Theorem liminflimsupxrre 42940

Description: A sequence with values in the extended reals, and with real liminf and limsup, is eventually real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminflimsupxrre.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminflimsupxrre.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminflimsupxrre.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
liminflimsupxrre.4	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
liminflimsupxrre.5	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≠ -∞)

Assertion

Ref	Expression
liminflimsupxrre	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶ℝ)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘

Proof of Theorem liminflimsupxrre

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝜑)
2		liminflimsupxrre.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	uztrn2 12355	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
4	3	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
5		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
6		liminflimsupxrre.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
7	6	fdmd 6525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
8	7	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → dom 𝐹 = 𝑍)
9	5, 8	eleqtrrd 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ dom 𝐹)
10	9	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → 𝑗 ∈ dom 𝐹)
11	6	ffvelrnda 6873	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
12	11	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
13		mnfxr 10788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → -∞ ∈ ℝ*)
15	11	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
16		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → -∞ < (𝐹‘𝑗))
17	14, 15, 16	xrgtned 42439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ≠ -∞)
18	17	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ≠ -∞)
19	11	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
20		pnfxr 10785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
22		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) → (𝐹‘𝑗) < +∞)
23	19, 21, 22	xrltned 42474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) → (𝐹‘𝑗) ≠ +∞)
24	23	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ≠ +∞)
25	12, 18, 24	xrred 42482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
26	10, 25	jca 515	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ))
27	26	expl 461	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
28	1, 4, 27	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
29	28	ralimdva 3092	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
30	29	imp 410	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗))) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ))
31	6	ffund 6518	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
32		ffvresb 6910	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶ℝ ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
33	31, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶ℝ ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
34	33	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗))) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶ℝ ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
35	30, 34	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗))) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶ℝ)
36		nfv 1921	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
37		nfcv 2900	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
38		liminflimsupxrre.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
39		liminflimsupxrre.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
40	36, 37, 38, 2, 6, 39	limsupubuz2 42936	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) < +∞)
41		liminflimsupxrre.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≠ -∞)
42	36, 37, 38, 2, 6, 41	liminflbuz2 42938	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-∞ < (𝐹‘𝑗))
43	2	rexanuz2 14811	. . 3 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) ↔ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-∞ < (𝐹‘𝑗)))
44	40, 42, 43	sylanbrc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)))
45	35, 44	reximddv3 42278	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  ∃wrex 3055   class class class wbr 5040  dom cdm 5535   ↾ cres 5537  Fun wfun 6343  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  ℝcr 10626  +∞cpnf 10762  -∞cmnf 10763  ℝ^*cxr 10764   < clt 10765  ℤcz 12074  ℤ_≥cuz 12336  lim supclsp 14929  lim infclsi 42874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704  ax-pre-sup 10705

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-sup 8991  df-inf 8992  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-div 11388  df-nn 11729  df-n0 11989  df-z 12075  df-uz 12337  df-q 12443  df-xneg 12602  df-ico 12839  df-fl 13265  df-limsup 14930  df-liminf 42875

This theorem is referenced by:  xlimliminflimsup  42985