MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infdjuabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infdjuabs 10243
Description: Absorption law for addition to an infinite cardinal. (Contributed by NM, 30-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
infdjuabs ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem infdjuabs
StepHypRef Expression
1 simp3 1137 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
2 reldom 8990 . . . . . . 7 Rel ≼
32brrelex2i 5746 . . . . . 6 (𝐵𝐴𝐴 ∈ V)
4 djudom2 10222 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝐴 ∈ V) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴𝐴))
51, 3, 4syl2anc2 585 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴𝐴))
6 xp2dju 10215 . . . . 5 (2o × 𝐴) = (𝐴𝐴)
75, 6breqtrrdi 5190 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ (2o × 𝐴))
8 simp1 1135 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
9 2onn 8679 . . . . . . 7 2o ∈ ω
10 nnsdom 9692 . . . . . . 7 (2o ∈ ω → 2o ≺ ω)
11 sdomdom 9019 . . . . . . 7 (2o ≺ ω → 2o ≼ ω)
129, 10, 11mp2b 10 . . . . . 6 2o ≼ ω
13 simp2 1136 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → ω ≼ 𝐴)
14 domtr 9046 . . . . . 6 ((2o ≼ ω ∧ ω ≼ 𝐴) → 2o𝐴)
1512, 13, 14sylancr 587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → 2o𝐴)
16 xpdom1g 9108 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 2o𝐴) → (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
178, 15, 16syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
18 domtr 9046 . . . 4 (((𝐴𝐵) ≼ (2o × 𝐴) ∧ (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
197, 17, 18syl2anc 584 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
20 infxpidm2 10055 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
21203adant3 1131 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
22 domentr 9052 . . 3 (((𝐴𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ 𝐴)
2319, 21, 22syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ 𝐴)
242brrelex1i 5745 . . . 4 (𝐵𝐴𝐵 ∈ V)
25243ad2ant3 1134 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
26 djudoml 10223 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵))
278, 25, 26syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵))
28 sbth 9132 . 2 (((𝐴𝐵) ≼ 𝐴𝐴 ≼ (𝐴𝐵)) → (𝐴𝐵) ≈ 𝐴)
2923, 27, 28syl2anc 584 1 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086  wcel 2106  Vcvv 3478   class class class wbr 5148   × cxp 5687  dom cdm 5689  ωcom 7887  2oc2o 8499  cen 8981  cdom 8982  csdm 8983  cdju 9936  cardccrd 9973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977
This theorem is referenced by:  infunabs  10244  infdju  10245  infdif  10246
  Copyright terms: Public domain W3C validator