Theorem vietadeg1 34008

Description: The degree of a product of 𝐻 of linear polynomials of the form 𝑋 − 𝑍 is 𝐻. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
vieta.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
vieta.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
vieta.3	⊢ − = (-g‘𝑊)
vieta.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑊)
vieta.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
vieta.e	⊢ 𝐸 = (𝐼eSymPoly𝑅)
vieta.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
vieta.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
vieta.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
vieta.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
vieta.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
vieta.p	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
vieta.h	⊢ 𝐻 = (♯‘𝐼)
vieta.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
vieta.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
vieta.z	⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶𝐵)
vieta.f	⊢ 𝐹 = (𝑀 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))))
vietadeg1.1	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
vietadeg1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = 𝐻)

Distinct variable groups:   − ,𝑛   𝐴,𝑛   𝑛,𝐼   𝑛,𝑋   𝑛,𝑍   𝐷,𝑛   𝑛,𝑊   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑄(𝑛)   𝑅(𝑛)   · (𝑛)   1 (𝑛)   𝐸(𝑛)   ↑ (𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem vietadeg1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vieta.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑀 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))))
2	1	fveq2i 6888	. 2 ⊢ (𝐷‘𝐹) = (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))))
3		vietadeg1.1	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
4		vieta.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
5		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6		vieta.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑊)
7		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
8		vieta.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
9		vieta.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
10		vieta.3	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝑊)
11	9	idomringd 20856	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	4	ply1ring 22437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
13		ringgrp 20344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Grp)
14	11, 12, 13	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
15	14	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑊 ∈ Grp)
16		vieta.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
17	16, 4, 5	vr1cl 22407	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
18	11, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
19	18	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
20		vieta.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
21		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
22		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
23	9	idomcringd 20855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
24	4	ply1assa 22389	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑊 ∈ AssAlg)
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
26	25	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑊 ∈ AssAlg)
27		vieta.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶𝐵)
28	27	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍‘𝑛) ∈ 𝐵)
29		vieta.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
30	4	ply1sca 22442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
31	9, 30	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
32	31	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
33	29, 32	eqtrid 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
34	33	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
35	28, 34	eleqtrd 2867	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍‘𝑛) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
36	20, 21, 22, 26, 35	asclelbas 22063	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐴‘(𝑍‘𝑛)) ∈ (Base‘𝑊))
37	5, 10, 15, 19, 36	grpsubcld 33401	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ∈ (Base‘𝑊))
38	9	idomdomd 20854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
39		domnnzr 20835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
40	38, 39	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
41	3, 4, 16, 40	deg1vr 33922	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = 1)
42	41	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) = 1)
43	3, 4, 5	deg1cl 26271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑊) → (𝐷‘𝑋) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
44	18, 43	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
45	44	nn0mnfxrd 33142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) ∈ ℝ*)
46	45	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) ∈ ℝ*)
47	42, 46	eqeltrrd 2866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 1 ∈ ℝ*)
48	44	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
49		0zd 12614	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 0 ∈ ℤ)
50	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Grp)
51	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
52	36	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐴‘(𝑍‘𝑛)) ∈ (Base‘𝑊))
53		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊))
54	5, 7, 10	grpsubeq0 19116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐴‘(𝑍‘𝑛)) ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊) ↔ 𝑋 = (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))
55	54	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐴‘(𝑍‘𝑛)) ∈ (Base‘𝑊)) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 𝑋 = (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))
56	50, 51, 52, 53, 55	syl31anc 1400	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 𝑋 = (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))
57	56	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) = (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))))
58	11	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
59	3, 4, 29, 20	deg1sclle 26300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑍‘𝑛) ∈ 𝐵) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ≤ 0)
60	58, 28, 59	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ≤ 0)
61	60	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ≤ 0)
62	57, 61	eqbrtrd 5135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) ≤ 0)
63		degltp1le 26261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷‘𝑋) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝐷‘𝑋) < (0 + 1) ↔ (𝐷‘𝑋) ≤ 0))
64	63	biimpar 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷‘𝑋) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (𝐷‘𝑋) ≤ 0) → (𝐷‘𝑋) < (0 + 1))
65	48, 49, 62, 64	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) < (0 + 1))
66		0p1e1 12372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 1) = 1
67	65, 66	breqtrdi 5154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) < 1)
68	46, 47, 67	xrgtned 13201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 1 ≠ (𝐷‘𝑋))
69	68	necomd 3015	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) ≠ 1)
70	69	neneqd 2965	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → ¬ (𝐷‘𝑋) = 1)
71	42, 70	pm2.65da 829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ¬ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊))
72	71	neqned 2967	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ≠ (0g‘𝑊))
73	37, 72	eldifsnd 4757	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
74	73	fmpttd 7114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))):𝐼⟶((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
75	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 74	deg1prod 33913	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))))) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 (𝐷‘((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))‘𝑘)))
76		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))
77		2fveq3 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴‘(𝑍‘𝑛)) = (𝐴‘(𝑍‘𝑘)))
78	77	oveq2d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘))))
79		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝑘 ∈ 𝐼)
80		ovexd 7451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘))) ∈ V)
81	76, 78, 79, 80	fvmptd3 7017	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))‘𝑘) = (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘))))
82	81	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐷‘((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))‘𝑘)) = (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘)))))
83	3, 4, 5	deg1xrcl 26270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴‘(𝑍‘𝑛)) ∈ (Base‘𝑊) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ∈ ℝ*)
84	36, 83	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ∈ ℝ*)
85		0xr 11267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ*
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ℝ*)
87		1xr 11279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ*
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 1 ∈ ℝ*)
89		0lt1 11747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 1
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 0 < 1)
91	84, 86, 88, 60, 90	xrlelttrd 13197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) < 1)
92	41	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘𝑋) = 1)
93	91, 92	breqtrrd 5141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) < (𝐷‘𝑋))
94	4, 3, 58, 5, 10, 19, 36, 93	deg1sub 26296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))) = (𝐷‘𝑋))
95	94, 92	eqtrd 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))) = 1)
96	95	ralrimiva 3159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))) = 1)
97	78	fveqeq2d 6893	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))) = 1 ↔ (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘)))) = 1))
98	97	cbvralvw 3245	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))) = 1 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘)))) = 1)
99	96, 98	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘)))) = 1)
100	99	r19.21bi 3259	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘)))) = 1)
101	82, 100	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐷‘((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))‘𝑘)) = 1)
102	101	sumeq2dv 15773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐼 (𝐷‘((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 1)
103		1cnd 11213	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
104		fsumconst 15860	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ 𝐼 1 = ((♯‘𝐼) · 1))
105	8, 103, 104	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐼 1 = ((♯‘𝐼) · 1))
106		hashcl 14406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
107	8, 106	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
108	107	nn0cnd 12578	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℂ)
109	108	mulridd 11237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼) · 1) = (♯‘𝐼))
110		vieta.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (♯‘𝐼)
111	109, 110	eqtr4di 2818	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼) · 1) = 𝐻)
112	102, 105, 111	3eqtrd 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐼 (𝐷‘((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))‘𝑘)) = 𝐻)
113	75, 112	eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))))) = 𝐻)
114	2, 113	eqtrid 2812	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = 𝐻)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904  {csn 4591   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Fincfn 8945  ℂcc 11109  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116  -∞cmnf 11252  ℝ^*cxr 11253   < clt 11254   ≤ cle 11255  ℕ₀cn0 12515  ℤcz 12602  ♯chash 14380  Σcsu 15757  Basecbs 17287  ._rcmulr 17329  Scalarcsca 17331  0_gc0g 17510   Σ_g cgsu 17511  Grpcgrp 19024  inv_gcminusg 19025  -_gcsg 19026  ._gcmg 19157  mulGrpcmgp 20240  1_rcur 20287  Ringcrg 20339  CRingccrg 20340  NzRingcnzr 20639  Domncdomn 20821  IDomncidom 20822  AssAlgcasa 22030  algSccascl 22032   eval cevl 22254  var₁cv1 22366  Poly₁cpl1 22367  deg₁cdg1 26242  eSymPolycesply 33986

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189  ax-addf 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-ofr 7681  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-sup 9405  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-seq 14052  df-exp 14112  df-hash 14381  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-clim 15559  df-sum 15758  df-struct 17225  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-starv 17343  df-sca 17344  df-vsca 17345  df-ip 17346  df-tset 17347  df-ple 17348  df-ds 17350  df-unif 17351  df-hom 17352  df-cco 17353  df-0g 17512  df-gsum 17513  df-prds 17518  df-pws 17520  df-mre 17656  df-mrc 17657  df-acs 17659  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-mhm 18865  df-submnd 18866  df-grp 19027  df-minusg 19028  df-sbg 19029  df-mulg 19158  df-subg 19213  df-ghm 19308  df-cntz 19411  df-cmn 19876  df-abl 19877  df-mgp 20241  df-rng 20255  df-ur 20288  df-ring 20341  df-cring 20342  df-oppr 20445  df-dvdsr 20465  df-unit 20466  df-invr 20496  df-nzr 20640  df-subrng 20675  df-subrg 20699  df-rlreg 20823  df-domn 20824  df-idom 20825  df-lmod 21013  df-lss 21083  df-cnfld 21553  df-assa 22033  df-ascl 22035  df-psr 22089  df-mvr 22090  df-mpl 22091  df-opsr 22093  df-psr1 22370  df-vr1 22371  df-ply1 22372  df-coe1 22373  df-mdeg 26243  df-deg1 26244

This theorem is used by:  vieta  34010