Theorem vietadeg1 34260

Description: The degree of a product of 𝐻 of linear polynomials of the form 𝑋 − 𝑍 is 𝐻. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
vieta.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
vieta.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
vieta.3	⊢ − = (-g‘𝑊)
vieta.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑊)
vieta.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
vieta.e	⊢ 𝐸 = (𝐼eSymPoly𝑅)
vieta.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
vieta.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
vieta.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
vieta.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
vieta.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
vieta.p	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
vieta.h	⊢ 𝐻 = (♯‘𝐼)
vieta.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
vieta.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
vieta.z	⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶𝐵)
vieta.f	⊢ 𝐹 = (𝑀 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))))
vietadeg1.1	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
vietadeg1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = 𝐻)

Distinct variable groups:   − ,𝑛   𝐴,𝑛   𝑛,𝐼   𝑛,𝑋   𝑛,𝑍   𝐷,𝑛   𝑛,𝑊   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑄(𝑛)   𝑅(𝑛)   · (𝑛)   1 (𝑛)   𝐸(𝑛)   ↑ (𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem vietadeg1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vieta.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑀 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))))
2	1	fveq2i 6893	. 2 ⊢ (𝐷‘𝐹) = (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))))
3		vietadeg1.1	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
4		vieta.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6		vieta.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑊)
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
8		vieta.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
9		vieta.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
10		vieta.3	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝑊)
11	9	idomringd 20988	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	4	ply1ring 22574	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
13		ringgrp 20473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Grp)
14	11, 12, 13	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
15	14	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑊 ∈ Grp)
16		vieta.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
17	16, 4, 5	vr1cl 22544	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
18	11, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
19	18	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
20		vieta.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
21		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
22		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
23	9	idomcringd 20987	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
24	4	ply1assa 22526	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑊 ∈ AssAlg)
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
26	25	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑊 ∈ AssAlg)
27		vieta.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶𝐵)
28	27	ffvelcdmda 7089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍‘𝑛) ∈ 𝐵)
29		vieta.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
30	4	ply1sca 22579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
31	9, 30	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
32	31	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
33	29, 32	eqtrid 2807	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
34	33	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
35	28, 34	eleqtrd 2862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑍‘𝑛) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
36	20, 21, 22, 26, 35	asclelbas 22200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐴‘(𝑍‘𝑛)) ∈ (Base‘𝑊))
37	5, 10, 15, 19, 36	grpsubcld 33652	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ∈ (Base‘𝑊))
38	9	idomdomd 20986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
39		domnnzr 20967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
40	38, 39	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
41	3, 4, 16, 40	deg1vr 34174	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = 1)
42	41	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) = 1)
43	3, 4, 5	deg1cl 26410	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑊) → (𝐷‘𝑋) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
44	18, 43	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
45	44	nn0mnfxrd 33393	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) ∈ ℝ*)
46	45	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) ∈ ℝ*)
47	42, 46	eqeltrrd 2861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 1 ∈ ℝ*)
48	44	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
49		0zd 12712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 0 ∈ ℤ)
50	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Grp)
51	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
52	36	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐴‘(𝑍‘𝑛)) ∈ (Base‘𝑊))
53		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊))
54	5, 7, 10	grpsubeq0 19245	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐴‘(𝑍‘𝑛)) ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊) ↔ 𝑋 = (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))
55	54	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐴‘(𝑍‘𝑛)) ∈ (Base‘𝑊)) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 𝑋 = (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))
56	50, 51, 52, 53, 55	syl31anc 1400	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 𝑋 = (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))
57	56	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) = (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))))
58	11	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
59	3, 4, 29, 20	deg1sclle 26439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑍‘𝑛) ∈ 𝐵) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ≤ 0)
60	58, 28, 59	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ≤ 0)
61	60	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ≤ 0)
62	57, 61	eqbrtrd 5126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) ≤ 0)
63		degltp1le 26400	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷‘𝑋) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝐷‘𝑋) < (0 + 1) ↔ (𝐷‘𝑋) ≤ 0))
64	63	biimpar 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷‘𝑋) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (𝐷‘𝑋) ≤ 0) → (𝐷‘𝑋) < (0 + 1))
65	48, 49, 62, 64	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) < (0 + 1))
66		0p1e1 12470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 1) = 1
67	65, 66	breqtrdi 5145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) < 1)
68	46, 47, 67	xrgtned 13300	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → 1 ≠ (𝐷‘𝑋))
69	68	necomd 3010	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → (𝐷‘𝑋) ≠ 1)
70	69	neneqd 2960	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊)) → ¬ (𝐷‘𝑋) = 1)
71	42, 70	pm2.65da 829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ¬ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (0g‘𝑊))
72	71	neqned 2962	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ≠ (0g‘𝑊))
73	37, 72	eldifsnd 4746	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
74	73	fmpttd 7120	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))):𝐼⟶((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
75	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 74	deg1prod 34165	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))))) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 (𝐷‘((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))‘𝑘)))
76		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))
77		2fveq3 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴‘(𝑍‘𝑛)) = (𝐴‘(𝑍‘𝑘)))
78	77	oveq2d 7440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))) = (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘))))
79		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝑘 ∈ 𝐼)
80		ovexd 7459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘))) ∈ V)
81	76, 78, 79, 80	fvmptd3 7022	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))‘𝑘) = (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘))))
82	81	fveq2d 6894	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐷‘((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))‘𝑘)) = (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘)))))
83	3, 4, 5	deg1xrcl 26409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴‘(𝑍‘𝑛)) ∈ (Base‘𝑊) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ∈ ℝ*)
84	36, 83	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) ∈ ℝ*)
85		0xr 11363	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ*
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ℝ*)
87		1xr 11375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ*
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 1 ∈ ℝ*)
89		0lt1 11845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 1
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 0 < 1)
91	84, 86, 88, 60, 90	xrlelttrd 13296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) < 1)
92	41	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘𝑋) = 1)
93	91, 92	breqtrrd 5132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝐴‘(𝑍‘𝑛))) < (𝐷‘𝑋))
94	4, 3, 58, 5, 10, 19, 36, 93	deg1sub 26435	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))) = (𝐷‘𝑋))
95	94, 92	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))) = 1)
96	95	ralrimiva 3154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))) = 1)
97	78	fveqeq2d 6898	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))) = 1 ↔ (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘)))) = 1))
98	97	cbvralvw 3240	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐼 (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))) = 1 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘)))) = 1)
99	96, 98	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘)))) = 1)
100	99	r19.21bi 3254	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐷‘(𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑘)))) = 1)
101	82, 100	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐷‘((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))‘𝑘)) = 1)
102	101	sumeq2dv 15878	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐼 (𝐷‘((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 1)
103		1cnd 11309	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
104		fsumconst 15965	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ 𝐼 1 = ((♯‘𝐼) · 1))
105	8, 103, 104	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐼 1 = ((♯‘𝐼) · 1))
106		hashcl 14507	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
107	8, 106	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
108	107	nn0cnd 12676	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℂ)
109	108	mulridd 11333	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼) · 1) = (♯‘𝐼))
110		vieta.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (♯‘𝐼)
111	109, 110	eqtr4di 2813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼) · 1) = 𝐻)
112	102, 105, 111	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐼 (𝐷‘((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛))))‘𝑘)) = 𝐻)
113	75, 112	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 Σg (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 − (𝐴‘(𝑍‘𝑛)))))) = 𝐻)
114	2, 113	eqtrid 2807	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = 𝐻)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ∖ cdif 4044   ∪ cun 4148  {csn 4584   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Fincfn 8980  ℂcc 11205  0cc0 11207  1c1 11208   + caddc 11210   · cmul 11212  -∞cmnf 11348  ℝ^*cxr 11349   < clt 11350   ≤ cle 11351  ℕ₀cn0 12613  ℤcz 12700  ♯chash 14481  Σcsu 15862  Basecbs 17396  ._rcmulr 17438  Scalarcsca 17440  0_gc0g 17619   Σ_g cgsu 17620  Grpcgrp 19153  inv_gcminusg 19154  -_gcsg 19155  ._gcmg 19286  mulGrpcmgp 20369  1_rcur 20416  Ringcrg 20468  CRingccrg 20469  NzRingcnzr 20771  Domncdomn 20953  IDomncidom 20954  AssAlgcasa 22167  algSccascl 22169   eval cevl 22391  var₁cv1 22503  Poly₁cpl1 22504  deg₁cdg1 26381  eSymPolycesply 34238

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8184  df-tpos 8250  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8724  df-map 8856  df-pm 8857  df-ixp 8933  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-fsupp 9361  df-sup 9441  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-rp 13128  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-exp 14212  df-hash 14482  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-clim 15664  df-sum 15863  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-hom 17461  df-cco 17462  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-prds 17627  df-pws 17629  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-mhm 18987  df-submnd 18988  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-mulg 19287  df-subg 19342  df-ghm 19437  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-rng 20384  df-ur 20417  df-ring 20470  df-cring 20471  df-oppr 20576  df-dvdsr 20596  df-unit 20597  df-invr 20627  df-nzr 20772  df-subrng 20807  df-subrg 20831  df-rlreg 20955  df-domn 20956  df-idom 20957  df-lmod 21146  df-lss 21216  df-cnfld 21688  df-assa 22170  df-ascl 22172  df-psr 22226  df-mvr 22227  df-mpl 22228  df-opsr 22230  df-psr1 22507  df-vr1 22508  df-ply1 22509  df-coe1 22510  df-mdeg 26382  df-deg1 26383

This theorem is used by:  vieta  34262