Theorem fin56 10315

Description: Every V-finite set is VI-finite because multiplication dominates addition for cardinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin56	⊢ (𝐴 ∈ FinV → 𝐴 ∈ FinVI)

Proof of Theorem fin56

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 868	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≈ 1o))
2		sdom2en01 10224	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ 2o ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≈ 1o))
3	1, 2	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≺ 2o)
4	3	orcd 874	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≺ 2o ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
5		onfin2 9153	. . . . . . . 8 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
6		inss2 4192	. . . . . . . 8 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
7	5, 6	eqsstri 3982	. . . . . . 7 ⊢ ω ⊆ Fin
8		2onn 8580	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
9	7, 8	sselii 3932	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ Fin
10		relsdom 8902	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≺
11	10	brrelex1i 5688	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
12		fidomtri 9917	. . . . . 6 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ V) → (2o ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2o))
13	9, 11, 12	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (2o ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2o))
14		xp2dju 10099	. . . . . . . 8 ⊢ (2o × 𝐴) = (𝐴 ⊔ 𝐴)
15		xpdom1g 9014	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 2o ≼ 𝐴) → (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
16	11, 15	sylan 581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ 2o ≼ 𝐴) → (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
17	14, 16	eqbrtrrid 5136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ 2o ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
18		sdomdomtr 9050	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴))
19	17, 18	syldan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ 2o ≼ 𝐴) → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴))
20	19	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (2o ≼ 𝐴 → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
21	13, 20	sylbird 260	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (¬ 𝐴 ≺ 2o → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
22	21	orrd 864	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (𝐴 ≺ 2o ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
23	4, 22	jaoi 858	. 2 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → (𝐴 ≺ 2o ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
24		isfin5 10221	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinV ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
25		isfin6 10222	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinVI ↔ (𝐴 ≺ 2o ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
26	23, 24, 25	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝐴 ∈ FinV → 𝐴 ∈ FinVI)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ∩ cin 3902  ∅c0 4287   class class class wbr 5100   × cxp 5630  Oncon0 6325  ωcom 7818  1_oc1o 8400  2_oc2o 8401   ≈ cen 8892   ≼ cdom 8893   ≺ csdm 8894  Fincfn 8895   ⊔ cdju 9822  Fin^Vcfin5 10204  Fin^VIcfin6 10205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9825  df-card 9863  df-fin5 10211  df-fin6 10212

This theorem is referenced by:  fin2so  37858