Theorem infdjuabs 10286

Description: Absorption law for addition to an infinite cardinal. (Contributed by NM, 30-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infdjuabs	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem infdjuabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
2		reldom 8982	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼
3	2	brrelex2i 5707	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
4		djudom2 10265	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
5	1, 3, 4	syl2anc2 597	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
6		xp2dju 10258	. . . . 5 ⊢ (2o × 𝐴) = (𝐴 ⊔ 𝐴)
7	5, 6	breqtrrdi 5146	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (2o × 𝐴))
8		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
9		2onn 8654	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
10		nnsdom 9658	. . . . . . 7 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ≺ ω)
11		sdomdom 9010	. . . . . . 7 ⊢ (2o ≺ ω → 2o ≼ ω)
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ 2o ≼ ω
13		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ω ≼ 𝐴)
14		domtr 9037	. . . . . 6 ⊢ ((2o ≼ ω ∧ ω ≼ 𝐴) → 2o ≼ 𝐴)
15	12, 13, 14	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 2o ≼ 𝐴)
16		xpdom1g 9096	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 2o ≼ 𝐴) → (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
17	8, 15, 16	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
18		domtr 9037	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (2o × 𝐴) ∧ (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
19	7, 17, 18	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
20		infxpidm2 10099	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
21	20	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
22		domentr 9043	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝐴)
23	19, 21, 22	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝐴)
24	2	brrelex1i 5706	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
25	24	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
26		djudoml 10266	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
27	8, 25, 26	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
28		sbth 9119	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐴)
29	23, 27, 28	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   class class class wbr 5102   × cxp 5648  dom cdm 5650  ωcom 7877  2_oc2o 8473   ≈ cen 8973   ≼ cdom 8974   ≺ csdm 8975   ⊔ cdju 9982  cardccrd 10019

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-oi 9507  df-dju 9985  df-card 10023

This theorem is used by:  infunabs  10287  infdju  10288  infdif  10289