Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminflimsupxrre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminflimsupxrre 42104
 Description: A sequence with values in the extended reals, and with real liminf and limsup, is eventually real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
liminflimsupxrre.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
liminflimsupxrre.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
liminflimsupxrre.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
liminflimsupxrre.4 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
liminflimsupxrre.5 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≠ -∞)
Assertion
Ref Expression
liminflimsupxrre (𝜑 → ∃𝑘𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)):(ℤ𝑘)⟶ℝ)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘

Proof of Theorem liminflimsupxrre
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝜑)
2 liminflimsupxrre.2 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
32uztrn2 12265 . . . . . . 7 ((𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑗𝑍)
43adantll 712 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑗𝑍)
5 simpr 487 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
6 liminflimsupxrre.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
76fdmd 6526 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
87adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → dom 𝐹 = 𝑍)
95, 8eleqtrrd 2919 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ dom 𝐹)
109ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹𝑗)) → 𝑗 ∈ dom 𝐹)
116ffvelrnda 6854 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
1211ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
13 mnfxr 10701 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
1413a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ -∞ < (𝐹𝑗)) → -∞ ∈ ℝ*)
1511adantr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ -∞ < (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
16 simpr 487 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ -∞ < (𝐹𝑗)) → -∞ < (𝐹𝑗))
1714, 15, 16xrgtned 41596 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ -∞ < (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) ≠ -∞)
1817adantlr 713 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) ≠ -∞)
1911adantr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹𝑗) < +∞) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
20 pnfxr 10698 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
2120a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹𝑗) < +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
22 simpr 487 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹𝑗) < +∞) → (𝐹𝑗) < +∞)
2319, 21, 22xrltned 41631 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹𝑗) < +∞) → (𝐹𝑗) ≠ +∞)
2423adantr 483 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) ≠ +∞)
2512, 18, 24xrred 41639 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
2610, 25jca 514 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹𝑗)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℝ))
2726expl 460 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (((𝐹𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹𝑗)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℝ)))
281, 4, 27syl2anc 586 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → (((𝐹𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹𝑗)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℝ)))
2928ralimdva 3180 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹𝑗)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℝ)))
3029imp 409 . . 3 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹𝑗))) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℝ))
316ffund 6521 . . . . 5 (𝜑 → Fun 𝐹)
32 ffvresb 6891 . . . . 5 (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑘)):(ℤ𝑘)⟶ℝ ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℝ)))
3331, 32syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑘)):(ℤ𝑘)⟶ℝ ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℝ)))
3433ad2antrr 724 . . 3 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹𝑗))) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑘)):(ℤ𝑘)⟶ℝ ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℝ)))
3530, 34mpbird 259 . 2 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹𝑗))) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)):(ℤ𝑘)⟶ℝ)
36 nfv 1914 . . . 4 𝑗𝜑
37 nfcv 2980 . . . 4 𝑗𝐹
38 liminflimsupxrre.1 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
39 liminflimsupxrre.4 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
4036, 37, 38, 2, 6, 39limsupubuz2 42100 . . 3 (𝜑 → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) < +∞)
41 liminflimsupxrre.5 . . . 4 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≠ -∞)
4236, 37, 38, 2, 6, 41liminflbuz2 42102 . . 3 (𝜑 → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-∞ < (𝐹𝑗))
432rexanuz2 14712 . . 3 (∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹𝑗)) ↔ (∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) < +∞ ∧ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-∞ < (𝐹𝑗)))
4440, 42, 43sylanbrc 585 . 2 (𝜑 → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹𝑗)))
4535, 44reximddv3 41426 1 (𝜑 → ∃𝑘𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)):(ℤ𝑘)⟶ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  ∀wral 3141  ∃wrex 3142   class class class wbr 5069  dom cdm 5558   ↾ cres 5560  Fun wfun 6352  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  ℝcr 10539  +∞cpnf 10675  -∞cmnf 10676  ℝ*cxr 10677   < clt 10678  ℤcz 11984  ℤ≥cuz 12246  lim supclsp 14830  lim infclsi 42038 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-sup 8909  df-inf 8910  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-xneg 12510  df-ico 12747  df-fl 13165  df-limsup 14831  df-liminf 42039 This theorem is referenced by:  xlimliminflimsup  42149
 Copyright terms: Public domain W3C validator