Theorem fin56 9972

Description: Every V-finite set is VI-finite because multiplication dominates addition for cardinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin56	⊢ (𝐴 ∈ FinV → 𝐴 ∈ FinVI)

Proof of Theorem fin56

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 867	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≈ 1o))
2		sdom2en01 9881	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ 2o ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≈ 1o))
3	1, 2	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≺ 2o)
4	3	orcd 873	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≺ 2o ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
5		onfin2 8847	. . . . . . . 8 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
6		inss2 4130	. . . . . . . 8 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
7	5, 6	eqsstri 3921	. . . . . . 7 ⊢ ω ⊆ Fin
8		2onn 8346	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
9	7, 8	sselii 3884	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ Fin
10		relsdom 8611	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≺
11	10	brrelex1i 5590	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
12		fidomtri 9574	. . . . . 6 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ V) → (2o ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2o))
13	9, 11, 12	sylancr 590	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (2o ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2o))
14		xp2dju 9755	. . . . . . . 8 ⊢ (2o × 𝐴) = (𝐴 ⊔ 𝐴)
15		xpdom1g 8720	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 2o ≼ 𝐴) → (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
16	11, 15	sylan 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ 2o ≼ 𝐴) → (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
17	14, 16	eqbrtrrid 5075	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ 2o ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
18		sdomdomtr 8757	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴))
19	17, 18	syldan 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ 2o ≼ 𝐴) → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴))
20	19	ex 416	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (2o ≼ 𝐴 → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
21	13, 20	sylbird 263	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (¬ 𝐴 ≺ 2o → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
22	21	orrd 863	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (𝐴 ≺ 2o ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
23	4, 22	jaoi 857	. 2 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → (𝐴 ≺ 2o ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
24		isfin5 9878	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinV ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
25		isfin6 9879	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinVI ↔ (𝐴 ≺ 2o ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
26	23, 24, 25	3imtr4i 295	1 ⊢ (𝐴 ∈ FinV → 𝐴 ∈ FinVI)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 847   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  Vcvv 3398   ∩ cin 3852  ∅c0 4223   class class class wbr 5039   × cxp 5534  Oncon0 6191  ωcom 7622  1_oc1o 8173  2_oc2o 8174   ≈ cen 8601   ≼ cdom 8602   ≺ csdm 8603  Fincfn 8604   ⊔ cdju 9479  Fin^Vcfin5 9861  Fin^VIcfin6 9862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-1o 8180  df-2o 8181  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-dju 9482  df-card 9520  df-fin5 9868  df-fin6 9869

This theorem is referenced by:  fin2so  35450