Theorem liminflimsupxrre 45846

Description: A sequence with values in the extended reals, and with real liminf and limsup, is eventually real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminflimsupxrre.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminflimsupxrre.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminflimsupxrre.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
liminflimsupxrre.4	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
liminflimsupxrre.5	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≠ -∞)

Assertion

Ref	Expression
liminflimsupxrre	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶ℝ)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘

Proof of Theorem liminflimsupxrre

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝜑)
2		liminflimsupxrre.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	uztrn2 12871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
4	3	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
5		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
6		liminflimsupxrre.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
7	6	fdmd 6716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → dom 𝐹 = 𝑍)
9	5, 8	eleqtrrd 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ dom 𝐹)
10	9	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → 𝑗 ∈ dom 𝐹)
11	6	ffvelcdmda 7074	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
12	11	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
13		mnfxr 11292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → -∞ ∈ ℝ*)
15	11	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
16		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → -∞ < (𝐹‘𝑗))
17	14, 15, 16	xrgtned 45349	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ≠ -∞)
18	17	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ≠ -∞)
19	11	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
20		pnfxr 11289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
22		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) → (𝐹‘𝑗) < +∞)
23	19, 21, 22	xrltned 45384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) → (𝐹‘𝑗) ≠ +∞)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ≠ +∞)
25	12, 18, 24	xrred 45392	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
26	10, 25	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑗) < +∞) ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ))
27	26	expl 457	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
28	1, 4, 27	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
29	28	ralimdva 3152	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
30	29	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗))) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ))
31	6	ffund 6710	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
32		ffvresb 7115	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶ℝ ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
33	31, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶ℝ ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
34	33	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗))) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶ℝ ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
35	30, 34	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗))) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶ℝ)
36		nfv 1914	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
37		nfcv 2898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
38		liminflimsupxrre.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
39		liminflimsupxrre.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
40	36, 37, 38, 2, 6, 39	limsupubuz2 45842	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) < +∞)
41		liminflimsupxrre.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≠ -∞)
42	36, 37, 38, 2, 6, 41	liminflbuz2 45844	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-∞ < (𝐹‘𝑗))
43	2	rexanuz2 15368	. . 3 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)) ↔ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-∞ < (𝐹‘𝑗)))
44	40, 42, 43	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑗) < +∞ ∧ -∞ < (𝐹‘𝑗)))
45	35, 44	reximddv3 3157	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑘)):(ℤ≥‘𝑘)⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   class class class wbr 5119  dom cdm 5654   ↾ cres 5656  Fun wfun 6525  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  ℝcr 11128  +∞cpnf 11266  -∞cmnf 11267  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  lim supclsp 15486  lim infclsi 45780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12965  df-xneg 13128  df-ico 13368  df-fl 13809  df-limsup 15487  df-liminf 45781

This theorem is referenced by:  xlimliminflimsup  45891