Theorem liminflimsupxrre 46245

Description: A sequence with values in the extended reals, and with real liminf and limsup, is eventually real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminflimsupxrre.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminflimsupxrre.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminflimsupxrre.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
liminflimsupxrre.4	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
liminflimsupxrre.5	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≠ -∞)

Assertion

Ref	Expression
liminflimsupxrre	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶ℝ)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘

Proof of Theorem liminflimsupxrre

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝜑)
2		liminflimsupxrre.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	uztrn2 12807	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
4	3	adantll 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
5		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
6		liminflimsupxrre.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
7	6	fdmd 6678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → dom 𝐹 = 𝑍)
9	5, 8	eleqtrrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ dom 𝐹)
10	9	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → 𝑗 ∈ dom 𝐹)
11	6	ffvelcdmda 7036	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
12	11	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
13		mnfxr 11202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → -∞ ∈ ℝ*)
15	11	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
16		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → -∞ < (𝐹‘𝑗))
17	14, 15, 16	xrgtned 13115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ≠ -∞)
18	17	adantlr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ≠ -∞)
19	11	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
20		pnfxr 11199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
22		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) → (𝐹‘𝑗) < +∞)
23	19, 21, 22	xrltned 45787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) → (𝐹‘𝑗) ≠ +∞)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ≠ +∞)
25	12, 18, 24	xrred 45794	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
26	10, 25	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ))
27	26	expl 457	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
28	1, 4, 27	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
29	28	ralimdva 3149	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
30	29	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗))) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ))
31	6	ffund 6672	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
32		ffvresb 7078	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶ℝ ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
33	31, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶ℝ ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
34	33	ad2antrr 727	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗))) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶ℝ ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
35	30, 34	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗))) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶ℝ)
36		nfv 1916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
37		nfcv 2898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
38		liminflimsupxrre.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
39		liminflimsupxrre.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
40	36, 37, 38, 2, 6, 39	limsupubuz2 46241	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) < +∞)
41		liminflimsupxrre.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≠ -∞)
42	36, 37, 38, 2, 6, 41	liminflbuz2 46243	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-∞ < (𝐹‘𝑗))
43	2	rexanuz2 15312	. . 3 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) ↔ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-∞ < (𝐹‘𝑗)))
44	40, 42, 43	sylanbrc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)))
45	35, 44	reximddv3 3154	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061   class class class wbr 5085  dom cdm 5631   ↾ cres 5633  Fun wfun 6492  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  ℝcr 11037  +∞cpnf 11176  -∞cmnf 11177  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  lim supclsp 15432  lim infclsi 46179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-xneg 13063  df-ico 13304  df-fl 13751  df-limsup 15433  df-liminf 46180

This theorem is referenced by:  xlimliminflimsup  46290