Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrltned Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrltned 45368
Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
xrltned.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrltned.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
xrltned.3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
xrltned (𝜑𝐴𝐵)

Proof of Theorem xrltned
StepHypRef Expression
1 xrltned.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2 xrltned.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3 xrltned.3 . . 3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
41, 2, 3xrgtned 45333 . 2 (𝜑𝐵𝐴)
54necomd 2996 1 (𝜑𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  *cxr 11294   < clt 11295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300
This theorem is referenced by:  infxr  45378  infleinflem2  45382  xrpnf  45496  pimxrneun  45499  ge0lere  45545  liminflbuz2  45830  liminflimsupxrre  45832  ioorrnopnxrlem  46321  sge0hsphoire  46604  hoidmv1lelem1  46606  hoidmv1lelem2  46607  hoidmv1lelem3  46608  hoidmvlelem1  46610  hoidmvlelem4  46613  pimiooltgt  46725
  Copyright terms: Public domain W3C validator