Theorem gsumge0cl 43584

Description: Closure of group sum, for finitely supported nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumge0cl.1	⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
gsumge0cl.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
gsumge0cl.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
gsumge0cl.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0)

Assertion

Ref	Expression
gsumge0cl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem gsumge0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13018	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		df-ss 3883	. . . . 5 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* ↔ ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (0[,]+∞))
3	1, 2	mpbi 233	. . . 4 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (0[,]+∞)
4	3	eqcomi 2746	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) = ((0[,]+∞) ∩ ℝ*)
5		ovex 7246	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
6		gsumge0cl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
7		xrsbas 20379	. . . . 5 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
8	6, 7	ressbas 16790	. . . 4 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (Base‘𝐺))
9	5, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (Base‘𝐺)
10	4, 9	eqtri 2765	. 2 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
11		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
12	11	xrs1cmn 20403	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ CMnd
13		cmnmnd 19186	. . . . 5 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd
15		xrge0cmn 20405	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
16	6, 15	eqeltri 2834	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ CMnd
17		cmnmnd 19186	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ Mnd
19	14, 18	pm3.2i 474	. . 3 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd)
20		eliccxr 13023	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
21		mnfxr 10890	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → -∞ ∈ ℝ*)
23		0xr 10880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 0 ∈ ℝ*)
25		mnflt0 12717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ < 0
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → -∞ < 0)
27		pnfxr 10887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
29		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
30		iccgelb 12991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝑥)
31	24, 28, 29, 30	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑥)
32	22, 24, 20, 26, 31	xrltletrd 12751	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → -∞ < 𝑥)
33	22, 20, 32	xrgtned 42534	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ≠ -∞)
34		nelsn 4581	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≠ -∞ → ¬ 𝑥 ∈ {-∞})
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → ¬ 𝑥 ∈ {-∞})
36	20, 35	eldifd 3877	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
37	36	rgen 3071	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})
38		dfss3 3888	. . . . 5 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
39	37, 38	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
40		0e0iccpnf 13047	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
41	39, 40	pm3.2i 474	. . 3 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞))
42		difss 4046	. . . . 5 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
43	11, 7	ressbas2 16791	. . . . 5 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))))
44	42, 43	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
45	11	xrs10 20402	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
46		xrex 12583	. . . . . . 7 ⊢ ℝ* ∈ V
47		difexg 5220	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ* ∈ V → (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V)
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
49	41	simpli 487	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
50		ressabs 16800	. . . . . 6 ⊢ (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
51	48, 49, 50	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
52	6	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = 𝐺
53	51, 52	eqtr2i 2766	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
54	44, 45, 53	submnd0 18202	. . 3 ⊢ ((((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) ∧ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞))) → 0 = (0g‘𝐺))
55	19, 41, 54	mp2an 692	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
56	16	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
57		gsumge0cl.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
58		gsumge0cl.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
59		gsumge0cl.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0)
60	10, 55, 56, 57, 58, 59	gsumcl 19300	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (0[,]+∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  Vcvv 3408   ∖ cdif 3863   ∩ cin 3865   ⊆ wss 3866  {csn 4541   class class class wbr 5053  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213   finSupp cfsupp 8985  0cc0 10729  +∞cpnf 10864  -∞cmnf 10865  ℝ^*cxr 10866   < clt 10867   ≤ cle 10868  [,]cicc 12938  Basecbs 16760   ↾_s cress 16784  0_gc0g 16944   Σ_g cgsu 16945  ℝ^*_𝑠cxrs 17005  Mndcmnd 18173  CMndccmn 19170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-xadd 12705  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-hash 13897  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-xrs 17007  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-cntz 18711  df-cmn 19172

This theorem is referenced by:  sge0tsms  43593