Theorem fin56 10396

Description: Every V-finite set is VI-finite because multiplication dominates addition for cardinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin56	⊢ (𝐴 ∈ FinV → 𝐴 ∈ FinVI)

Proof of Theorem fin56

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 881	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≈ 1o))
2		sdom2en01 10305	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ 2o ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≈ 1o))
3	1, 2	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≺ 2o)
4	3	orcd 887	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≺ 2o ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
5		onfin2 9212	. . . . . . . 8 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
6		inss2 4183	. . . . . . . 8 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
7	5, 6	eqsstri 3977	. . . . . . 7 ⊢ ω ⊆ Fin
8		2onn 8631	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
9	7, 8	sselii 3928	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ Fin
10		relsdom 8960	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≺
11	10	brrelex1i 5711	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
12		fidomtri 9999	. . . . . 6 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ V) → (2o ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2o))
13	9, 11, 12	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (2o ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2o))
14		xp2dju 10180	. . . . . . . 8 ⊢ (2o × 𝐴) = (𝐴 ⊔ 𝐴)
15		xpdom1g 9073	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 2o ≼ 𝐴) → (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
16	11, 15	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ 2o ≼ 𝐴) → (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
17	14, 16	eqbrtrrid 5141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ 2o ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
18		sdomdomtr 9109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴))
19	17, 18	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ 2o ≼ 𝐴) → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴))
20	19	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (2o ≼ 𝐴 → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
21	13, 20	sylbird 263	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (¬ 𝐴 ≺ 2o → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
22	21	orrd 877	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (𝐴 ≺ 2o ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
23	4, 22	jaoi 871	. 2 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → (𝐴 ≺ 2o ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
24		isfin5 10302	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinV ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
25		isfin6 10303	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinVI ↔ (𝐴 ≺ 2o ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
26	23, 24, 25	3imtr4i 295	1 ⊢ (𝐴 ∈ FinV → 𝐴 ∈ FinVI)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∩ cin 3898  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   × cxp 5653  Oncon0 6357  ωcom 7863  1_oc1o 8449  2_oc2o 8450   ≈ cen 8950   ≼ cdom 8951   ≺ csdm 8952  Fincfn 8953   ⊔ cdju 9904  Fin^Vcfin5 10285  Fin^VIcfin6 10286

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-dju 9907  df-card 9945  df-fin5 10292  df-fin6 10293

This theorem is used by:  fin2so  38362