Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumge0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumge0cl 42215
Description: Closure of group sum, for finitely supported nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumge0cl.1 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
gsumge0cl.2 (𝜑𝑋𝑉)
gsumge0cl.3 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
gsumge0cl.4 (𝜑𝐹 finSupp 0)
Assertion
Ref Expression
gsumge0cl (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem gsumge0cl
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12669 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 df-ss 3874 . . . . 5 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* ↔ ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (0[,]+∞))
31, 2mpbi 231 . . . 4 ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (0[,]+∞)
43eqcomi 2804 . . 3 (0[,]+∞) = ((0[,]+∞) ∩ ℝ*)
5 ovex 7048 . . . 4 (0[,]+∞) ∈ V
6 gsumge0cl.1 . . . . 5 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
7 xrsbas 20243 . . . . 5 * = (Base‘ℝ*𝑠)
86, 7ressbas 16383 . . . 4 ((0[,]+∞) ∈ V → ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (Base‘𝐺))
95, 8ax-mp 5 . . 3 ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (Base‘𝐺)
104, 9eqtri 2819 . 2 (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
11 eqid 2795 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
1211xrs1cmn 20267 . . . . 5 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ CMnd
13 cmnmnd 18648 . . . . 5 ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd)
1412, 13ax-mp 5 . . . 4 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd
15 xrge0cmn 20269 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
166, 15eqeltri 2879 . . . . 5 𝐺 ∈ CMnd
17 cmnmnd 18648 . . . . 5 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
1816, 17ax-mp 5 . . . 4 𝐺 ∈ Mnd
1914, 18pm3.2i 471 . . 3 ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd)
20 eliccxr 12673 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
21 mnfxr 10545 . . . . . . . . . 10 -∞ ∈ ℝ*
2221a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → -∞ ∈ ℝ*)
23 0xr 10534 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 0 ∈ ℝ*)
25 mnflt0 12370 . . . . . . . . . . 11 -∞ < 0
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → -∞ < 0)
27 pnfxr 10541 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
2827a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
29 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
30 iccgelb 12643 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝑥)
3124, 28, 29, 30syl3anc 1364 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑥)
3222, 24, 20, 26, 31xrltletrd 12404 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → -∞ < 𝑥)
3322, 20, 32xrgtned 41150 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ≠ -∞)
34 nelsn 4510 . . . . . . . 8 (𝑥 ≠ -∞ → ¬ 𝑥 ∈ {-∞})
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → ¬ 𝑥 ∈ {-∞})
3620, 35eldifd 3870 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
3736rgen 3115 . . . . 5 𝑥 ∈ (0[,]+∞)𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})
38 dfss3 3878 . . . . 5 ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
3937, 38mpbir 232 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
40 0e0iccpnf 12697 . . . 4 0 ∈ (0[,]+∞)
4139, 40pm3.2i 471 . . 3 ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞))
42 difss 4029 . . . . 5 (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
4311, 7ressbas2 16384 . . . . 5 ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))))
4442, 43ax-mp 5 . . . 4 (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
4511xrs10 20266 . . . 4 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
46 xrex 12236 . . . . . . 7 * ∈ V
47 difexg 5122 . . . . . . 7 (ℝ* ∈ V → (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V)
4846, 47ax-mp 5 . . . . . 6 (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
4941simpli 484 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
50 ressabs 16392 . . . . . 6 (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
5148, 49, 50mp2an 688 . . . . 5 ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
526eqcomi 2804 . . . . 5 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = 𝐺
5351, 52eqtr2i 2820 . . . 4 𝐺 = ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
5444, 45, 53submnd0 17759 . . 3 ((((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) ∧ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞))) → 0 = (0g𝐺))
5519, 41, 54mp2an 688 . 2 0 = (0g𝐺)
5616a1i 11 . 2 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
57 gsumge0cl.2 . 2 (𝜑𝑋𝑉)
58 gsumge0cl.3 . 2 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
59 gsumge0cl.4 . 2 (𝜑𝐹 finSupp 0)
6010, 55, 56, 57, 58, 59gsumcl 18756 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  wral 3105  Vcvv 3437  cdif 3856  cin 3858  wss 3859  {csn 4472   class class class wbr 4962  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016   finSupp cfsupp 8679  0cc0 10383  +∞cpnf 10518  -∞cmnf 10519  *cxr 10520   < clt 10521  cle 10522  [,]cicc 12591  Basecbs 16312  s cress 16313  0gc0g 16542   Σg cgsu 16543  *𝑠cxrs 16602  Mndcmnd 17733  CMndccmn 18633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-xadd 12358  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-hash 13541  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-xrs 16604  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-cntz 18188  df-cmn 18635
This theorem is referenced by:  sge0tsms  42224
  Copyright terms: Public domain W3C validator