Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumge0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumge0cl 43025
 Description: Closure of group sum, for finitely supported nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumge0cl.1 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
gsumge0cl.2 (𝜑𝑋𝑉)
gsumge0cl.3 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
gsumge0cl.4 (𝜑𝐹 finSupp 0)
Assertion
Ref Expression
gsumge0cl (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem gsumge0cl
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12810 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 df-ss 3898 . . . . 5 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* ↔ ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (0[,]+∞))
31, 2mpbi 233 . . . 4 ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (0[,]+∞)
43eqcomi 2807 . . 3 (0[,]+∞) = ((0[,]+∞) ∩ ℝ*)
5 ovex 7168 . . . 4 (0[,]+∞) ∈ V
6 gsumge0cl.1 . . . . 5 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
7 xrsbas 20110 . . . . 5 * = (Base‘ℝ*𝑠)
86, 7ressbas 16548 . . . 4 ((0[,]+∞) ∈ V → ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (Base‘𝐺))
95, 8ax-mp 5 . . 3 ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (Base‘𝐺)
104, 9eqtri 2821 . 2 (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
11 eqid 2798 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
1211xrs1cmn 20134 . . . . 5 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ CMnd
13 cmnmnd 18917 . . . . 5 ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd)
1412, 13ax-mp 5 . . . 4 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd
15 xrge0cmn 20136 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
166, 15eqeltri 2886 . . . . 5 𝐺 ∈ CMnd
17 cmnmnd 18917 . . . . 5 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
1816, 17ax-mp 5 . . . 4 𝐺 ∈ Mnd
1914, 18pm3.2i 474 . . 3 ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd)
20 eliccxr 12815 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
21 mnfxr 10689 . . . . . . . . . 10 -∞ ∈ ℝ*
2221a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → -∞ ∈ ℝ*)
23 0xr 10679 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 0 ∈ ℝ*)
25 mnflt0 12510 . . . . . . . . . . 11 -∞ < 0
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → -∞ < 0)
27 pnfxr 10686 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
2827a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
29 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
30 iccgelb 12783 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝑥)
3124, 28, 29, 30syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑥)
3222, 24, 20, 26, 31xrltletrd 12544 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → -∞ < 𝑥)
3322, 20, 32xrgtned 41969 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ≠ -∞)
34 nelsn 4565 . . . . . . . 8 (𝑥 ≠ -∞ → ¬ 𝑥 ∈ {-∞})
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → ¬ 𝑥 ∈ {-∞})
3620, 35eldifd 3892 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
3736rgen 3116 . . . . 5 𝑥 ∈ (0[,]+∞)𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})
38 dfss3 3903 . . . . 5 ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
3937, 38mpbir 234 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
40 0e0iccpnf 12839 . . . 4 0 ∈ (0[,]+∞)
4139, 40pm3.2i 474 . . 3 ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞))
42 difss 4059 . . . . 5 (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
4311, 7ressbas2 16549 . . . . 5 ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))))
4442, 43ax-mp 5 . . . 4 (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
4511xrs10 20133 . . . 4 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
46 xrex 12376 . . . . . . 7 * ∈ V
47 difexg 5195 . . . . . . 7 (ℝ* ∈ V → (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V)
4846, 47ax-mp 5 . . . . . 6 (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
4941simpli 487 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
50 ressabs 16557 . . . . . 6 (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
5148, 49, 50mp2an 691 . . . . 5 ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
526eqcomi 2807 . . . . 5 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = 𝐺
5351, 52eqtr2i 2822 . . . 4 𝐺 = ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
5444, 45, 53submnd0 17934 . . 3 ((((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) ∧ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞))) → 0 = (0g𝐺))
5519, 41, 54mp2an 691 . 2 0 = (0g𝐺)
5616a1i 11 . 2 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
57 gsumge0cl.2 . 2 (𝜑𝑋𝑉)
58 gsumge0cl.3 . 2 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
59 gsumge0cl.4 . 2 (𝜑𝐹 finSupp 0)
6010, 55, 56, 57, 58, 59gsumcl 19031 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (0[,]+∞))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  {csn 4525   class class class wbr 5030  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   finSupp cfsupp 8819  0cc0 10528  +∞cpnf 10663  -∞cmnf 10664  ℝ*cxr 10665   < clt 10666   ≤ cle 10667  [,]cicc 12731  Basecbs 16477   ↾s cress 16478  0gc0g 16707   Σg cgsu 16708  ℝ*𝑠cxrs 16767  Mndcmnd 17905  CMndccmn 18901 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-supp 7816  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-fsupp 8820  df-oi 8960  df-card 9354  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-4 11692  df-5 11693  df-6 11694  df-7 11695  df-8 11696  df-9 11697  df-n0 11888  df-z 11972  df-dec 12089  df-uz 12234  df-xadd 12498  df-icc 12735  df-fz 12888  df-fzo 13031  df-seq 13367  df-hash 13689  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-xrs 16769  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-cntz 18442  df-cmn 18903 This theorem is referenced by:  sge0tsms  43034
 Copyright terms: Public domain W3C validator