Theorem xrltned 45480

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltned.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltned	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem xrltned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltned.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xrltned.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
4	1, 2, 3	xrgtned 45445	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
5	4	necomd 2984	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   class class class wbr 5093  ℝ^*cxr 11152   < clt 11153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158

This theorem is referenced by:  infxr  45489  infleinflem2  45493  xrpnf  45607  pimxrneun  45610  ge0lere  45656  liminflbuz2  45937  liminflimsupxrre  45939  ioorrnopnxrlem  46428  sge0hsphoire  46711  hoidmv1lelem1  46713  hoidmv1lelem2  46714  hoidmv1lelem3  46715  hoidmvlelem1  46717  hoidmvlelem4  46720  pimiooltgt  46832