Theorem xrltned 45598

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltned.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltned	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem xrltned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltned.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xrltned.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
4	1, 2, 3	xrgtned 13078	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
5	4	necomd 2987	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   class class class wbr 5098  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171

This theorem is referenced by:  infxr  45607  infleinflem2  45611  xrpnf  45725  pimxrneun  45728  ge0lere  45774  liminflbuz2  46055  liminflimsupxrre  46057  ioorrnopnxrlem  46546  sge0hsphoire  46829  hoidmv1lelem1  46831  hoidmv1lelem2  46832  hoidmv1lelem3  46833  hoidmvlelem1  46835  hoidmvlelem4  46838  pimiooltgt  46950