Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrltned Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrltned 45306
Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
xrltned.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrltned.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
xrltned.3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
xrltned (𝜑𝐴𝐵)

Proof of Theorem xrltned
StepHypRef Expression
1 xrltned.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2 xrltned.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3 xrltned.3 . . 3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
41, 2, 3xrgtned 45271 . 2 (𝜑𝐵𝐴)
54necomd 2993 1 (𝜑𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  wne 2937   class class class wbr 5147  *cxr 11291   < clt 11292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297
This theorem is referenced by:  infxr  45316  infleinflem2  45320  xrpnf  45435  pimxrneun  45438  ge0lere  45484  liminflbuz2  45770  liminflimsupxrre  45772  ioorrnopnxrlem  46261  sge0hsphoire  46544  hoidmv1lelem1  46546  hoidmv1lelem2  46547  hoidmv1lelem3  46548  hoidmvlelem1  46550  hoidmvlelem4  46553  pimiooltgt  46665
  Copyright terms: Public domain W3C validator