Theorem vietadeg1 33968

Description: The degree of a product of 𝐻 of linear polynomials of the form 𝑋 − 𝑍 is 𝐻. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
vieta.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
vieta.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
vieta.3	⊢ − = (-g‘𝑊)
vieta.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑊)
vieta.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
vieta.e	⊢ 𝐸 = (𝐼eSymPoly𝑅)
vieta.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
vieta.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
vieta.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
vieta.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
vieta.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
vieta.p	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
vieta.h	⊢ 𝐻 = (♯‘𝐼)
vieta.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
vieta.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
vieta.z	⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶𝐵)
vieta.f	⊢ 𝐹 = (𝑀 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))))
vietadeg1.1	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
vietadeg1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = 𝐻)

Distinct variable groups:   − ,𝑛   𝐴,𝑛   𝑛,𝐼   𝑛,𝑋   𝑛,𝑍   𝐷,𝑛   𝑛,𝑊   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑄(𝑛)   𝑅(𝑛)   · (𝑛)   1 (𝑛)   𝐸(𝑛)   ↑ (𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem vietadeg1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vieta.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑀 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))))
2	1	fveq2i 6884	. 2 ⊢ (𝐷‘𝐹) = (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))))
3		vietadeg1.1	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
4		vieta.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6		vieta.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑊)
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
8		vieta.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
9		vieta.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
10		vieta.3	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝑊)
11	9	idomringd 20826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	4	ply1ring 22407	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
13		ringgrp 20315	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Grp)
14	11, 12, 13	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
15	14	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑊 ∈ Grp)
16		vieta.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
17	16, 4, 5	vr1cl 22377	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
18	11, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
19	18	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
20		vieta.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
21		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
22		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
23	9	idomcringd 20825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
24	4	ply1assa 22359	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑊 ∈ AssAlg)
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
26	25	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑊 ∈ AssAlg)
27		vieta.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶𝐵)
28	27	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍‘𝑛) ∈ 𝐵)
29		vieta.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
30	4	ply1sca 22412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
31	9, 30	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
32	31	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
33	29, 32	eqtrid 2810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
34	33	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
35	28, 34	eleqtrd 2865	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍‘𝑛) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
36	20, 21, 22, 26, 35	asclelbas 22033	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐴‘(𝑍‘𝑛)) ∈ (Base‘𝑊))
37	5, 10, 15, 19, 36	grpsubcld 33361	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ∈ (Base‘𝑊))
38	9	idomdomd 20824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
39		domnnzr 20805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
40	38, 39	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
41	3, 4, 16, 40	deg1vr 33882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = 1)
42	41	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) = 1)
43	3, 4, 5	deg1cl 26240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑊) → (𝐷‘𝑋) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
44	18, 43	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
45	44	nn0mnfxrd 33096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) ∈ ℝ*)
46	45	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) ∈ ℝ*)
47	42, 46	eqeltrrd 2864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 1 ∈ ℝ*)
48	44	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
49		0zd 12598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 0 ∈ ℤ)
50	15	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Grp)
51	19	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
52	36	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐴‘(𝑍‘𝑛)) ∈ (Base‘𝑊))
53		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊))
54	5, 7, 10	grpsubeq0 19087	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐴‘(𝑍‘𝑛)) ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊) ↔ 𝑋 = (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))
55	54	biimpa 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐴‘(𝑍‘𝑛)) ∈ (Base‘𝑊)) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 𝑋 = (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))
56	50, 51, 52, 53, 55	syl31anc 1400	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 𝑋 = (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))
57	56	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) = (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))))
58	11	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
59	3, 4, 29, 20	deg1sclle 26269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑍‘𝑛) ∈ 𝐵) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ≤ 0)
60	58, 28, 59	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ≤ 0)
61	60	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ≤ 0)
62	57, 61	eqbrtrd 5133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) ≤ 0)
63		degltp1le 26230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷‘𝑋) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝐷‘𝑋) < (0 + 1) ↔ (𝐷‘𝑋) ≤ 0))
64	63	biimpar 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷‘𝑋) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (𝐷‘𝑋) ≤ 0) → (𝐷‘𝑋) < (0 + 1))
65	48, 49, 62, 64	syl21anc 850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) < (0 + 1))
66		0p1e1 12356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 1) = 1
67	65, 66	breqtrdi 5152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) < 1)
68	46, 47, 67	xrgtned 13184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 1 ≠ (𝐷‘𝑋))
69	68	necomd 3013	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) ≠ 1)
70	69	neneqd 2963	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → ¬ (𝐷‘𝑋) = 1)
71	42, 70	pm2.65da 828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ¬ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊))
72	71	neqned 2965	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ≠ (0g‘𝑊))
73	37, 72	eldifsnd 4755	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
74	73	fmpttd 7110	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))):𝐼⟶((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
75	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 74	deg1prod 33873	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))))) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 (𝐷‘((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))‘𝑘)))
76		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))
77		2fveq3 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴‘(𝑍‘𝑛)) = (𝐴‘(𝑍‘𝑘)))
78	77	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘))))
79		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝑘 ∈ 𝐼)
80		ovexd 7445	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘))) ∈ V)
81	76, 78, 79, 80	fvmptd3 7013	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))‘𝑘) = (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘))))
82	81	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐷‘((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))‘𝑘)) = (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘)))))
83	3, 4, 5	deg1xrcl 26239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴‘(𝑍‘𝑛)) ∈ (Base‘𝑊) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ∈ ℝ*)
84	36, 83	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ∈ ℝ*)
85		0xr 11251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ*
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ℝ*)
87		1xr 11263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ*
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 1 ∈ ℝ*)
89		0lt1 11731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 1
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 0 < 1)
91	84, 86, 88, 60, 90	xrlelttrd 13180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) < 1)
92	41	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘𝑋) = 1)
93	91, 92	breqtrrd 5139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) < (𝐷‘𝑋))
94	4, 3, 58, 5, 10, 19, 36, 93	deg1sub 26265	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))) = (𝐷‘𝑋))
95	94, 92	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))) = 1)
96	95	ralrimiva 3157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))) = 1)
97	78	fveqeq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))) = 1 ↔ (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘)))) = 1))
98	97	cbvralvw 3243	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))) = 1 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘)))) = 1)
99	96, 98	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘)))) = 1)
100	99	r19.21bi 3257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘)))) = 1)
101	82, 100	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐷‘((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))‘𝑘)) = 1)
102	101	sumeq2dv 15749	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐼 (𝐷‘((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 1)
103		1cnd 11197	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
104		fsumconst 15837	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ 𝐼 1 = ((♯‘𝐼) · 1))
105	8, 103, 104	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐼 1 = ((♯‘𝐼) · 1))
106		hashcl 14388	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
107	8, 106	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
108	107	nn0cnd 12562	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℂ)
109	108	mulridd 11221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼) · 1) = (♯‘𝐼))
110		vieta.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (♯‘𝐼)
111	109, 110	eqtr4di 2816	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼) · 1) = 𝐻)
112	102, 105, 111	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐼 (𝐷‘((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))‘𝑘)) = 𝐻)
113	75, 112	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))))) = 𝐻)
114	2, 113	eqtrid 2810	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903  {csn 4589   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  ℂcc 11093  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100  -∞cmnf 11236  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238   ≤ cle 11239  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  ♯chash 14362  Σcsu 15733  Basecbs 17264  ._rcmulr 17306  Scalarcsca 17308  0_gc0g 17487   Σ_g cgsu 17488  Grpcgrp 18995  inv_gcminusg 18996  -_gcsg 18997  ._gcmg 19128  mulGrpcmgp 20211  1_rcur 20258  Ringcrg 20310  CRingccrg 20311  NzRingcnzr 20609  Domncdomn 20791  IDomncidom 20792  AssAlgcasa 22000  algSccascl 22002   eval cevl 22224  var₁cv1 22336  Poly₁cpl1 22337  deg₁cdg1 26211  eSymPolycesply 33946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-sum 15734  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-prds 17495  df-pws 17497  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-mulg 19129  df-subg 19184  df-ghm 19279  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-cring 20313  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-nzr 20610  df-subrng 20645  df-subrg 20669  df-rlreg 20793  df-domn 20794  df-idom 20795  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-cnfld 21523  df-assa 22003  df-ascl 22005  df-psr 22059  df-mvr 22060  df-mpl 22061  df-opsr 22063  df-psr1 22340  df-vr1 22341  df-ply1 22342  df-coe1 22343  df-mdeg 26212  df-deg1 26213

This theorem is referenced by:  vieta  33970