Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminflimsupxrre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminflimsupxrre 44144
Description: A sequence with values in the extended reals, and with real liminf and limsup, is eventually real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
liminflimsupxrre.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
liminflimsupxrre.2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
liminflimsupxrre.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
liminflimsupxrre.4 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) β‰  +∞)
liminflimsupxrre.5 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) β‰  -∞)
Assertion
Ref Expression
liminflimsupxrre (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)βŸΆβ„)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑍   πœ‘,π‘˜

Proof of Theorem liminflimsupxrre
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ πœ‘)
2 liminflimsupxrre.2 . . . . . . . 8 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
32uztrn2 12787 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
43adantll 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
5 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
6 liminflimsupxrre.3 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
76fdmd 6680 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝑍)
87adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ dom 𝐹 = 𝑍)
95, 8eleqtrrd 2837 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ dom 𝐹)
109ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘—) < +∞) ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ 𝑗 ∈ dom 𝐹)
116ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
1211ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘—) < +∞) ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
13 mnfxr 11217 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
1413a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
1511adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
16 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ -∞ < (πΉβ€˜π‘—))
1714, 15, 16xrgtned 43643 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) β‰  -∞)
1817adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘—) < +∞) ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) β‰  -∞)
1911adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘—) < +∞) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
20 pnfxr 11214 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
2120a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘—) < +∞) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
22 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘—) < +∞) β†’ (πΉβ€˜π‘—) < +∞)
2319, 21, 22xrltned 43678 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘—) < +∞) β†’ (πΉβ€˜π‘—) β‰  +∞)
2423adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘—) < +∞) ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) β‰  +∞)
2512, 18, 24xrred 43686 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘—) < +∞) ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
2610, 25jca 513 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘—) < +∞) ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ))
2726expl 459 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (((πΉβ€˜π‘—) < +∞ ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)))
281, 4, 27syl2anc 585 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ (((πΉβ€˜π‘—) < +∞ ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)))
2928ralimdva 3161 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘—) < +∞ ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)))
3029imp 408 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘—) < +∞ ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘—))) β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ))
316ffund 6673 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
32 ffvresb 7073 . . . . 5 (Fun 𝐹 β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)βŸΆβ„ ↔ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)))
3331, 32syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)βŸΆβ„ ↔ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)))
3433ad2antrr 725 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘—) < +∞ ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘—))) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)βŸΆβ„ ↔ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)))
3530, 34mpbird 257 . 2 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘—) < +∞ ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘—))) β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)βŸΆβ„)
36 nfv 1918 . . . 4 β„²π‘—πœ‘
37 nfcv 2904 . . . 4 Ⅎ𝑗𝐹
38 liminflimsupxrre.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
39 liminflimsupxrre.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) β‰  +∞)
4036, 37, 38, 2, 6, 39limsupubuz2 44140 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) < +∞)
41 liminflimsupxrre.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) β‰  -∞)
4236, 37, 38, 2, 6, 41liminflbuz2 44142 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-∞ < (πΉβ€˜π‘—))
432rexanuz2 15240 . . 3 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘—) < +∞ ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)) ↔ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) < +∞ ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-∞ < (πΉβ€˜π‘—)))
4440, 42, 43sylanbrc 584 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘—) < +∞ ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘—)))
4535, 44reximddv3 43449 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)):(β„€β‰₯β€˜π‘˜)βŸΆβ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106  dom cdm 5634   β†Ύ cres 5636  Fun wfun 6491  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  β„cr 11055  +∞cpnf 11191  -∞cmnf 11192  β„*cxr 11193   < clt 11194  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  lim supclsp 15358  lim infclsi 44078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-xneg 13038  df-ico 13276  df-fl 13703  df-limsup 15359  df-liminf 44079
This theorem is referenced by:  xlimliminflimsup  44189
  Copyright terms: Public domain W3C validator