MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwdjundom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwdjundom 10705
Description: The powerset of a Dedekind-infinite set does not inject into its cardinal sum with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwdjundom (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴𝐴))

Proof of Theorem pwdjundom
StepHypRef Expression
1 pwxpndom2 10703 . 2 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
2 df1o2 8512 . . . . . . . 8 1o = {∅}
32xpeq1i 5715 . . . . . . 7 (1o × 𝐴) = ({∅} × 𝐴)
4 0ex 5313 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
5 reldom 8990 . . . . . . . . 9 Rel ≼
65brrelex2i 5746 . . . . . . . 8 (ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ V)
7 xpsnen2g 9104 . . . . . . . 8 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
84, 6, 7sylancr 587 . . . . . . 7 (ω ≼ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
93, 8eqbrtrid 5183 . . . . . 6 (ω ≼ 𝐴 → (1o × 𝐴) ≈ 𝐴)
109ensymd 9044 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴𝐴 ≈ (1o × 𝐴))
11 omex 9681 . . . . . . . 8 ω ∈ V
12 ordom 7897 . . . . . . . . 9 Ord ω
13 1onn 8677 . . . . . . . . 9 1o ∈ ω
14 ordelss 6402 . . . . . . . . 9 ((Ord ω ∧ 1o ∈ ω) → 1o ⊆ ω)
1512, 13, 14mp2an 692 . . . . . . . 8 1o ⊆ ω
16 ssdomg 9039 . . . . . . . 8 (ω ∈ V → (1o ⊆ ω → 1o ≼ ω))
1711, 15, 16mp2 9 . . . . . . 7 1o ≼ ω
18 domtr 9046 . . . . . . 7 ((1o ≼ ω ∧ ω ≼ 𝐴) → 1o𝐴)
1917, 18mpan 690 . . . . . 6 (ω ≼ 𝐴 → 1o𝐴)
20 xpdom1g 9108 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 1o𝐴) → (1o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
216, 19, 20syl2anc 584 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴 → (1o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
22 endomtr 9051 . . . . 5 ((𝐴 ≈ (1o × 𝐴) ∧ (1o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
2310, 21, 22syl2anc 584 . . . 4 (ω ≼ 𝐴𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
24 djudom2 10222 . . . 4 ((𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
2523, 6, 24syl2anc 584 . . 3 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
26 domtr 9046 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ≼ (𝐴𝐴) ∧ (𝐴𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)))
2726expcom 413 . . 3 ((𝐴𝐴) ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴)) → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))))
2825, 27syl 17 . 2 (ω ≼ 𝐴 → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ (𝐴 × 𝐴))))
291, 28mtod 198 1 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 2106  Vcvv 3478  wss 3963  c0 4339  𝒫 cpw 4605  {csn 4631   class class class wbr 5148   × cxp 5687  Ord word 6385  ωcom 7887  1oc1o 8498  cen 8981  cdom 8982  cdju 9936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-seqom 8487  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-oexp 8511  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-oi 9548  df-har 9595  df-cnf 9700  df-dju 9939  df-card 9977
This theorem is referenced by:  gchdjuidm  10706
  Copyright terms: Public domain W3C validator