Theorem pwdjundom 10690

Description: The powerset of a Dedekind-infinite set does not inject into its cardinal sum with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwdjundom	⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))

Proof of Theorem pwdjundom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwxpndom2 10688	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
2		df1o2 8493	. . . . . . . 8 ⊢ 1o = {∅}
3	2	xpeq1i 5704	. . . . . . 7 ⊢ (1o × 𝐴) = ({∅} × 𝐴)
4		0ex 5307	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
5		reldom 8969	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≼
6	5	brrelex2i 5735	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
7		xpsnen2g 9089	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
8	4, 6, 7	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
9	3, 8	eqbrtrid 5183	. . . . . 6 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (1o × 𝐴) ≈ 𝐴)
10	9	ensymd 9025	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≈ (1o × 𝐴))
11		omex 9666	. . . . . . . 8 ⊢ ω ∈ V
12		ordom 7880	. . . . . . . . 9 ⊢ Ord ω
13		1onn 8660	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ ω
14		ordelss 6385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord ω ∧ 1o ∈ ω) → 1o ⊆ ω)
15	12, 13, 14	mp2an 691	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ⊆ ω
16		ssdomg 9020	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ∈ V → (1o ⊆ ω → 1o ≼ ω))
17	11, 15, 16	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ 1o ≼ ω
18		domtr 9027	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ≼ ω ∧ ω ≼ 𝐴) → 1o ≼ 𝐴)
19	17, 18	mpan 689	. . . . . 6 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 1o ≼ 𝐴)
20		xpdom1g 9093	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 1o ≼ 𝐴) → (1o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
21	6, 19, 20	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (1o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
22		endomtr 9032	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ (1o × 𝐴) ∧ (1o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
23	10, 21, 22	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
24		djudom2 10206	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
25	23, 6, 24	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
26		domtr 9027	. . . 4 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
27	26	expcom 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)) → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))))
28	25, 27	syl 17	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))))
29	1, 28	mtod 197	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471   ⊆ wss 3947  ∅c0 4323  𝒫 cpw 4603  {csn 4629   class class class wbr 5148   × cxp 5676  Ord word 6368  ωcom 7870  1_oc1o 8479   ≈ cen 8960   ≼ cdom 8961   ⊔ cdju 9921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-seqom 8468  df-1o 8486  df-2o 8487  df-oadd 8490  df-omul 8491  df-oexp 8492  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-oi 9533  df-har 9580  df-cnf 9685  df-dju 9924  df-card 9962

This theorem is referenced by:  gchdjuidm  10691