MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin56 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin56 10370
Description: Every V-finite set is VI-finite because multiplication dominates addition for cardinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin56 (𝐴 ∈ FinV𝐴 ∈ FinVI)

Proof of Theorem fin56
StepHypRef Expression
1 orc 865 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≈ 1o))
2 sdom2en01 10279 . . . . 5 (𝐴 ≺ 2o ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≈ 1o))
31, 2sylibr 233 . . . 4 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≺ 2o)
43orcd 871 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≺ 2o𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
5 onfin2 9214 . . . . . . . 8 ω = (On ∩ Fin)
6 inss2 4225 . . . . . . . 8 (On ∩ Fin) ⊆ Fin
75, 6eqsstri 4012 . . . . . . 7 ω ⊆ Fin
8 2onn 8624 . . . . . . 7 2o ∈ ω
97, 8sselii 3975 . . . . . 6 2o ∈ Fin
10 relsdom 8929 . . . . . . 7 Rel ≺
1110brrelex1i 5724 . . . . . 6 (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) → 𝐴 ∈ V)
12 fidomtri 9970 . . . . . 6 ((2o ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ V) → (2o𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2o))
139, 11, 12sylancr 587 . . . . 5 (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) → (2o𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2o))
14 xp2dju 10153 . . . . . . . 8 (2o × 𝐴) = (𝐴𝐴)
15 xpdom1g 9052 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 2o𝐴) → (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
1611, 15sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≺ (𝐴𝐴) ∧ 2o𝐴) → (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
1714, 16eqbrtrrid 5177 . . . . . . 7 ((𝐴 ≺ (𝐴𝐴) ∧ 2o𝐴) → (𝐴𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
18 sdomdomtr 9093 . . . . . . 7 ((𝐴 ≺ (𝐴𝐴) ∧ (𝐴𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴))
1917, 18syldan 591 . . . . . 6 ((𝐴 ≺ (𝐴𝐴) ∧ 2o𝐴) → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴))
2019ex 413 . . . . 5 (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) → (2o𝐴𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
2113, 20sylbird 259 . . . 4 (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) → (¬ 𝐴 ≺ 2o𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
2221orrd 861 . . 3 (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) → (𝐴 ≺ 2o𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
234, 22jaoi 855 . 2 ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴𝐴)) → (𝐴 ≺ 2o𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
24 isfin5 10276 . 2 (𝐴 ∈ FinV ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴𝐴)))
25 isfin6 10277 . 2 (𝐴 ∈ FinVI ↔ (𝐴 ≺ 2o𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
2623, 24, 253imtr4i 291 1 (𝐴 ∈ FinV𝐴 ∈ FinVI)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3473  cin 3943  c0 4318   class class class wbr 5141   × cxp 5667  Oncon0 6353  ωcom 7838  1oc1o 8441  2oc2o 8442  cen 8919  cdom 8920  csdm 8921  Fincfn 8922  cdju 9875  FinVcfin5 10259  FinVIcfin6 10260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-1o 8448  df-2o 8449  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-dju 9878  df-card 9916  df-fin5 10266  df-fin6 10267
This theorem is referenced by:  fin2so  36277
  Copyright terms: Public domain W3C validator