Theorem pwdjundom 10625

Description: The powerset of a Dedekind-infinite set does not inject into its cardinal sum with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwdjundom	⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))

Proof of Theorem pwdjundom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwxpndom2 10623	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
2		df1o2 8444	. . . . . . . 8 ⊢ 1o = {∅}
3	2	xpeq1i 5673	. . . . . . 7 ⊢ (1o × 𝐴) = ({∅} × 𝐴)
4		0ex 5257	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
5		reldom 8933	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≼
6	5	brrelex2i 5704	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
7		xpsnen2g 9042	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
8	4, 6, 7	sylancr 596	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
9	3, 8	eqbrtrid 5135	. . . . . 6 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (1o × 𝐴) ≈ 𝐴)
10	9	ensymd 8986	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≈ (1o × 𝐴))
11		omex 9598	. . . . . . . 8 ⊢ ω ∈ V
12		ordom 7856	. . . . . . . . 9 ⊢ Ord ω
13		1onn 8610	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ ω
14		ordelss 6362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord ω ∧ 1o ∈ ω) → 1o ⊆ ω)
15	12, 13, 14	mp2an 702	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ⊆ ω
16		ssdomg 8981	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ∈ V → (1o ⊆ ω → 1o ≼ ω))
17	11, 15, 16	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ 1o ≼ ω
18		domtr 8988	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ≼ ω ∧ ω ≼ 𝐴) → 1o ≼ 𝐴)
19	17, 18	mpan 700	. . . . . 6 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 1o ≼ 𝐴)
20		xpdom1g 9046	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 1o ≼ 𝐴) → (1o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
21	6, 19, 20	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (1o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
22		endomtr 8993	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ (1o × 𝐴) ∧ (1o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
23	10, 21, 22	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
24		djudom2 10140	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
25	23, 6, 24	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
26		domtr 8988	. . . 4 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
27	26	expcom 417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)) → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))))
28	25, 27	syl 17	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))))
29	1, 28	mtod 200	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4555  {csn 4582   class class class wbr 5100   × cxp 5645  Ord word 6345  ωcom 7846  1_oc1o 8430   ≈ cen 8924   ≼ cdom 8925   ⊔ cdju 9856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-seqom 8419  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-oexp 8443  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-oi 9458  df-har 9505  df-cnf 9617  df-dju 9859  df-card 9897

This theorem is referenced by:  gchdjuidm  10626