Theorem xpct 10122

Description: The cartesian product of two countable sets is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xpct	⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × 𝐵) ≼ ω)

Proof of Theorem xpct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ctex 9018	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
2	1	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → 𝐵 ∈ V)
3		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
4		xpdom1g 9121	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≼ ω) → (𝐴 × 𝐵) ≼ (ω × 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × 𝐵) ≼ (ω × 𝐵))
6		omex 9671	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
7	6	xpdom2 9119	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ ω → (ω × 𝐵) ≼ (ω × ω))
8	7	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (ω × 𝐵) ≼ (ω × ω))
9		domtr 9062	. . 3 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ≼ (ω × 𝐵) ∧ (ω × 𝐵) ≼ (ω × ω)) → (𝐴 × 𝐵) ≼ (ω × ω))
10	5, 8, 9	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × 𝐵) ≼ (ω × ω))
11		xpomen 10121	. 2 ⊢ (ω × ω) ≈ ω
12		domentr 9068	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ≼ (ω × ω) ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (𝐴 × 𝐵) ≼ ω)
13	10, 11, 12	sylancl 598	1 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × 𝐵) ≼ ω)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   class class class wbr 5106   × cxp 5653  ωcom 7901   ≈ cen 8998   ≼ cdom 8999

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-oi 9531  df-card 10047

This theorem is used by:  tx1stc  23999  mpocti  33378  mpct  46420  opnvonmbllem2  47848  smflimlem6  47991  smfpimbor1lem1  48013