MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin56 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin56 10430
Description: Every V-finite set is VI-finite because multiplication dominates addition for cardinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin56 (𝐴 ∈ FinV𝐴 ∈ FinVI)

Proof of Theorem fin56
StepHypRef Expression
1 orc 867 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≈ 1o))
2 sdom2en01 10339 . . . . 5 (𝐴 ≺ 2o ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≈ 1o))
31, 2sylibr 234 . . . 4 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≺ 2o)
43orcd 873 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≺ 2o𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
5 onfin2 9265 . . . . . . . 8 ω = (On ∩ Fin)
6 inss2 4245 . . . . . . . 8 (On ∩ Fin) ⊆ Fin
75, 6eqsstri 4029 . . . . . . 7 ω ⊆ Fin
8 2onn 8678 . . . . . . 7 2o ∈ ω
97, 8sselii 3991 . . . . . 6 2o ∈ Fin
10 relsdom 8990 . . . . . . 7 Rel ≺
1110brrelex1i 5744 . . . . . 6 (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) → 𝐴 ∈ V)
12 fidomtri 10030 . . . . . 6 ((2o ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ V) → (2o𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2o))
139, 11, 12sylancr 587 . . . . 5 (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) → (2o𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2o))
14 xp2dju 10214 . . . . . . . 8 (2o × 𝐴) = (𝐴𝐴)
15 xpdom1g 9107 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 2o𝐴) → (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
1611, 15sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≺ (𝐴𝐴) ∧ 2o𝐴) → (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
1714, 16eqbrtrrid 5183 . . . . . . 7 ((𝐴 ≺ (𝐴𝐴) ∧ 2o𝐴) → (𝐴𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
18 sdomdomtr 9148 . . . . . . 7 ((𝐴 ≺ (𝐴𝐴) ∧ (𝐴𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴))
1917, 18syldan 591 . . . . . 6 ((𝐴 ≺ (𝐴𝐴) ∧ 2o𝐴) → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴))
2019ex 412 . . . . 5 (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) → (2o𝐴𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
2113, 20sylbird 260 . . . 4 (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) → (¬ 𝐴 ≺ 2o𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
2221orrd 863 . . 3 (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) → (𝐴 ≺ 2o𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
234, 22jaoi 857 . 2 ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴𝐴)) → (𝐴 ≺ 2o𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
24 isfin5 10336 . 2 (𝐴 ∈ FinV ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴𝐴)))
25 isfin6 10337 . 2 (𝐴 ∈ FinVI ↔ (𝐴 ≺ 2o𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
2623, 24, 253imtr4i 292 1 (𝐴 ∈ FinV𝐴 ∈ FinVI)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477  cin 3961  c0 4338   class class class wbr 5147   × cxp 5686  Oncon0 6385  ωcom 7886  1oc1o 8497  2oc2o 8498  cen 8980  cdom 8981  csdm 8982  Fincfn 8983  cdju 9935  FinVcfin5 10319  FinVIcfin6 10320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-dju 9938  df-card 9976  df-fin5 10326  df-fin6 10327
This theorem is referenced by:  fin2so  37593
  Copyright terms: Public domain W3C validator