Theorem fin56 10346

Description: Every V-finite set is VI-finite because multiplication dominates addition for cardinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin56	⊢ (𝐴 ∈ FinV → 𝐴 ∈ FinVI)

Proof of Theorem fin56

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 867	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≈ 1o))
2		sdom2en01 10255	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ 2o ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≈ 1o))
3	1, 2	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≺ 2o)
4	3	orcd 873	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≺ 2o ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
5		onfin2 9180	. . . . . . . 8 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
6		inss2 4201	. . . . . . . 8 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
7	5, 6	eqsstri 3993	. . . . . . 7 ⊢ ω ⊆ Fin
8		2onn 8606	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
9	7, 8	sselii 3943	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ Fin
10		relsdom 8925	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≺
11	10	brrelex1i 5694	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
12		fidomtri 9946	. . . . . 6 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ V) → (2o ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2o))
13	9, 11, 12	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (2o ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2o))
14		xp2dju 10130	. . . . . . . 8 ⊢ (2o × 𝐴) = (𝐴 ⊔ 𝐴)
15		xpdom1g 9038	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 2o ≼ 𝐴) → (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
16	11, 15	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ 2o ≼ 𝐴) → (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
17	14, 16	eqbrtrrid 5143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ 2o ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
18		sdomdomtr 9074	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴))
19	17, 18	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ 2o ≼ 𝐴) → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴))
20	19	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (2o ≼ 𝐴 → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
21	13, 20	sylbird 260	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (¬ 𝐴 ≺ 2o → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
22	21	orrd 863	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (𝐴 ≺ 2o ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
23	4, 22	jaoi 857	. 2 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → (𝐴 ≺ 2o ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
24		isfin5 10252	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinV ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
25		isfin6 10253	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinVI ↔ (𝐴 ≺ 2o ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
26	23, 24, 25	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝐴 ∈ FinV → 𝐴 ∈ FinVI)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ∩ cin 3913  ∅c0 4296   class class class wbr 5107   × cxp 5636  Oncon0 6332  ωcom 7842  1_oc1o 8427  2_oc2o 8428   ≈ cen 8915   ≼ cdom 8916   ≺ csdm 8917  Fincfn 8918   ⊔ cdju 9851  Fin^Vcfin5 10235  Fin^VIcfin6 10236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-dju 9854  df-card 9892  df-fin5 10242  df-fin6 10243

This theorem is referenced by:  fin2so  37601