Theorem gsumge0cl 46352

Description: Closure of group sum, for finitely supported nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumge0cl.1	⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
gsumge0cl.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
gsumge0cl.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
gsumge0cl.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0)

Assertion

Ref	Expression
gsumge0cl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem gsumge0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13333	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		dfss2 3921	. . . . 5 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* ↔ ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (0[,]+∞))
3	1, 2	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (0[,]+∞)
4	3	eqcomi 2738	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) = ((0[,]+∞) ∩ ℝ*)
5		ovex 7382	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
6		gsumge0cl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
7		xrsbas 17510	. . . . 5 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
8	6, 7	ressbas 17147	. . . 4 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (Base‘𝐺))
9	5, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (Base‘𝐺)
10	4, 9	eqtri 2752	. 2 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
11		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
12	11	xrs1cmn 21349	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ CMnd
13		cmnmnd 19676	. . . . 5 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd
15		xrge0cmn 21351	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
16	6, 15	eqeltri 2824	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ CMnd
17		cmnmnd 19676	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ Mnd
19	14, 18	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd)
20		eliccxr 13338	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
21		mnfxr 11172	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → -∞ ∈ ℝ*)
23		0xr 11162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 0 ∈ ℝ*)
25		mnflt0 13027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ < 0
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → -∞ < 0)
27		pnfxr 11169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
29		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
30		iccgelb 13305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝑥)
31	24, 28, 29, 30	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑥)
32	22, 24, 20, 26, 31	xrltletrd 13063	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → -∞ < 𝑥)
33	22, 20, 32	xrgtned 45302	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ≠ -∞)
34		nelsn 4618	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≠ -∞ → ¬ 𝑥 ∈ {-∞})
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → ¬ 𝑥 ∈ {-∞})
36	20, 35	eldifd 3914	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
37	36	rgen 3046	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})
38		dfss3 3924	. . . . 5 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
39	37, 38	mpbir 231	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
40		0e0iccpnf 13362	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
41	39, 40	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞))
42		difss 4087	. . . . 5 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
43	11, 7	ressbas2 17149	. . . . 5 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))))
44	42, 43	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
45	11	xrs10 21348	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
46		xrex 12888	. . . . . . 7 ⊢ ℝ* ∈ V
47		difexg 5268	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ* ∈ V → (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V)
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
49	41	simpli 483	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
50		ressabs 17159	. . . . . 6 ⊢ (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
51	48, 49, 50	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
52	6	eqcomi 2738	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = 𝐺
53	51, 52	eqtr2i 2753	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
54	44, 45, 53	submnd0 18637	. . 3 ⊢ ((((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) ∧ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞))) → 0 = (0g‘𝐺))
55	19, 41, 54	mp2an 692	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
56	16	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
57		gsumge0cl.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
58		gsumge0cl.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
59		gsumge0cl.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0)
60	10, 55, 56, 57, 58, 59	gsumcl 19794	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (0[,]+∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  Vcvv 3436   ∖ cdif 3900   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  {csn 4577   class class class wbr 5092  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   finSupp cfsupp 9251  0cc0 11009  +∞cpnf 11146  -∞cmnf 11147  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149   ≤ cle 11150  [,]cicc 13251  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  0_gc0g 17343   Σ_g cgsu 17344  ℝ^*_𝑠cxrs 17404  Mndcmnd 18608  CMndccmn 19659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-xadd 13015  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-xrs 17406  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-cntz 19196  df-cmn 19661

This theorem is referenced by:  sge0tsms  46361