MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpct 9957
Description: The cartesian product of two countable sets is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
xpct ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × 𝐵) ≼ ω)

Proof of Theorem xpct
StepHypRef Expression
1 ctex 8906 . . . . 5 (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
21adantl 483 . . . 4 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → 𝐵 ∈ V)
3 simpl 484 . . . 4 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
4 xpdom1g 9016 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≼ ω) → (𝐴 × 𝐵) ≼ (ω × 𝐵))
52, 3, 4syl2anc 585 . . 3 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × 𝐵) ≼ (ω × 𝐵))
6 omex 9584 . . . . 5 ω ∈ V
76xpdom2 9014 . . . 4 (𝐵 ≼ ω → (ω × 𝐵) ≼ (ω × ω))
87adantl 483 . . 3 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (ω × 𝐵) ≼ (ω × ω))
9 domtr 8950 . . 3 (((𝐴 × 𝐵) ≼ (ω × 𝐵) ∧ (ω × 𝐵) ≼ (ω × ω)) → (𝐴 × 𝐵) ≼ (ω × ω))
105, 8, 9syl2anc 585 . 2 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × 𝐵) ≼ (ω × ω))
11 xpomen 9956 . 2 (ω × ω) ≈ ω
12 domentr 8956 . 2 (((𝐴 × 𝐵) ≼ (ω × ω) ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (𝐴 × 𝐵) ≼ ω)
1310, 11, 12sylancl 587 1 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × 𝐵) ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107  Vcvv 3444   class class class wbr 5106   × cxp 5632  ωcom 7803  cen 8883  cdom 8884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-oi 9451  df-card 9880
This theorem is referenced by:  tx1stc  23017  mpocti  31679  mpct  43509  opnvonmbllem2  44960  smflimlem6  45103  smfpimbor1lem1  45125
  Copyright terms: Public domain W3C validator