Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioorrnopnxrlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorrnopnxrlem 46321
Description: Given a point 𝐹 that belongs to an indexed product of (possibly unbounded) open intervals, then 𝐹 belongs to an open product of bounded open intervals that's a subset of the original indexed product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ioorrnopnxrlem.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ioorrnopnxrlem.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ*)
ioorrnopnxrlem.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ*)
ioorrnopnxrlem.f (𝜑𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
ioorrnopnxrlem.l 𝐿 = (𝑖𝑋 ↦ if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)))
ioorrnopnxrlem.r 𝑅 = (𝑖𝑋 ↦ if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)))
ioorrnopnxrlem.v 𝑉 = X𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖))
Assertion
Ref Expression
ioorrnopnxrlem (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝐹𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐵   𝑖,𝐹,𝑣   𝑖,𝐿   𝑅,𝑖   𝑣,𝑉   𝑖,𝑋,𝑣   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝑅(𝑣)   𝐿(𝑣)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem ioorrnopnxrlem
StepHypRef Expression
1 ioorrnopnxrlem.v . . . 4 𝑉 = X𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖))
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝑉 = X𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)))
3 ioorrnopnxrlem.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
4 iftrue 4531 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑖) = -∞ → if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)) = ((𝐹𝑖) − 1))
54adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)) = ((𝐹𝑖) − 1))
6 ioorrnopnxrlem.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
76adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
8 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
9 fvixp2 45204 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
107, 8, 9syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
1110elioored 45562 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
12 1red 11262 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → 1 ∈ ℝ)
1311, 12resubcld 11691 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − 1) ∈ ℝ)
1413adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → ((𝐹𝑖) − 1) ∈ ℝ)
155, 14eqeltrd 2841 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
16 iffalse 4534 . . . . . . . 8 (¬ (𝐴𝑖) = -∞ → if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)) = (𝐴𝑖))
1716adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)) = (𝐴𝑖))
18 neqne 2948 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐴𝑖) = -∞ → (𝐴𝑖) ≠ -∞)
1918adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) ≠ -∞)
20 ioorrnopnxrlem.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ*)
2120ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
2221adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) ≠ -∞) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
23 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) ≠ -∞) → (𝐴𝑖) ≠ -∞)
24 pnfxr 11315 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
2524a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → +∞ ∈ ℝ*)
2611rexrd 11311 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ*)
27 ioorrnopnxrlem.b . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ*)
2827ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ*)
29 ioogtlb 45508 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → (𝐴𝑖) < (𝐹𝑖))
3021, 28, 10, 29syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) < (𝐹𝑖))
3111ltpnfd 13163 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) < +∞)
3221, 26, 25, 30, 31xrlttrd 13201 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) < +∞)
3321, 25, 32xrltned 45368 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ≠ +∞)
3433adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) ≠ -∞) → (𝐴𝑖) ≠ +∞)
3522, 23, 34xrred 45376 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) ≠ -∞) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
3619, 35syldan 591 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
3717, 36eqeltrd 2841 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
3815, 37pm2.61dan 813 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑋) → if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
39 ioorrnopnxrlem.l . . . . 5 𝐿 = (𝑖𝑋 ↦ if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)))
4038, 39fmptd 7134 . . . 4 (𝜑𝐿:𝑋⟶ℝ)
41 iftrue 4531 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑖) = +∞ → if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)) = ((𝐹𝑖) + 1))
4241adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)) = ((𝐹𝑖) + 1))
4311, 12readdcld 11290 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) + 1) ∈ ℝ)
4443adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → ((𝐹𝑖) + 1) ∈ ℝ)
4542, 44eqeltrd 2841 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
46 iffalse 4534 . . . . . . . 8 (¬ (𝐵𝑖) = +∞ → if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)) = (𝐵𝑖))
4746adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)) = (𝐵𝑖))
48 neqne 2948 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐵𝑖) = +∞ → (𝐵𝑖) ≠ +∞)
4948adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐵𝑖) ≠ +∞)
5028adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) ≠ +∞) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ*)
51 mnfxr 11318 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
5251a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → -∞ ∈ ℝ*)
5311mnfltd 13166 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → -∞ < (𝐹𝑖))
54 iooltub 45523 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → (𝐹𝑖) < (𝐵𝑖))
5521, 28, 10, 54syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) < (𝐵𝑖))
5652, 26, 28, 53, 55xrlttrd 13201 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → -∞ < (𝐵𝑖))
5752, 28, 56xrgtned 45333 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ≠ -∞)
5857adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) ≠ +∞) → (𝐵𝑖) ≠ -∞)
59 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) ≠ +∞) → (𝐵𝑖) ≠ +∞)
6050, 58, 59xrred 45376 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) ≠ +∞) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
6149, 60syldan 591 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
6247, 61eqeltrd 2841 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
6345, 62pm2.61dan 813 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑋) → if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
64 ioorrnopnxrlem.r . . . . 5 𝑅 = (𝑖𝑋 ↦ if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)))
6563, 64fmptd 7134 . . . 4 (𝜑𝑅:𝑋⟶ℝ)
663, 40, 65ioorrnopn 46320 . . 3 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
672, 66eqeltrd 2841 . 2 (𝜑𝑉 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
686elexd 3504 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ V)
69 ixpfn 8943 . . . . . . 7 (𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) → 𝐹 Fn 𝑋)
706, 69syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
7140ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐿𝑖) ∈ ℝ)
7271rexrd 11311 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐿𝑖) ∈ ℝ*)
7365ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑅𝑖) ∈ ℝ)
7473rexrd 11311 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑅𝑖) ∈ ℝ*)
7539a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 = (𝑖𝑋 ↦ if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖))))
7638elexd 3504 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)) ∈ V)
7775, 76fvmpt2d 7029 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐿𝑖) = if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)))
7877adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐿𝑖) = if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)))
7978, 5eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐿𝑖) = ((𝐹𝑖) − 1))
8011ltm1d 12200 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − 1) < (𝐹𝑖))
8180adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → ((𝐹𝑖) − 1) < (𝐹𝑖))
8279, 81eqbrtrd 5165 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐿𝑖) < (𝐹𝑖))
8377adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐿𝑖) = if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)))
8483, 17eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐿𝑖) = (𝐴𝑖))
8530adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) < (𝐹𝑖))
8684, 85eqbrtrd 5165 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐿𝑖) < (𝐹𝑖))
8782, 86pm2.61dan 813 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐿𝑖) < (𝐹𝑖))
8811ltp1d 12198 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) < ((𝐹𝑖) + 1))
8988adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐹𝑖) < ((𝐹𝑖) + 1))
9064a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 = (𝑖𝑋 ↦ if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖))))
9163elexd 3504 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)) ∈ V)
9290, 91fvmpt2d 7029 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑅𝑖) = if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)))
9392adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) = if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)))
9493, 42eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) = ((𝐹𝑖) + 1))
9594eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → ((𝐹𝑖) + 1) = (𝑅𝑖))
9689, 95breqtrd 5169 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐹𝑖) < (𝑅𝑖))
9755adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐹𝑖) < (𝐵𝑖))
9892adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) = if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)))
9998, 47eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) = (𝐵𝑖))
10099eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐵𝑖) = (𝑅𝑖))
10197, 100breqtrd 5169 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐹𝑖) < (𝑅𝑖))
10296, 101pm2.61dan 813 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) < (𝑅𝑖))
10372, 74, 11, 87, 102eliood 45511 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)))
104103ralrimiva 3146 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑖𝑋 (𝐹𝑖) ∈ ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)))
10568, 70, 1043jca 1129 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝐹𝑖) ∈ ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖))))
106 elixp2 8941 . . . . 5 (𝐹X𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝐹𝑖) ∈ ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖))))
107105, 106sylibr 234 . . . 4 (𝜑𝐹X𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)))
108107, 1eleqtrrdi 2852 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
10921adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
11072adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐿𝑖) ∈ ℝ*)
11115mnfltd 13166 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → -∞ < if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)))
112111, 5breqtrd 5169 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → -∞ < ((𝐹𝑖) − 1))
113 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) = -∞)
114113, 79breq12d 5156 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → ((𝐴𝑖) < (𝐿𝑖) ↔ -∞ < ((𝐹𝑖) − 1)))
115112, 114mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) < (𝐿𝑖))
116109, 110, 115xrltled 13192 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) ≤ (𝐿𝑖))
11784eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) = (𝐿𝑖))
11836, 117eqled 11364 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) ≤ (𝐿𝑖))
119116, 118pm2.61dan 813 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ≤ (𝐿𝑖))
12074adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) ∈ ℝ*)
12128adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ*)
12244ltpnfd 13163 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → ((𝐹𝑖) + 1) < +∞)
123 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐵𝑖) = +∞)
12494, 123breq12d 5156 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → ((𝑅𝑖) < (𝐵𝑖) ↔ ((𝐹𝑖) + 1) < +∞))
125122, 124mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) < (𝐵𝑖))
126120, 121, 125xrltled 13192 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) ≤ (𝐵𝑖))
12773adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) ∈ ℝ)
128127, 99eqled 11364 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) ≤ (𝐵𝑖))
129126, 128pm2.61dan 813 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑅𝑖) ≤ (𝐵𝑖))
130 ioossioo 13481 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴𝑖) ≤ (𝐿𝑖) ∧ (𝑅𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) → ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)) ⊆ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
13121, 28, 119, 129, 130syl22anc 839 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)) ⊆ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
132131ralrimiva 3146 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)) ⊆ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
133 ss2ixp 8950 . . . . 5 (∀𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)) ⊆ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) → X𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)) ⊆ X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
134132, 133syl 17 . . . 4 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)) ⊆ X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
1352, 134eqsstrd 4018 . . 3 (𝜑𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
136108, 135jca 511 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑉𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
137 eleq2 2830 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 → (𝐹𝑣𝐹𝑉))
138 sseq1 4009 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 → (𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ↔ 𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
139137, 138anbi12d 632 . . 3 (𝑣 = 𝑉 → ((𝐹𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) ↔ (𝐹𝑉𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))))
140139rspcev 3622 . 2 ((𝑉 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∧ (𝐹𝑉𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝐹𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
14167, 136, 140syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝐹𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  wss 3951  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Xcixp 8937  Fincfn 8985  cr 11154  1c1 11156   + caddc 11158  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  (,)cioo 13387  TopOpenctopn 17466  ℝ^crrx 25417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-field 20732  df-abv 20810  df-staf 20840  df-srng 20841  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lmhm 21021  df-lvec 21102  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-refld 21623  df-phl 21644  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-tng 24597  df-nrg 24598  df-nlm 24599  df-clm 25096  df-cph 25202  df-tcph 25203  df-rrx 25419
This theorem is referenced by:  ioorrnopnxr  46322
  Copyright terms: Public domain W3C validator