MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin56 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin56 10433
Description: Every V-finite set is VI-finite because multiplication dominates addition for cardinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin56 (𝐴 ∈ FinV𝐴 ∈ FinVI)

Proof of Theorem fin56
StepHypRef Expression
1 orc 868 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≈ 1o))
2 sdom2en01 10342 . . . . 5 (𝐴 ≺ 2o ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≈ 1o))
31, 2sylibr 234 . . . 4 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≺ 2o)
43orcd 874 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≺ 2o𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
5 onfin2 9268 . . . . . . . 8 ω = (On ∩ Fin)
6 inss2 4238 . . . . . . . 8 (On ∩ Fin) ⊆ Fin
75, 6eqsstri 4030 . . . . . . 7 ω ⊆ Fin
8 2onn 8680 . . . . . . 7 2o ∈ ω
97, 8sselii 3980 . . . . . 6 2o ∈ Fin
10 relsdom 8992 . . . . . . 7 Rel ≺
1110brrelex1i 5741 . . . . . 6 (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) → 𝐴 ∈ V)
12 fidomtri 10033 . . . . . 6 ((2o ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ V) → (2o𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2o))
139, 11, 12sylancr 587 . . . . 5 (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) → (2o𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2o))
14 xp2dju 10217 . . . . . . . 8 (2o × 𝐴) = (𝐴𝐴)
15 xpdom1g 9109 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 2o𝐴) → (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
1611, 15sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≺ (𝐴𝐴) ∧ 2o𝐴) → (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
1714, 16eqbrtrrid 5179 . . . . . . 7 ((𝐴 ≺ (𝐴𝐴) ∧ 2o𝐴) → (𝐴𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
18 sdomdomtr 9150 . . . . . . 7 ((𝐴 ≺ (𝐴𝐴) ∧ (𝐴𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴))
1917, 18syldan 591 . . . . . 6 ((𝐴 ≺ (𝐴𝐴) ∧ 2o𝐴) → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴))
2019ex 412 . . . . 5 (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) → (2o𝐴𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
2113, 20sylbird 260 . . . 4 (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) → (¬ 𝐴 ≺ 2o𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
2221orrd 864 . . 3 (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) → (𝐴 ≺ 2o𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
234, 22jaoi 858 . 2 ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴𝐴)) → (𝐴 ≺ 2o𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
24 isfin5 10339 . 2 (𝐴 ∈ FinV ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴𝐴)))
25 isfin6 10340 . 2 (𝐴 ∈ FinVI ↔ (𝐴 ≺ 2o𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
2623, 24, 253imtr4i 292 1 (𝐴 ∈ FinV𝐴 ∈ FinVI)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  cin 3950  c0 4333   class class class wbr 5143   × cxp 5683  Oncon0 6384  ωcom 7887  1oc1o 8499  2oc2o 8500  cen 8982  cdom 8983  csdm 8984  Fincfn 8985  cdju 9938  FinVcfin5 10322  FinVIcfin6 10323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-fin5 10329  df-fin6 10330
This theorem is referenced by:  fin2so  37614
  Copyright terms: Public domain W3C validator