Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumge0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumge0cl 45822
Description: Closure of group sum, for finitely supported nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumge0cl.1 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
gsumge0cl.2 (𝜑𝑋𝑉)
gsumge0cl.3 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
gsumge0cl.4 (𝜑𝐹 finSupp 0)
Assertion
Ref Expression
gsumge0cl (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem gsumge0cl
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13439 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 dfss2 3957 . . . . 5 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* ↔ ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (0[,]+∞))
31, 2mpbi 229 . . . 4 ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (0[,]+∞)
43eqcomi 2734 . . 3 (0[,]+∞) = ((0[,]+∞) ∩ ℝ*)
5 ovex 7449 . . . 4 (0[,]+∞) ∈ V
6 gsumge0cl.1 . . . . 5 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
7 xrsbas 21315 . . . . 5 * = (Base‘ℝ*𝑠)
86, 7ressbas 17214 . . . 4 ((0[,]+∞) ∈ V → ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (Base‘𝐺))
95, 8ax-mp 5 . . 3 ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (Base‘𝐺)
104, 9eqtri 2753 . 2 (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
11 eqid 2725 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
1211xrs1cmn 21343 . . . . 5 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ CMnd
13 cmnmnd 19756 . . . . 5 ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd)
1412, 13ax-mp 5 . . . 4 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd
15 xrge0cmn 21345 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
166, 15eqeltri 2821 . . . . 5 𝐺 ∈ CMnd
17 cmnmnd 19756 . . . . 5 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
1816, 17ax-mp 5 . . . 4 𝐺 ∈ Mnd
1914, 18pm3.2i 469 . . 3 ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd)
20 eliccxr 13444 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
21 mnfxr 11301 . . . . . . . . . 10 -∞ ∈ ℝ*
2221a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → -∞ ∈ ℝ*)
23 0xr 11291 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 0 ∈ ℝ*)
25 mnflt0 13137 . . . . . . . . . . 11 -∞ < 0
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → -∞ < 0)
27 pnfxr 11298 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
2827a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
29 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
30 iccgelb 13412 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝑥)
3124, 28, 29, 30syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑥)
3222, 24, 20, 26, 31xrltletrd 13172 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → -∞ < 𝑥)
3322, 20, 32xrgtned 44767 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ≠ -∞)
34 nelsn 4664 . . . . . . . 8 (𝑥 ≠ -∞ → ¬ 𝑥 ∈ {-∞})
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → ¬ 𝑥 ∈ {-∞})
3620, 35eldifd 3950 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
3736rgen 3053 . . . . 5 𝑥 ∈ (0[,]+∞)𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})
38 dfss3 3960 . . . . 5 ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
3937, 38mpbir 230 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
40 0e0iccpnf 13468 . . . 4 0 ∈ (0[,]+∞)
4139, 40pm3.2i 469 . . 3 ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞))
42 difss 4124 . . . . 5 (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
4311, 7ressbas2 17217 . . . . 5 ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))))
4442, 43ax-mp 5 . . . 4 (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
4511xrs10 21342 . . . 4 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
46 xrex 13001 . . . . . . 7 * ∈ V
47 difexg 5324 . . . . . . 7 (ℝ* ∈ V → (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V)
4846, 47ax-mp 5 . . . . . 6 (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
4941simpli 482 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
50 ressabs 17229 . . . . . 6 (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
5148, 49, 50mp2an 690 . . . . 5 ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
526eqcomi 2734 . . . . 5 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = 𝐺
5351, 52eqtr2i 2754 . . . 4 𝐺 = ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
5444, 45, 53submnd0 18722 . . 3 ((((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) ∧ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞))) → 0 = (0g𝐺))
5519, 41, 54mp2an 690 . 2 0 = (0g𝐺)
5616a1i 11 . 2 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
57 gsumge0cl.2 . 2 (𝜑𝑋𝑉)
58 gsumge0cl.3 . 2 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
59 gsumge0cl.4 . 2 (𝜑𝐹 finSupp 0)
6010, 55, 56, 57, 58, 59gsumcl 19874 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2930  wral 3051  Vcvv 3463  cdif 3936  cin 3938  wss 3939  {csn 4624   class class class wbr 5143  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7416   finSupp cfsupp 9385  0cc0 11138  +∞cpnf 11275  -∞cmnf 11276  *cxr 11277   < clt 11278  cle 11279  [,]cicc 13359  Basecbs 17179  s cress 17208  0gc0g 17420   Σg cgsu 17421  *𝑠cxrs 17481  Mndcmnd 18693  CMndccmn 19739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-xadd 13125  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-xrs 17483  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-cntz 19272  df-cmn 19741
This theorem is referenced by:  sge0tsms  45831
  Copyright terms: Public domain W3C validator