Theorem xrltned 45710

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltned.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltned	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem xrltned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltned.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xrltned.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrltned.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
4	1, 2, 3	xrgtned 13090	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
5	4	necomd 2988	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183

This theorem is referenced by:  infxr  45719  infleinflem2  45723  xrpnf  45837  pimxrneun  45840  ge0lere  45886  liminflbuz2  46167  liminflimsupxrre  46169  ioorrnopnxrlem  46658  sge0hsphoire  46941  hoidmv1lelem1  46943  hoidmv1lelem2  46944  hoidmv1lelem3  46945  hoidmvlelem1  46947  hoidmvlelem4  46950  pimiooltgt  47062