Theorem fin56 9650

Description: Every V-finite set is VI-finite because multiplication dominates addition for cardinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin56	⊢ (𝐴 ∈ FinV → 𝐴 ∈ FinVI)

Proof of Theorem fin56

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 862	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≈ 1o))
2		sdom2en01 9559	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ 2o ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≈ 1o))
3	1, 2	sylibr 235	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≺ 2o)
4	3	orcd 868	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≺ 2o ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
5		onfin2 8546	. . . . . . . 8 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
6		inss2 4121	. . . . . . . 8 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
7	5, 6	eqsstri 3917	. . . . . . 7 ⊢ ω ⊆ Fin
8		2onn 8107	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
9	7, 8	sselii 3881	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ Fin
10		relsdom 8354	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≺
11	10	brrelex1i 5486	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
12		fidomtri 9257	. . . . . 6 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ V) → (2o ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2o))
13	9, 11, 12	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (2o ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2o))
14		xp2dju 9437	. . . . . . . 8 ⊢ (2o × 𝐴) = (𝐴 ⊔ 𝐴)
15		xpdom1g 8451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 2o ≼ 𝐴) → (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
16	11, 15	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ 2o ≼ 𝐴) → (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
17	14, 16	eqbrtrrid 4992	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ 2o ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
18		sdomdomtr 8487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴))
19	17, 18	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ 2o ≼ 𝐴) → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴))
20	19	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (2o ≼ 𝐴 → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
21	13, 20	sylbird 261	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (¬ 𝐴 ≺ 2o → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
22	21	orrd 858	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (𝐴 ≺ 2o ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
23	4, 22	jaoi 852	. 2 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → (𝐴 ≺ 2o ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
24		isfin5 9556	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinV ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
25		isfin6 9557	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinVI ↔ (𝐴 ≺ 2o ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
26	23, 24, 25	3imtr4i 293	1 ⊢ (𝐴 ∈ FinV → 𝐴 ∈ FinVI)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 842   = wceq 1520   ∈ wcel 2079  Vcvv 3432   ∩ cin 3853  ∅c0 4206   class class class wbr 4956   × cxp 5433  Oncon0 6058  ωcom 7427  1_oc1o 7937  2_oc2o 7938   ≈ cen 8344   ≼ cdom 8345   ≺ csdm 8346  Fincfn 8347   ⊔ cdju 9162  Fin^Vcfin5 9539  Fin^VIcfin6 9540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-ral 3108  df-rex 3109  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-1o 7944  df-2o 7945  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-dju 9165  df-card 9203  df-fin5 9546  df-fin6 9547

This theorem is referenced by:  fin2so  34356