Theorem liminflimsupxrre 44523

Description: A sequence with values in the extended reals, and with real liminf and limsup, is eventually real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminflimsupxrre.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminflimsupxrre.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminflimsupxrre.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
liminflimsupxrre.4	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
liminflimsupxrre.5	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≠ -∞)

Assertion

Ref	Expression
liminflimsupxrre	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶ℝ)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘

Proof of Theorem liminflimsupxrre

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝜑)
2		liminflimsupxrre.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	uztrn2 12840	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
4	3	adantll 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
5		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
6		liminflimsupxrre.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
7	6	fdmd 6728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
8	7	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → dom 𝐹 = 𝑍)
9	5, 8	eleqtrrd 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ dom 𝐹)
10	9	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → 𝑗 ∈ dom 𝐹)
11	6	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
12	11	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
13		mnfxr 11270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → -∞ ∈ ℝ*)
15	11	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
16		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → -∞ < (𝐹‘𝑗))
17	14, 15, 16	xrgtned 44022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ≠ -∞)
18	17	adantlr 713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ≠ -∞)
19	11	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
20		pnfxr 11267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
22		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) → (𝐹‘𝑗) < +∞)
23	19, 21, 22	xrltned 44057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) → (𝐹‘𝑗) ≠ +∞)
24	23	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ≠ +∞)
25	12, 18, 24	xrred 44065	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
26	10, 25	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ))
27	26	expl 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
28	1, 4, 27	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
29	28	ralimdva 3167	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
30	29	imp 407	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗))) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ))
31	6	ffund 6721	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
32		ffvresb 7123	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶ℝ ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
33	31, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶ℝ ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
34	33	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗))) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶ℝ ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
35	30, 34	mpbird 256	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗))) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶ℝ)
36		nfv 1917	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
37		nfcv 2903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
38		liminflimsupxrre.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
39		liminflimsupxrre.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
40	36, 37, 38, 2, 6, 39	limsupubuz2 44519	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) < +∞)
41		liminflimsupxrre.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≠ -∞)
42	36, 37, 38, 2, 6, 41	liminflbuz2 44521	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-∞ < (𝐹‘𝑗))
43	2	rexanuz2 15295	. . 3 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) ↔ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-∞ < (𝐹‘𝑗)))
44	40, 42, 43	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)))
45	35, 44	reximddv3 43830	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   class class class wbr 5148  dom cdm 5676   ↾ cres 5678  Fun wfun 6537  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  ℝcr 11108  +∞cpnf 11244  -∞cmnf 11245  ℝ^*cxr 11246   < clt 11247  ℤcz 12557  ℤ_≥cuz 12821  lim supclsp 15413  lim infclsi 44457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-xneg 13091  df-ico 13329  df-fl 13756  df-limsup 15414  df-liminf 44458

This theorem is referenced by:  xlimliminflimsup  44568