Theorem vietadeg1 34203

Description: The degree of a product of 𝐻 of linear polynomials of the form 𝑋 − 𝑍 is 𝐻. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
vieta.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
vieta.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
vieta.3	⊢ − = (-g‘𝑊)
vieta.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑊)
vieta.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
vieta.e	⊢ 𝐸 = (𝐼eSymPoly𝑅)
vieta.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
vieta.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
vieta.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
vieta.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
vieta.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
vieta.p	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
vieta.h	⊢ 𝐻 = (♯‘𝐼)
vieta.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
vieta.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
vieta.z	⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶𝐵)
vieta.f	⊢ 𝐹 = (𝑀 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))))
vietadeg1.1	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
vietadeg1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = 𝐻)

Distinct variable groups:   − ,𝑛   𝐴,𝑛   𝑛,𝐼   𝑛,𝑋   𝑛,𝑍   𝐷,𝑛   𝑛,𝑊   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑄(𝑛)   𝑅(𝑛)   · (𝑛)   1 (𝑛)   𝐸(𝑛)   ↑ (𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem vietadeg1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vieta.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑀 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))))
2	1	fveq2i 6886	. 2 ⊢ (𝐷‘𝐹) = (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))))
3		vietadeg1.1	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
4		vieta.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
5		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6		vieta.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑊)
7		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
8		vieta.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
9		vieta.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
10		vieta.3	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝑊)
11	9	idomringd 20972	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	4	ply1ring 22558	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
13		ringgrp 20457	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Grp)
14	11, 12, 13	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
15	14	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑊 ∈ Grp)
16		vieta.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
17	16, 4, 5	vr1cl 22528	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
18	11, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
19	18	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
20		vieta.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
21		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
22		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
23	9	idomcringd 20971	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
24	4	ply1assa 22510	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑊 ∈ AssAlg)
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
26	25	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑊 ∈ AssAlg)
27		vieta.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶𝐵)
28	27	ffvelcdmda 7082	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍‘𝑛) ∈ 𝐵)
29		vieta.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
30	4	ply1sca 22563	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
31	9, 30	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
32	31	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
33	29, 32	eqtrid 2808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
34	33	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
35	28, 34	eleqtrd 2863	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍‘𝑛) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
36	20, 21, 22, 26, 35	asclelbas 22184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐴‘(𝑍‘𝑛)) ∈ (Base‘𝑊))
37	5, 10, 15, 19, 36	grpsubcld 33595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ∈ (Base‘𝑊))
38	9	idomdomd 20970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
39		domnnzr 20951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
40	38, 39	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
41	3, 4, 16, 40	deg1vr 34117	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = 1)
42	41	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) = 1)
43	3, 4, 5	deg1cl 26394	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑊) → (𝐷‘𝑋) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
44	18, 43	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
45	44	nn0mnfxrd 33336	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) ∈ ℝ*)
46	45	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) ∈ ℝ*)
47	42, 46	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 1 ∈ ℝ*)
48	44	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
49		0zd 12698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 0 ∈ ℤ)
50	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Grp)
51	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
52	36	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐴‘(𝑍‘𝑛)) ∈ (Base‘𝑊))
53		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊))
54	5, 7, 10	grpsubeq0 19229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐴‘(𝑍‘𝑛)) ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊) ↔ 𝑋 = (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))
55	54	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐴‘(𝑍‘𝑛)) ∈ (Base‘𝑊)) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 𝑋 = (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))
56	50, 51, 52, 53, 55	syl31anc 1400	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 𝑋 = (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))
57	56	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) = (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))))
58	11	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
59	3, 4, 29, 20	deg1sclle 26423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑍‘𝑛) ∈ 𝐵) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ≤ 0)
60	58, 28, 59	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ≤ 0)
61	60	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ≤ 0)
62	57, 61	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) ≤ 0)
63		degltp1le 26384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷‘𝑋) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝐷‘𝑋) < (0 + 1) ↔ (𝐷‘𝑋) ≤ 0))
64	63	biimpar 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷‘𝑋) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (𝐷‘𝑋) ≤ 0) → (𝐷‘𝑋) < (0 + 1))
65	48, 49, 62, 64	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) < (0 + 1))
66		0p1e1 12456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 1) = 1
67	65, 66	breqtrdi 5146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) < 1)
68	46, 47, 67	xrgtned 13286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 1 ≠ (𝐷‘𝑋))
69	68	necomd 3011	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) ≠ 1)
70	69	neneqd 2961	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → ¬ (𝐷‘𝑋) = 1)
71	42, 70	pm2.65da 829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ¬ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊))
72	71	neqned 2963	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ≠ (0g‘𝑊))
73	37, 72	eldifsnd 4750	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
74	73	fmpttd 7113	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))):𝐼⟶((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
75	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 74	deg1prod 34108	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))))) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 (𝐷‘((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))‘𝑘)))
76		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))
77		2fveq3 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴‘(𝑍‘𝑛)) = (𝐴‘(𝑍‘𝑘)))
78	77	oveq2d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘))))
79		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝑘 ∈ 𝐼)
80		ovexd 7453	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘))) ∈ V)
81	76, 78, 79, 80	fvmptd3 7015	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))‘𝑘) = (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘))))
82	81	fveq2d 6887	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐷‘((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))‘𝑘)) = (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘)))))
83	3, 4, 5	deg1xrcl 26393	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴‘(𝑍‘𝑛)) ∈ (Base‘𝑊) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ∈ ℝ*)
84	36, 83	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ∈ ℝ*)
85		0xr 11349	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ*
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ℝ*)
87		1xr 11361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ*
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 1 ∈ ℝ*)
89		0lt1 11831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 1
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 0 < 1)
91	84, 86, 88, 60, 90	xrlelttrd 13282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) < 1)
92	41	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘𝑋) = 1)
93	91, 92	breqtrrd 5133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) < (𝐷‘𝑋))
94	4, 3, 58, 5, 10, 19, 36, 93	deg1sub 26419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))) = (𝐷‘𝑋))
95	94, 92	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))) = 1)
96	95	ralrimiva 3155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))) = 1)
97	78	fveqeq2d 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))) = 1 ↔ (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘)))) = 1))
98	97	cbvralvw 3241	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))) = 1 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘)))) = 1)
99	96, 98	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘)))) = 1)
100	99	r19.21bi 3255	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘)))) = 1)
101	82, 100	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐷‘((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))‘𝑘)) = 1)
102	101	sumeq2dv 15862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐼 (𝐷‘((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 1)
103		1cnd 11295	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
104		fsumconst 15949	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ 𝐼 1 = ((♯‘𝐼) · 1))
105	8, 103, 104	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐼 1 = ((♯‘𝐼) · 1))
106		hashcl 14493	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
107	8, 106	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
108	107	nn0cnd 12662	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℂ)
109	108	mulridd 11319	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼) · 1) = (♯‘𝐼))
110		vieta.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (♯‘𝐼)
111	109, 110	eqtr4di 2814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼) · 1) = 𝐻)
112	102, 105, 111	3eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐼 (𝐷‘((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))‘𝑘)) = 𝐻)
113	75, 112	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))))) = 𝐻)
114	2, 113	eqtrid 2808	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = 𝐻)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Fincfn 8966  ℂcc 11191  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   · cmul 11198  -∞cmnf 11334  ℝ^*cxr 11335   < clt 11336   ≤ cle 11337  ℕ₀cn0 12599  ℤcz 12686  ♯chash 14467  Σcsu 15846  Basecbs 17380  ._rcmulr 17422  Scalarcsca 17424  0_gc0g 17603   Σ_g cgsu 17604  Grpcgrp 19137  inv_gcminusg 19138  -_gcsg 19139  ._gcmg 19270  mulGrpcmgp 20353  1_rcur 20400  Ringcrg 20452  CRingccrg 20453  NzRingcnzr 20755  Domncdomn 20937  IDomncidom 20938  AssAlgcasa 22151  algSccascl 22153   eval cevl 22375  var₁cv1 22487  Poly₁cpl1 22488  deg₁cdg1 26365  eSymPolycesply 34181

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-addf 11272

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-tpos 8236  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-sup 9427  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-exp 14198  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-clim 15648  df-sum 15847  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-hom 17445  df-cco 17446  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-prds 17611  df-pws 17613  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-mhm 18971  df-submnd 18972  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-mulg 19271  df-subg 19326  df-ghm 19421  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-ring 20454  df-cring 20455  df-oppr 20560  df-dvdsr 20580  df-unit 20581  df-invr 20611  df-nzr 20756  df-subrng 20791  df-subrg 20815  df-rlreg 20939  df-domn 20940  df-idom 20941  df-lmod 21130  df-lss 21200  df-cnfld 21672  df-assa 22154  df-ascl 22156  df-psr 22210  df-mvr 22211  df-mpl 22212  df-opsr 22214  df-psr1 22491  df-vr1 22492  df-ply1 22493  df-coe1 22494  df-mdeg 26366  df-deg1 26367

This theorem is used by:  vieta  34205