Theorem vietadeg1 34088

Description: The degree of a product of 𝐻 of linear polynomials of the form 𝑋 − 𝑍 is 𝐻. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
vieta.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
vieta.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
vieta.3	⊢ − = (-g‘𝑊)
vieta.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑊)
vieta.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
vieta.e	⊢ 𝐸 = (𝐼eSymPoly𝑅)
vieta.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
vieta.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
vieta.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
vieta.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
vieta.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
vieta.p	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
vieta.h	⊢ 𝐻 = (♯‘𝐼)
vieta.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
vieta.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
vieta.z	⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶𝐵)
vieta.f	⊢ 𝐹 = (𝑀 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))))
vietadeg1.1	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
vietadeg1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = 𝐻)

Distinct variable groups:   − ,𝑛   𝐴,𝑛   𝑛,𝐼   𝑛,𝑋   𝑛,𝑍   𝐷,𝑛   𝑛,𝑊   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑄(𝑛)   𝑅(𝑛)   · (𝑛)   1 (𝑛)   𝐸(𝑛)   ↑ (𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem vietadeg1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vieta.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑀 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))))
2	1	fveq2i 6881	. 2 ⊢ (𝐷‘𝐹) = (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))))
3		vietadeg1.1	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
4		vieta.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6		vieta.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑊)
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
8		vieta.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
9		vieta.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
10		vieta.3	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝑊)
11	9	idomringd 20889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	4	ply1ring 22472	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
13		ringgrp 20377	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Grp)
14	11, 12, 13	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
15	14	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑊 ∈ Grp)
16		vieta.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
17	16, 4, 5	vr1cl 22442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
18	11, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
19	18	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
20		vieta.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
21		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
22		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
23	9	idomcringd 20888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
24	4	ply1assa 22424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑊 ∈ AssAlg)
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
26	25	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑊 ∈ AssAlg)
27		vieta.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶𝐵)
28	27	ffvelcdmda 7077	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍‘𝑛) ∈ 𝐵)
29		vieta.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
30	4	ply1sca 22477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
31	9, 30	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
32	31	fveq2d 6882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
33	29, 32	eqtrid 2807	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
34	33	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
35	28, 34	eleqtrd 2862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍‘𝑛) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
36	20, 21, 22, 26, 35	asclelbas 22098	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐴‘(𝑍‘𝑛)) ∈ (Base‘𝑊))
37	5, 10, 15, 19, 36	grpsubcld 33481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ∈ (Base‘𝑊))
38	9	idomdomd 20887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
39		domnnzr 20868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
40	38, 39	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
41	3, 4, 16, 40	deg1vr 34002	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = 1)
42	41	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) = 1)
43	3, 4, 5	deg1cl 26308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑊) → (𝐷‘𝑋) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
44	18, 43	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
45	44	nn0mnfxrd 33222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) ∈ ℝ*)
46	45	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) ∈ ℝ*)
47	42, 46	eqeltrrd 2861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 1 ∈ ℝ*)
48	44	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
49		0zd 12627	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 0 ∈ ℤ)
50	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Grp)
51	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
52	36	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐴‘(𝑍‘𝑛)) ∈ (Base‘𝑊))
53		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊))
54	5, 7, 10	grpsubeq0 19149	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐴‘(𝑍‘𝑛)) ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊) ↔ 𝑋 = (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))
55	54	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐴‘(𝑍‘𝑛)) ∈ (Base‘𝑊)) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 𝑋 = (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))
56	50, 51, 52, 53, 55	syl31anc 1400	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 𝑋 = (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))
57	56	fveq2d 6882	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) = (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))))
58	11	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
59	3, 4, 29, 20	deg1sclle 26337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑍‘𝑛) ∈ 𝐵) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ≤ 0)
60	58, 28, 59	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ≤ 0)
61	60	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ≤ 0)
62	57, 61	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) ≤ 0)
63		degltp1le 26298	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷‘𝑋) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝐷‘𝑋) < (0 + 1) ↔ (𝐷‘𝑋) ≤ 0))
64	63	biimpar 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷‘𝑋) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (𝐷‘𝑋) ≤ 0) → (𝐷‘𝑋) < (0 + 1))
65	48, 49, 62, 64	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) < (0 + 1))
66		0p1e1 12385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 1) = 1
67	65, 66	breqtrdi 5146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) < 1)
68	46, 47, 67	xrgtned 13215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 1 ≠ (𝐷‘𝑋))
69	68	necomd 3010	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) ≠ 1)
70	69	neneqd 2960	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → ¬ (𝐷‘𝑋) = 1)
71	42, 70	pm2.65da 829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ¬ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊))
72	71	neqned 2962	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ≠ (0g‘𝑊))
73	37, 72	eldifsnd 4750	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
74	73	fmpttd 7108	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))):𝐼⟶((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
75	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 74	deg1prod 33993	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))))) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 (𝐷‘((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))‘𝑘)))
76		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))
77		2fveq3 6883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴‘(𝑍‘𝑛)) = (𝐴‘(𝑍‘𝑘)))
78	77	oveq2d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘))))
79		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝑘 ∈ 𝐼)
80		ovexd 7448	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘))) ∈ V)
81	76, 78, 79, 80	fvmptd3 7010	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))‘𝑘) = (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘))))
82	81	fveq2d 6882	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐷‘((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))‘𝑘)) = (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘)))))
83	3, 4, 5	deg1xrcl 26307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴‘(𝑍‘𝑛)) ∈ (Base‘𝑊) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ∈ ℝ*)
84	36, 83	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ∈ ℝ*)
85		0xr 11280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ*
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ℝ*)
87		1xr 11292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ*
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 1 ∈ ℝ*)
89		0lt1 11760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 1
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 0 < 1)
91	84, 86, 88, 60, 90	xrlelttrd 13211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) < 1)
92	41	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘𝑋) = 1)
93	91, 92	breqtrrd 5133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) < (𝐷‘𝑋))
94	4, 3, 58, 5, 10, 19, 36, 93	deg1sub 26333	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))) = (𝐷‘𝑋))
95	94, 92	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))) = 1)
96	95	ralrimiva 3154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))) = 1)
97	78	fveqeq2d 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))) = 1 ↔ (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘)))) = 1))
98	97	cbvralvw 3240	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))) = 1 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘)))) = 1)
99	96, 98	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘)))) = 1)
100	99	r19.21bi 3254	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘)))) = 1)
101	82, 100	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐷‘((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))‘𝑘)) = 1)
102	101	sumeq2dv 15789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐼 (𝐷‘((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 1)
103		1cnd 11226	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
104		fsumconst 15876	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ 𝐼 1 = ((♯‘𝐼) · 1))
105	8, 103, 104	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐼 1 = ((♯‘𝐼) · 1))
106		hashcl 14420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
107	8, 106	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
108	107	nn0cnd 12591	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℂ)
109	108	mulridd 11250	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼) · 1) = (♯‘𝐼))
110		vieta.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (♯‘𝐼)
111	109, 110	eqtr4di 2813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼) · 1) = 𝐻)
112	102, 105, 111	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐼 (𝐷‘((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))‘𝑘)) = 𝐻)
113	75, 112	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))))) = 𝐻)
114	2, 113	eqtrid 2807	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = 𝐻)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Fincfn 8952  ℂcc 11122  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129  -∞cmnf 11265  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ♯chash 14394  Σcsu 15773  Basecbs 17301  ._rcmulr 17343  Scalarcsca 17345  0_gc0g 17524   Σ_g cgsu 17525  Grpcgrp 19057  inv_gcminusg 19058  -_gcsg 19059  ._gcmg 19190  mulGrpcmgp 20273  1_rcur 20320  Ringcrg 20372  CRingccrg 20373  NzRingcnzr 20672  Domncdomn 20854  IDomncidom 20855  AssAlgcasa 22065  algSccascl 22067   eval cevl 22289  var₁cv1 22401  Poly₁cpl1 22402  deg₁cdg1 26279  eSymPolycesply 34066

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-ofr 7679  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-sum 15774  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-prds 17532  df-pws 17534  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18891  df-submnd 18892  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-mulg 19191  df-subg 19246  df-ghm 19341  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-cring 20375  df-oppr 20478  df-dvdsr 20498  df-unit 20499  df-invr 20529  df-nzr 20673  df-subrng 20708  df-subrg 20732  df-rlreg 20856  df-domn 20857  df-idom 20858  df-lmod 21046  df-lss 21116  df-cnfld 21586  df-assa 22068  df-ascl 22070  df-psr 22124  df-mvr 22125  df-mpl 22126  df-opsr 22128  df-psr1 22405  df-vr1 22406  df-ply1 22407  df-coe1 22408  df-mdeg 26280  df-deg1 26281

This theorem is used by:  vieta  34090