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
23	10, 21, 22	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
24		djudom2 10137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
25	23, 6, 24	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
26		domtr 8978	. . . 4 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
27	26	expcom 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)) → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))))
28	25, 27	syl 17	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))))
29	1, 28	mtod 198	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  𝒫 cpw 4563  {csn 4589   class class class wbr 5107   × cxp 5636  Ord word 6331  ωcom 7842  1_oc1o 8427   ≈ cen 8915   ≼ cdom 8916   ⊔ cdju 9851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-seqom 8416  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-omul 8439  df-oexp 8440  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-oi 9463  df-har 9510  df-cnf 9615  df-dju 9854  df-card 9892

This theorem is referenced by:  gchdjuidm  10621