Theorem xpct 10007

Description: The cartesian product of two countable sets is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xpct	⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × 𝐵) ≼ ω)

Proof of Theorem xpct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ctex 8955	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
2	1	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → 𝐵 ∈ V)
3		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
4		xpdom1g 9065	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≼ ω) → (𝐴 × 𝐵) ≼ (ω × 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × 𝐵) ≼ (ω × 𝐵))
6		omex 9634	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
7	6	xpdom2 9063	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ ω → (ω × 𝐵) ≼ (ω × ω))
8	7	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (ω × 𝐵) ≼ (ω × ω))
9		domtr 8999	. . 3 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ≼ (ω × 𝐵) ∧ (ω × 𝐵) ≼ (ω × ω)) → (𝐴 × 𝐵) ≼ (ω × ω))
10	5, 8, 9	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × 𝐵) ≼ (ω × ω))
11		xpomen 10006	. 2 ⊢ (ω × ω) ≈ ω
12		domentr 9005	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ≼ (ω × ω) ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (𝐴 × 𝐵) ≼ ω)
13	10, 11, 12	sylancl 586	1 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × 𝐵) ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   class class class wbr 5147   × cxp 5673  ωcom 7851   ≈ cen 8932   ≼ cdom 8933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-oi 9501  df-card 9930

This theorem is referenced by:  tx1stc  23145  mpocti  31927  mpct  43885  opnvonmbllem2  45335  smflimlem6  45478  smfpimbor1lem1  45500