Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminflimsupxrre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminflimsupxrre 42940
Description: A sequence with values in the extended reals, and with real liminf and limsup, is eventually real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
liminflimsupxrre.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
liminflimsupxrre.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
liminflimsupxrre.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
liminflimsupxrre.4 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
liminflimsupxrre.5 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≠ -∞)
Assertion
Ref Expression
liminflimsupxrre (𝜑 → ∃𝑘𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)):(ℤ𝑘)⟶ℝ)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘

Proof of Theorem liminflimsupxrre
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 767 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝜑)
2 liminflimsupxrre.2 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
32uztrn2 12355 . . . . . . 7 ((𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑗𝑍)
43adantll 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑗𝑍)
5 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
6 liminflimsupxrre.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
76fdmd 6525 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
87adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → dom 𝐹 = 𝑍)
95, 8eleqtrrd 2837 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ dom 𝐹)
109ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹𝑗)) → 𝑗 ∈ dom 𝐹)
116ffvelrnda 6873 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
1211ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
13 mnfxr 10788 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
1413a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ -∞ < (𝐹𝑗)) → -∞ ∈ ℝ*)
1511adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ -∞ < (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
16 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ -∞ < (𝐹𝑗)) → -∞ < (𝐹𝑗))
1714, 15, 16xrgtned 42439 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ -∞ < (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) ≠ -∞)
1817adantlr 715 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) ≠ -∞)
1911adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹𝑗) < +∞) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
20 pnfxr 10785 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
2120a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹𝑗) < +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
22 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹𝑗) < +∞) → (𝐹𝑗) < +∞)
2319, 21, 22xrltned 42474 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹𝑗) < +∞) → (𝐹𝑗) ≠ +∞)
2423adantr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) ≠ +∞)
2512, 18, 24xrred 42482 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
2610, 25jca 515 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝐹𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹𝑗)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℝ))
2726expl 461 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (((𝐹𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹𝑗)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℝ)))
281, 4, 27syl2anc 587 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → (((𝐹𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹𝑗)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℝ)))
2928ralimdva 3092 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹𝑗)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℝ)))
3029imp 410 . . 3 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹𝑗))) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℝ))
316ffund 6518 . . . . 5 (𝜑 → Fun 𝐹)
32 ffvresb 6910 . . . . 5 (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑘)):(ℤ𝑘)⟶ℝ ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℝ)))
3331, 32syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑘)):(ℤ𝑘)⟶ℝ ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℝ)))
3433ad2antrr 726 . . 3 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹𝑗))) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑘)):(ℤ𝑘)⟶ℝ ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℝ)))
3530, 34mpbird 260 . 2 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹𝑗))) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)):(ℤ𝑘)⟶ℝ)
36 nfv 1921 . . . 4 𝑗𝜑
37 nfcv 2900 . . . 4 𝑗𝐹
38 liminflimsupxrre.1 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
39 liminflimsupxrre.4 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
4036, 37, 38, 2, 6, 39limsupubuz2 42936 . . 3 (𝜑 → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) < +∞)
41 liminflimsupxrre.5 . . . 4 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≠ -∞)
4236, 37, 38, 2, 6, 41liminflbuz2 42938 . . 3 (𝜑 → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-∞ < (𝐹𝑗))
432rexanuz2 14811 . . 3 (∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹𝑗)) ↔ (∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) < +∞ ∧ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-∞ < (𝐹𝑗)))
4440, 42, 43sylanbrc 586 . 2 (𝜑 → ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹𝑗)))
4535, 44reximddv3 42278 1 (𝜑 → ∃𝑘𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑘)):(ℤ𝑘)⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935  wral 3054  wrex 3055   class class class wbr 5040  dom cdm 5535  cres 5537  Fun wfun 6343  wf 6345  cfv 6349  cr 10626  +∞cpnf 10762  -∞cmnf 10763  *cxr 10764   < clt 10765  cz 12074  cuz 12336  lim supclsp 14929  lim infclsi 42874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704  ax-pre-sup 10705
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-sup 8991  df-inf 8992  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-div 11388  df-nn 11729  df-n0 11989  df-z 12075  df-uz 12337  df-q 12443  df-xneg 12602  df-ico 12839  df-fl 13265  df-limsup 14930  df-liminf 42875
This theorem is referenced by:  xlimliminflimsup  42985
  Copyright terms: Public domain W3C validator