Theorem infdjuabs 10093

Description: Absorption law for addition to an infinite cardinal. (Contributed by NM, 30-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infdjuabs	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem infdjuabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
2		reldom 8875	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼
3	2	brrelex2i 5673	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
4		djudom2 10072	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
5	1, 3, 4	syl2anc2 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
6		xp2dju 10065	. . . . 5 ⊢ (2o × 𝐴) = (𝐴 ⊔ 𝐴)
7	5, 6	breqtrrdi 5133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (2o × 𝐴))
8		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
9		2onn 8557	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
10		nnsdom 9544	. . . . . . 7 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ≺ ω)
11		sdomdom 8902	. . . . . . 7 ⊢ (2o ≺ ω → 2o ≼ ω)
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ 2o ≼ ω
13		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ω ≼ 𝐴)
14		domtr 8929	. . . . . 6 ⊢ ((2o ≼ ω ∧ ω ≼ 𝐴) → 2o ≼ 𝐴)
15	12, 13, 14	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 2o ≼ 𝐴)
16		xpdom1g 8987	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 2o ≼ 𝐴) → (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
17	8, 15, 16	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
18		domtr 8929	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (2o × 𝐴) ∧ (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
19	7, 17, 18	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
20		infxpidm2 9905	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
21	20	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
22		domentr 8935	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝐴)
23	19, 21, 22	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝐴)
24	2	brrelex1i 5672	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
25	24	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
26		djudoml 10073	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
27	8, 25, 26	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
28		sbth 9010	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐴)
29	23, 27, 28	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   class class class wbr 5091   × cxp 5614  dom cdm 5616  ωcom 7796  2_oc2o 8379   ≈ cen 8866   ≼ cdom 8867   ≺ csdm 8868   ⊔ cdju 9788  cardccrd 9825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-oi 9396  df-dju 9791  df-card 9829

This theorem is referenced by:  infunabs  10094  infdju  10095  infdif  10096