Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioorrnopnxrlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorrnopnxrlem 41010
Description: Given a point 𝐹 that belongs to an indexed product of (possibly unbounded) open intervals, then 𝐹 belongs to an open product of bounded open intervals that's a subset of the original indexed product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ioorrnopnxrlem.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ioorrnopnxrlem.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ*)
ioorrnopnxrlem.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ*)
ioorrnopnxrlem.f (𝜑𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
ioorrnopnxrlem.l 𝐿 = (𝑖𝑋 ↦ if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)))
ioorrnopnxrlem.r 𝑅 = (𝑖𝑋 ↦ if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)))
ioorrnopnxrlem.v 𝑉 = X𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖))
Assertion
Ref Expression
ioorrnopnxrlem (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝐹𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐵   𝑖,𝐹,𝑣   𝑖,𝐿   𝑅,𝑖   𝑣,𝑉   𝑖,𝑋,𝑣   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝑅(𝑣)   𝐿(𝑣)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem ioorrnopnxrlem
StepHypRef Expression
1 ioorrnopnxrlem.v . . . 4 𝑉 = X𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖))
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝑉 = X𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)))
3 ioorrnopnxrlem.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
4 iftrue 4296 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑖) = -∞ → if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)) = ((𝐹𝑖) − 1))
54adantl 469 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)) = ((𝐹𝑖) − 1))
6 ioorrnopnxrlem.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
76adantr 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
8 simpr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
9 fvixp2 39882 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
107, 8, 9syl2anc 575 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
1110elioored 40261 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
12 1red 10333 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → 1 ∈ ℝ)
1311, 12resubcld 10750 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − 1) ∈ ℝ)
1413adantr 468 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → ((𝐹𝑖) − 1) ∈ ℝ)
155, 14eqeltrd 2896 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
16 iffalse 4299 . . . . . . . 8 (¬ (𝐴𝑖) = -∞ → if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)) = (𝐴𝑖))
1716adantl 469 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)) = (𝐴𝑖))
18 neqne 2997 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐴𝑖) = -∞ → (𝐴𝑖) ≠ -∞)
1918adantl 469 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) ≠ -∞)
20 ioorrnopnxrlem.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ*)
2120ffvelrnda 6588 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
2221adantr 468 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) ≠ -∞) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
23 simpr 473 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) ≠ -∞) → (𝐴𝑖) ≠ -∞)
24 pnfxr 10384 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
2524a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → +∞ ∈ ℝ*)
2611rexrd 10381 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ*)
27 ioorrnopnxrlem.b . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ*)
2827ffvelrnda 6588 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ*)
29 ioogtlb 40206 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → (𝐴𝑖) < (𝐹𝑖))
3021, 28, 10, 29syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) < (𝐹𝑖))
3111ltpnfd 12178 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) < +∞)
3221, 26, 25, 30, 31xrlttrd 12215 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) < +∞)
3321, 25, 32xrltned 40058 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ≠ +∞)
3433adantr 468 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) ≠ -∞) → (𝐴𝑖) ≠ +∞)
3522, 23, 34xrred 40066 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) ≠ -∞) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
3619, 35syldan 581 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
3717, 36eqeltrd 2896 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
3815, 37pm2.61dan 838 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑋) → if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)) ∈ ℝ)
39 ioorrnopnxrlem.l . . . . 5 𝐿 = (𝑖𝑋 ↦ if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)))
4038, 39fmptd 6613 . . . 4 (𝜑𝐿:𝑋⟶ℝ)
41 iftrue 4296 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑖) = +∞ → if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)) = ((𝐹𝑖) + 1))
4241adantl 469 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)) = ((𝐹𝑖) + 1))
4311, 12readdcld 10361 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) + 1) ∈ ℝ)
4443adantr 468 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → ((𝐹𝑖) + 1) ∈ ℝ)
4542, 44eqeltrd 2896 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
46 iffalse 4299 . . . . . . . 8 (¬ (𝐵𝑖) = +∞ → if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)) = (𝐵𝑖))
4746adantl 469 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)) = (𝐵𝑖))
48 neqne 2997 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐵𝑖) = +∞ → (𝐵𝑖) ≠ +∞)
4948adantl 469 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐵𝑖) ≠ +∞)
5028adantr 468 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) ≠ +∞) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ*)
51 mnfxr 10388 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
5251a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → -∞ ∈ ℝ*)
5311mnfltd 12181 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → -∞ < (𝐹𝑖))
54 iooltub 40222 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑖) ∈ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → (𝐹𝑖) < (𝐵𝑖))
5521, 28, 10, 54syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) < (𝐵𝑖))
5652, 26, 28, 53, 55xrlttrd 12215 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → -∞ < (𝐵𝑖))
5752, 28, 56xrgtned 40023 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ≠ -∞)
5857adantr 468 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) ≠ +∞) → (𝐵𝑖) ≠ -∞)
59 simpr 473 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) ≠ +∞) → (𝐵𝑖) ≠ +∞)
6050, 58, 59xrred 40066 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) ≠ +∞) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
6149, 60syldan 581 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
6247, 61eqeltrd 2896 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
6345, 62pm2.61dan 838 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑋) → if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
64 ioorrnopnxrlem.r . . . . 5 𝑅 = (𝑖𝑋 ↦ if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)))
6563, 64fmptd 6613 . . . 4 (𝜑𝑅:𝑋⟶ℝ)
663, 40, 65ioorrnopn 41009 . . 3 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
672, 66eqeltrd 2896 . 2 (𝜑𝑉 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
686elexd 3419 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ V)
69 ixpfn 8158 . . . . . . 7 (𝐹X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) → 𝐹 Fn 𝑋)
706, 69syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
7140ffvelrnda 6588 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐿𝑖) ∈ ℝ)
7271rexrd 10381 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐿𝑖) ∈ ℝ*)
7365ffvelrnda 6588 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑅𝑖) ∈ ℝ)
7473rexrd 10381 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑅𝑖) ∈ ℝ*)
7539a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 = (𝑖𝑋 ↦ if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖))))
7638elexd 3419 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)) ∈ V)
7775, 76fvmpt2d 6521 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐿𝑖) = if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)))
7877adantr 468 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐿𝑖) = if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)))
7978, 5eqtrd 2851 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐿𝑖) = ((𝐹𝑖) − 1))
8011ltm1d 11248 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐹𝑖) − 1) < (𝐹𝑖))
8180adantr 468 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → ((𝐹𝑖) − 1) < (𝐹𝑖))
8279, 81eqbrtrd 4877 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐿𝑖) < (𝐹𝑖))
8377adantr 468 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐿𝑖) = if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)))
8483, 17eqtrd 2851 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐿𝑖) = (𝐴𝑖))
8530adantr 468 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) < (𝐹𝑖))
8684, 85eqbrtrd 4877 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐿𝑖) < (𝐹𝑖))
8782, 86pm2.61dan 838 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐿𝑖) < (𝐹𝑖))
8811ltp1d 11246 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) < ((𝐹𝑖) + 1))
8988adantr 468 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐹𝑖) < ((𝐹𝑖) + 1))
9064a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 = (𝑖𝑋 ↦ if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖))))
9163elexd 3419 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖𝑋) → if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)) ∈ V)
9290, 91fvmpt2d 6521 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑅𝑖) = if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)))
9392adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) = if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)))
9493, 42eqtrd 2851 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) = ((𝐹𝑖) + 1))
9594eqcomd 2823 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → ((𝐹𝑖) + 1) = (𝑅𝑖))
9689, 95breqtrd 4881 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐹𝑖) < (𝑅𝑖))
9755adantr 468 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐹𝑖) < (𝐵𝑖))
9892adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) = if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝐹𝑖) + 1), (𝐵𝑖)))
9998, 47eqtrd 2851 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) = (𝐵𝑖))
10099eqcomd 2823 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐵𝑖) = (𝑅𝑖))
10197, 100breqtrd 4881 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐹𝑖) < (𝑅𝑖))
10296, 101pm2.61dan 838 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) < (𝑅𝑖))
10372, 74, 11, 87, 102eliood 40209 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐹𝑖) ∈ ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)))
104103ralrimiva 3165 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑖𝑋 (𝐹𝑖) ∈ ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)))
10568, 70, 1043jca 1151 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝐹𝑖) ∈ ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖))))
106 elixp2 8156 . . . . 5 (𝐹X𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝐹𝑖) ∈ ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖))))
107105, 106sylibr 225 . . . 4 (𝜑𝐹X𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)))
108107, 1syl6eleqr 2907 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
10921adantr 468 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ*)
11072adantr 468 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐿𝑖) ∈ ℝ*)
11115mnfltd 12181 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → -∞ < if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝐹𝑖) − 1), (𝐴𝑖)))
112111, 5breqtrd 4881 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → -∞ < ((𝐹𝑖) − 1))
113 simpr 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) = -∞)
114113, 79breq12d 4868 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → ((𝐴𝑖) < (𝐿𝑖) ↔ -∞ < ((𝐹𝑖) − 1)))
115112, 114mpbird 248 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) < (𝐿𝑖))
116109, 110, 115xrltled 12206 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) ≤ (𝐿𝑖))
11784eqcomd 2823 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) = (𝐿𝑖))
11836, 117eqled 10432 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑖) = -∞) → (𝐴𝑖) ≤ (𝐿𝑖))
119116, 118pm2.61dan 838 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ≤ (𝐿𝑖))
12074adantr 468 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) ∈ ℝ*)
12128adantr 468 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ*)
12244ltpnfd 12178 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → ((𝐹𝑖) + 1) < +∞)
123 simpr 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝐵𝑖) = +∞)
12494, 123breq12d 4868 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → ((𝑅𝑖) < (𝐵𝑖) ↔ ((𝐹𝑖) + 1) < +∞))
125122, 124mpbird 248 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) < (𝐵𝑖))
126120, 121, 125xrltled 12206 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) ≤ (𝐵𝑖))
12773adantr 468 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) ∈ ℝ)
128127, 99eqled 10432 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ ¬ (𝐵𝑖) = +∞) → (𝑅𝑖) ≤ (𝐵𝑖))
129126, 128pm2.61dan 838 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑅𝑖) ≤ (𝐵𝑖))
130 ioossioo 12491 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴𝑖) ≤ (𝐿𝑖) ∧ (𝑅𝑖) ≤ (𝐵𝑖))) → ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)) ⊆ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
13121, 28, 119, 129, 130syl22anc 858 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)) ⊆ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
132131ralrimiva 3165 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)) ⊆ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
133 ss2ixp 8165 . . . . 5 (∀𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)) ⊆ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) → X𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)) ⊆ X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
134132, 133syl 17 . . . 4 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐿𝑖)(,)(𝑅𝑖)) ⊆ X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
1352, 134eqsstrd 3847 . . 3 (𝜑𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
136108, 135jca 503 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑉𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
137 eleq2 2885 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 → (𝐹𝑣𝐹𝑉))
138 sseq1 3834 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 → (𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ↔ 𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
139137, 138anbi12d 618 . . 3 (𝑣 = 𝑉 → ((𝐹𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) ↔ (𝐹𝑉𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))))
140139rspcev 3513 . 2 ((𝑉 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∧ (𝐹𝑉𝑉X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝐹𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
14167, 136, 140syl2anc 575 1 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝐹𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2989  wral 3107  wrex 3108  Vcvv 3402  wss 3780  ifcif 4290   class class class wbr 4855  cmpt 4934   Fn wfn 6103  wf 6104  cfv 6108  (class class class)co 6881  Xcixp 8152  Fincfn 8199  cr 10227  1c1 10229   + caddc 10231  +∞cpnf 10363  -∞cmnf 10364  *cxr 10365   < clt 10366  cle 10367  cmin 10558  (,)cioo 12400  TopOpenctopn 16294  ℝ^crrx 23393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4975  ax-sep 4986  ax-nul 4994  ax-pow 5046  ax-pr 5107  ax-un 7186  ax-inf2 8792  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305  ax-pre-sup 10306  ax-addf 10307  ax-mulf 10308
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5230  df-eprel 5235  df-po 5243  df-so 5244  df-fr 5281  df-se 5282  df-we 5283  df-xp 5328  df-rel 5329  df-cnv 5330  df-co 5331  df-dm 5332  df-rn 5333  df-res 5334  df-ima 5335  df-pred 5904  df-ord 5950  df-on 5951  df-lim 5952  df-suc 5953  df-iota 6071  df-fun 6110  df-fn 6111  df-f 6112  df-f1 6113  df-fo 6114  df-f1o 6115  df-fv 6116  df-isom 6117  df-riota 6842  df-ov 6884  df-oprab 6885  df-mpt2 6886  df-of 7134  df-om 7303  df-1st 7405  df-2nd 7406  df-supp 7537  df-tpos 7594  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-1o 7803  df-oadd 7807  df-er 7986  df-map 8101  df-ixp 8153  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-fin 8203  df-fsupp 8522  df-sup 8594  df-inf 8595  df-oi 8661  df-card 9055  df-pnf 10368  df-mnf 10369  df-xr 10370  df-ltxr 10371  df-le 10372  df-sub 10560  df-neg 10561  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11371  df-3 11372  df-4 11373  df-5 11374  df-6 11375  df-7 11376  df-8 11377  df-9 11378  df-n0 11567  df-z 11651  df-dec 11767  df-uz 11912  df-q 12015  df-rp 12054  df-xneg 12169  df-xadd 12170  df-xmul 12171  df-ioo 12404  df-ico 12406  df-fz 12557  df-fzo 12697  df-seq 13032  df-exp 13091  df-hash 13345  df-cj 14069  df-re 14070  df-im 14071  df-sqrt 14205  df-abs 14206  df-clim 14449  df-sum 14647  df-struct 16077  df-ndx 16078  df-slot 16079  df-base 16081  df-sets 16082  df-ress 16083  df-plusg 16173  df-mulr 16174  df-starv 16175  df-sca 16176  df-vsca 16177  df-ip 16178  df-tset 16179  df-ple 16180  df-ds 16182  df-unif 16183  df-hom 16184  df-cco 16185  df-rest 16295  df-topn 16296  df-0g 16314  df-gsum 16315  df-topgen 16316  df-prds 16320  df-pws 16322  df-mgm 17454  df-sgrp 17496  df-mnd 17507  df-mhm 17547  df-submnd 17548  df-grp 17637  df-minusg 17638  df-sbg 17639  df-subg 17800  df-ghm 17867  df-cntz 17958  df-cmn 18403  df-abl 18404  df-mgp 18699  df-ur 18711  df-ring 18758  df-cring 18759  df-oppr 18832  df-dvdsr 18850  df-unit 18851  df-invr 18881  df-dvr 18892  df-rnghom 18926  df-drng 18960  df-field 18961  df-subrg 18989  df-abv 19028  df-staf 19056  df-srng 19057  df-lmod 19076  df-lss 19144  df-lmhm 19236  df-lvec 19317  df-sra 19388  df-rgmod 19389  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-cnfld 19962  df-refld 20167  df-phl 20188  df-dsmm 20294  df-frlm 20309  df-top 20920  df-topon 20937  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-xms 22346  df-ms 22347  df-nm 22608  df-ngp 22609  df-tng 22610  df-nrg 22611  df-nlm 22612  df-clm 23083  df-cph 23188  df-tch 23189  df-rrx 23395
This theorem is referenced by:  ioorrnopnxr  41011
  Copyright terms: Public domain W3C validator