Theorem gsumge0cl 43799

Description: Closure of group sum, for finitely supported nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumge0cl.1	⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
gsumge0cl.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
gsumge0cl.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
gsumge0cl.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0)

Assertion

Ref	Expression
gsumge0cl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem gsumge0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13091	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		df-ss 3900	. . . . 5 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* ↔ ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (0[,]+∞))
3	1, 2	mpbi 229	. . . 4 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (0[,]+∞)
4	3	eqcomi 2747	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) = ((0[,]+∞) ∩ ℝ*)
5		ovex 7288	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
6		gsumge0cl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
7		xrsbas 20526	. . . . 5 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
8	6, 7	ressbas 16873	. . . 4 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (Base‘𝐺))
9	5, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (Base‘𝐺)
10	4, 9	eqtri 2766	. 2 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
11		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
12	11	xrs1cmn 20550	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ CMnd
13		cmnmnd 19317	. . . . 5 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd
15		xrge0cmn 20552	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
16	6, 15	eqeltri 2835	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ CMnd
17		cmnmnd 19317	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ Mnd
19	14, 18	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd)
20		eliccxr 13096	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
21		mnfxr 10963	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → -∞ ∈ ℝ*)
23		0xr 10953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 0 ∈ ℝ*)
25		mnflt0 12790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ < 0
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → -∞ < 0)
27		pnfxr 10960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
29		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
30		iccgelb 13064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝑥)
31	24, 28, 29, 30	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑥)
32	22, 24, 20, 26, 31	xrltletrd 12824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → -∞ < 𝑥)
33	22, 20, 32	xrgtned 42751	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ≠ -∞)
34		nelsn 4598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≠ -∞ → ¬ 𝑥 ∈ {-∞})
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → ¬ 𝑥 ∈ {-∞})
36	20, 35	eldifd 3894	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
37	36	rgen 3073	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})
38		dfss3 3905	. . . . 5 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
39	37, 38	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
40		0e0iccpnf 13120	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
41	39, 40	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞))
42		difss 4062	. . . . 5 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
43	11, 7	ressbas2 16875	. . . . 5 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))))
44	42, 43	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
45	11	xrs10 20549	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
46		xrex 12656	. . . . . . 7 ⊢ ℝ* ∈ V
47		difexg 5246	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ* ∈ V → (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V)
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
49	41	simpli 483	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
50		ressabs 16885	. . . . . 6 ⊢ (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
51	48, 49, 50	mp2an 688	. . . . 5 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
52	6	eqcomi 2747	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = 𝐺
53	51, 52	eqtr2i 2767	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
54	44, 45, 53	submnd0 18329	. . 3 ⊢ ((((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) ∧ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞))) → 0 = (0g‘𝐺))
55	19, 41, 54	mp2an 688	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
56	16	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
57		gsumge0cl.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
58		gsumge0cl.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
59		gsumge0cl.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0)
60	10, 55, 56, 57, 58, 59	gsumcl 19431	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (0[,]+∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  {csn 4558   class class class wbr 5070  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   finSupp cfsupp 9058  0cc0 10802  +∞cpnf 10937  -∞cmnf 10938  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941  [,]cicc 13011  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  0_gc0g 17067   Σ_g cgsu 17068  ℝ^*_𝑠cxrs 17128  Mndcmnd 18300  CMndccmn 19301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-xadd 12778  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-xrs 17130  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-cntz 18838  df-cmn 19303

This theorem is referenced by:  sge0tsms  43808