Theorem infdjuabs 9962

Description: Absorption law for addition to an infinite cardinal. (Contributed by NM, 30-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infdjuabs	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem infdjuabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
2		reldom 8739	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼
3	2	brrelex2i 5644	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
4		djudom2 9939	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
5	1, 3, 4	syl2anc2 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
6		xp2dju 9932	. . . . 5 ⊢ (2o × 𝐴) = (𝐴 ⊔ 𝐴)
7	5, 6	breqtrrdi 5116	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (2o × 𝐴))
8		simp1 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
9		2onn 8472	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
10		nnsdom 9412	. . . . . . 7 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ≺ ω)
11		sdomdom 8768	. . . . . . 7 ⊢ (2o ≺ ω → 2o ≼ ω)
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ 2o ≼ ω
13		simp2 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ω ≼ 𝐴)
14		domtr 8793	. . . . . 6 ⊢ ((2o ≼ ω ∧ ω ≼ 𝐴) → 2o ≼ 𝐴)
15	12, 13, 14	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 2o ≼ 𝐴)
16		xpdom1g 8856	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 2o ≼ 𝐴) → (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
17	8, 15, 16	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
18		domtr 8793	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (2o × 𝐴) ∧ (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
19	7, 17, 18	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
20		infxpidm2 9773	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
21	20	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
22		domentr 8799	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝐴)
23	19, 21, 22	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝐴)
24	2	brrelex1i 5643	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
25	24	3ad2ant3 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
26		djudoml 9940	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
27	8, 25, 26	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
28		sbth 8880	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐴)
29	23, 27, 28	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   class class class wbr 5074   × cxp 5587  dom cdm 5589  ωcom 7712  2_oc2o 8291   ≈ cen 8730   ≼ cdom 8731   ≺ csdm 8732   ⊔ cdju 9656  cardccrd 9693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697

This theorem is referenced by:  infunabs  9963  infdju  9964  infdif  9965