MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin56 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin56 10390
Description: Every V-finite set is VI-finite because multiplication dominates addition for cardinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin56 (𝐴 ∈ FinV𝐴 ∈ FinVI)

Proof of Theorem fin56
StepHypRef Expression
1 orc 863 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≈ 1o))
2 sdom2en01 10299 . . . . 5 (𝐴 ≺ 2o ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≈ 1o))
31, 2sylibr 233 . . . 4 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≺ 2o)
43orcd 869 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≺ 2o𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
5 onfin2 9233 . . . . . . . 8 ω = (On ∩ Fin)
6 inss2 4228 . . . . . . . 8 (On ∩ Fin) ⊆ Fin
75, 6eqsstri 4015 . . . . . . 7 ω ⊆ Fin
8 2onn 8643 . . . . . . 7 2o ∈ ω
97, 8sselii 3978 . . . . . 6 2o ∈ Fin
10 relsdom 8948 . . . . . . 7 Rel ≺
1110brrelex1i 5731 . . . . . 6 (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) → 𝐴 ∈ V)
12 fidomtri 9990 . . . . . 6 ((2o ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ V) → (2o𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2o))
139, 11, 12sylancr 585 . . . . 5 (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) → (2o𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2o))
14 xp2dju 10173 . . . . . . . 8 (2o × 𝐴) = (𝐴𝐴)
15 xpdom1g 9071 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 2o𝐴) → (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
1611, 15sylan 578 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≺ (𝐴𝐴) ∧ 2o𝐴) → (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
1714, 16eqbrtrrid 5183 . . . . . . 7 ((𝐴 ≺ (𝐴𝐴) ∧ 2o𝐴) → (𝐴𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
18 sdomdomtr 9112 . . . . . . 7 ((𝐴 ≺ (𝐴𝐴) ∧ (𝐴𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴))
1917, 18syldan 589 . . . . . 6 ((𝐴 ≺ (𝐴𝐴) ∧ 2o𝐴) → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴))
2019ex 411 . . . . 5 (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) → (2o𝐴𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
2113, 20sylbird 259 . . . 4 (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) → (¬ 𝐴 ≺ 2o𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
2221orrd 859 . . 3 (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) → (𝐴 ≺ 2o𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
234, 22jaoi 853 . 2 ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴𝐴)) → (𝐴 ≺ 2o𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
24 isfin5 10296 . 2 (𝐴 ∈ FinV ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴𝐴)))
25 isfin6 10297 . 2 (𝐴 ∈ FinVI ↔ (𝐴 ≺ 2o𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
2623, 24, 253imtr4i 291 1 (𝐴 ∈ FinV𝐴 ∈ FinVI)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 843   = wceq 1539  wcel 2104  Vcvv 3472  cin 3946  c0 4321   class class class wbr 5147   × cxp 5673  Oncon0 6363  ωcom 7857  1oc1o 8461  2oc2o 8462  cen 8938  cdom 8939  csdm 8940  Fincfn 8941  cdju 9895  FinVcfin5 10279  FinVIcfin6 10280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-fin5 10286  df-fin6 10287
This theorem is referenced by:  fin2so  36778
  Copyright terms: Public domain W3C validator