Theorem infdjuabs 10158

Description: Absorption law for addition to an infinite cardinal. (Contributed by NM, 30-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infdjuabs	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem infdjuabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
2		reldom 8929	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼
3	2	brrelex2i 5702	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
4		djudom2 10137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
5	1, 3, 4	syl2anc2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
6		xp2dju 10130	. . . . 5 ⊢ (2o × 𝐴) = (𝐴 ⊔ 𝐴)
7	5, 6	breqtrrdi 5141	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (2o × 𝐴))
8		simp1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
9		2onn 8607	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
10		nnsdom 9606	. . . . . . 7 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ≺ ω)
11		sdomdom 8957	. . . . . . 7 ⊢ (2o ≺ ω → 2o ≼ ω)
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ 2o ≼ ω
13		simp2 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ω ≼ 𝐴)
14		domtr 8984	. . . . . 6 ⊢ ((2o ≼ ω ∧ ω ≼ 𝐴) → 2o ≼ 𝐴)
15	12, 13, 14	sylancr 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 2o ≼ 𝐴)
16		xpdom1g 9042	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 2o ≼ 𝐴) → (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
17	8, 15, 16	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
18		domtr 8984	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (2o × 𝐴) ∧ (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
19	7, 17, 18	syl2anc 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
20		infxpidm2 9970	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
21	20	3adant3 1144	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
22		domentr 8990	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝐴)
23	19, 21, 22	syl2anc 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝐴)
24	2	brrelex1i 5701	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
25	24	3ad2ant3 1147	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
26		djudoml 10138	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
27	8, 25, 26	syl2anc 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
28		sbth 9065	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐴)
29	23, 27, 28	syl2anc 593	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1097   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   class class class wbr 5099   × cxp 5643  dom cdm 5645  ωcom 7842  2_oc2o 8426   ≈ cen 8920   ≼ cdom 8921   ≺ csdm 8922   ⊔ cdju 9853  cardccrd 9890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-oi 9455  df-dju 9856  df-card 9894

This theorem is referenced by:  infunabs  10159  infdju  10160  infdif  10161