Theorem xrltned 45395

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltned.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltned	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem xrltned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltned.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xrltned.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
4	1, 2, 3	xrgtned 45360	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
5	4	necomd 2983	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5091  ℝ^*cxr 11142   < clt 11143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148

This theorem is referenced by:  infxr  45404  infleinflem2  45408  xrpnf  45522  pimxrneun  45525  ge0lere  45571  liminflbuz2  45852  liminflimsupxrre  45854  ioorrnopnxrlem  46343  sge0hsphoire  46626  hoidmv1lelem1  46628  hoidmv1lelem2  46629  hoidmv1lelem3  46630  hoidmvlelem1  46632  hoidmvlelem4  46635  pimiooltgt  46747