Theorem gsumge0cl 46400

Description: Closure of group sum, for finitely supported nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumge0cl.1	⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
gsumge0cl.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
gsumge0cl.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
gsumge0cl.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0)

Assertion

Ref	Expression
gsumge0cl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem gsumge0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13447	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		dfss2 3944	. . . . 5 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* ↔ ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (0[,]+∞))
3	1, 2	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (0[,]+∞)
4	3	eqcomi 2744	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) = ((0[,]+∞) ∩ ℝ*)
5		ovex 7438	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
6		gsumge0cl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
7		xrsbas 21346	. . . . 5 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
8	6, 7	ressbas 17257	. . . 4 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (Base‘𝐺))
9	5, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (Base‘𝐺)
10	4, 9	eqtri 2758	. 2 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
11		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
12	11	xrs1cmn 21374	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ CMnd
13		cmnmnd 19778	. . . . 5 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd
15		xrge0cmn 21376	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
16	6, 15	eqeltri 2830	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ CMnd
17		cmnmnd 19778	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ Mnd
19	14, 18	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd)
20		eliccxr 13452	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
21		mnfxr 11292	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → -∞ ∈ ℝ*)
23		0xr 11282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 0 ∈ ℝ*)
25		mnflt0 13141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ < 0
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → -∞ < 0)
27		pnfxr 11289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
29		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
30		iccgelb 13419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝑥)
31	24, 28, 29, 30	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑥)
32	22, 24, 20, 26, 31	xrltletrd 13177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → -∞ < 𝑥)
33	22, 20, 32	xrgtned 45349	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ≠ -∞)
34		nelsn 4642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≠ -∞ → ¬ 𝑥 ∈ {-∞})
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → ¬ 𝑥 ∈ {-∞})
36	20, 35	eldifd 3937	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
37	36	rgen 3053	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})
38		dfss3 3947	. . . . 5 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
39	37, 38	mpbir 231	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
40		0e0iccpnf 13476	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
41	39, 40	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞))
42		difss 4111	. . . . 5 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
43	11, 7	ressbas2 17259	. . . . 5 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))))
44	42, 43	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
45	11	xrs10 21373	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
46		xrex 13003	. . . . . . 7 ⊢ ℝ* ∈ V
47		difexg 5299	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ* ∈ V → (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V)
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
49	41	simpli 483	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
50		ressabs 17269	. . . . . 6 ⊢ (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
51	48, 49, 50	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
52	6	eqcomi 2744	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = 𝐺
53	51, 52	eqtr2i 2759	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
54	44, 45, 53	submnd0 18741	. . 3 ⊢ ((((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) ∧ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞))) → 0 = (0g‘𝐺))
55	19, 41, 54	mp2an 692	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
56	16	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
57		gsumge0cl.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
58		gsumge0cl.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
59		gsumge0cl.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0)
60	10, 55, 56, 57, 58, 59	gsumcl 19896	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (0[,]+∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  Vcvv 3459   ∖ cdif 3923   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  {csn 4601   class class class wbr 5119  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   finSupp cfsupp 9373  0cc0 11129  +∞cpnf 11266  -∞cmnf 11267  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270  [,]cicc 13365  Basecbs 17228   ↾_s cress 17251  0_gc0g 17453   Σ_g cgsu 17454  ℝ^*_𝑠cxrs 17514  Mndcmnd 18712  CMndccmn 19761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-xadd 13129  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-hash 14349  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-xrs 17516  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-cntz 19300  df-cmn 19763

This theorem is referenced by:  sge0tsms  46409