MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrmax1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrmax1 13214
Description: An extended real is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrmax1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem xrmax1
StepHypRef Expression
1 xrleid 13190 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴)
2 iffalse 4540 . . . . 5 𝐴𝐵 → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐴)
32breq2d 5160 . . . 4 𝐴𝐵 → (𝐴 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ↔ 𝐴𝐴))
41, 3syl5ibrcom 247 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (¬ 𝐴𝐵𝐴 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴)))
5 id 22 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
6 iftrue 4537 . . . 4 (𝐴𝐵 → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐵)
75, 6breqtrrd 5176 . . 3 (𝐴𝐵𝐴 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
84, 7pm2.61d2 181 . 2 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
98adantr 480 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wcel 2106  ifcif 4531   class class class wbr 5148  *cxr 11292  cle 11294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299
This theorem is referenced by:  xrmaxlt  13220  xrmaxle  13222  max1  13224  limsupgre  15514  pnfnei  23244  ismbfd  25688  dvferm2lem  26039  mdegaddle  26128
  Copyright terms: Public domain W3C validator