Theorem liminflimsupxrre 46826

Description: A sequence with values in the extended reals, and with real liminf and limsup, is eventually real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminflimsupxrre.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminflimsupxrre.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminflimsupxrre.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
liminflimsupxrre.4	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
liminflimsupxrre.5	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≠ -∞)

Assertion

Ref	Expression
liminflimsupxrre	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶ℝ)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘

Proof of Theorem liminflimsupxrre

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝜑)
2		liminflimsupxrre.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	uztrn2 12984	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
4	3	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
5		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
6		liminflimsupxrre.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
7	6	fdmd 6720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
8	7	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → dom 𝐹 = 𝑍)
9	5, 8	eleqtrrd 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ dom 𝐹)
10	9	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → 𝑗 ∈ dom 𝐹)
11	6	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
12	11	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
13		mnfxr 11366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → -∞ ∈ ℝ*)
15	11	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
16		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → -∞ < (𝐹‘𝑗))
17	14, 15, 16	xrgtned 13293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ≠ -∞)
18	17	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ≠ -∞)
19	11	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
20		pnfxr 11363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
22		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) → (𝐹‘𝑗) < +∞)
23	19, 21, 22	xrltned 46368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) → (𝐹‘𝑗) ≠ +∞)
24	23	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ≠ +∞)
25	12, 18, 24	xrred 46375	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
26	10, 25	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ))
27	26	expl 463	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
28	1, 4, 27	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
29	28	ralimdva 3175	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
30	29	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗))) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ))
31	6	ffund 6714	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
32		ffvresb 7126	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶ℝ ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
33	31, 32	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶ℝ ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
34	33	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗))) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶ℝ ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
35	30, 34	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗))) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶ℝ)
36		nfv 1947	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
37		nfcv 2923	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
38		liminflimsupxrre.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
39		liminflimsupxrre.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
40	36, 37, 38, 2, 6, 39	limsupubuz2 46822	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) < +∞)
41		liminflimsupxrre.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≠ -∞)
42	36, 37, 38, 2, 6, 41	liminflbuz2 46824	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-∞ < (𝐹‘𝑗))
43	2	rexanuz2 15517	. . 3 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) ↔ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-∞ < (𝐹‘𝑗)))
44	40, 42, 43	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)))
45	35, 44	reximddv3 3180	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  dom cdm 5651   ↾ cres 5653  Fun wfun 6532  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  ℝcr 11199  +∞cpnf 11340  -∞cmnf 11341  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  lim supclsp 15637  lim infclsi 46760

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-q 13076  df-xneg 13241  df-ico 13482  df-fl 13932  df-limsup 15638  df-liminf 46761

This theorem is used by:  xlimliminflimsup  46871