Theorem gsumge0cl 47517

Description: Closure of group sum, for finitely supported nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumge0cl.1	⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
gsumge0cl.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
gsumge0cl.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
gsumge0cl.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0)

Assertion

Ref	Expression
gsumge0cl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem gsumge0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13568	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		dfss2 4093	. . . . 5 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* ↔ ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (0[,]+∞))
3	1, 2	mpbi 233	. . . 4 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (0[,]+∞)
4	3	eqcomi 2769	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) = ((0[,]+∞) ∩ ℝ*)
5		ovex 7457	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
6		gsumge0cl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
7		xrsbas 17787	. . . . 5 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
8	6, 7	ressbas 17423	. . . 4 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (Base‘𝐺))
9	5, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (Base‘𝐺)
10	4, 9	eqtri 2783	. 2 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
11		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
12	11	xrs1cmn 21757	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ CMnd
13		cmnmnd 20020	. . . . 5 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd
15		xrge0cmn 21759	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
16	6, 15	eqeltri 2856	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ CMnd
17		cmnmnd 20020	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ Mnd
19	14, 18	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd)
20		eliccxr 13573	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
21		mnfxr 11373	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → -∞ ∈ ℝ*)
23		0xr 11363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 0 ∈ ℝ*)
25		mnflt0 13261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ < 0
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → -∞ < 0)
27		pnfxr 11370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
29		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
30		iccgelb 13540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝑥)
31	24, 28, 29, 30	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑥)
32	22, 24, 20, 26, 31	xrltletrd 13297	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → -∞ < 𝑥)
33	22, 20, 32	xrgtned 13300	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ≠ -∞)
34		nelsn 4623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≠ -∞ → ¬ 𝑥 ∈ {-∞})
35	33, 34	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → ¬ 𝑥 ∈ {-∞})
36	20, 35	eldifd 4049	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
37	36	rgen 3078	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})
38		dfss3 3898	. . . . 5 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
39	37, 38	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
40		0e0iccpnf 13597	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
41	39, 40	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞))
42		difss 4071	. . . . 5 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
43	11, 7	ressbas2 17425	. . . . 5 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))))
44	42, 43	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
45	11	xrs10 21756	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
46		xrex 13122	. . . . . . 7 ⊢ ℝ* ∈ V
47		difexg 5291	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ* ∈ V → (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V)
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
49	41	simpli 489	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
50		ressabs 17435	. . . . . 6 ⊢ (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
51	48, 49, 50	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
52	6	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = 𝐺
53	51, 52	eqtr2i 2784	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
54	44, 45, 53	submnd0 18965	. . 3 ⊢ ((((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) ∧ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞))) → 0 = (0g‘𝐺))
55	19, 41, 54	mp2an 705	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
56	16	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
57		gsumge0cl.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
58		gsumge0cl.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
59		gsumge0cl.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0)
60	10, 55, 56, 57, 58, 59	gsumcl 20138	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (0[,]+∞))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044   ∩ cin 4088  {csn 4584   class class class wbr 5102  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   finSupp cfsupp 9361  0cc0 11207  +∞cpnf 11347  -∞cmnf 11348  ℝ^*cxr 11349   < clt 11350   ≤ cle 11351  [,]cicc 13486  Basecbs 17396   ↾_s cress 17417  0_gc0g 17619   Σ_g cgsu 17620  ℝ^*_𝑠cxrs 17681  Mndcmnd 18932  CMndccmn 20003

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-xadd 13249  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-hash 14482  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-xrs 17683  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-cntz 19540  df-cmn 20005

This theorem is used by:  sge0tsms  47526