Theorem xrmaxlt 13315

Description: Two ways of saying the maximum of two extended reals is less than a third. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
xrmaxlt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)))

Proof of Theorem xrmaxlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrmax1 13309	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
2	1	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
3		ifcl 4527	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) ∈ ℝ*)
4	3	ancoms 464	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) ∈ ℝ*)
5	4	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) ∈ ℝ*)
6		xrlelttr 13289	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) ∧ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	5, 6	syld3an2 1438	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) ∧ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	2, 7	mpand 708	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶))
9		xrmax2 13310	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
10	9	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
11		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
13		xrlelttr 13289	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) ∧ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶))
14	11, 5, 12, 13	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) ∧ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶))
15	10, 14	mpand 708	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶 → 𝐵 < 𝐶))
16	8, 15	jcad 522	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶 → (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)))
17		breq1 5105	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) → (𝐵 < 𝐶 ↔ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶))
18		breq1 5105	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) → (𝐴 < 𝐶 ↔ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶))
19	17, 18	ifboth 4521	. . 3 ⊢ ((𝐵 < 𝐶 ∧ 𝐴 < 𝐶) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶)
20	19	ancoms 464	. 2 ⊢ ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶)
21	16, 20	impbid1 228	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144  ifcif 4481   class class class wbr 5102  ℝ^*cxr 11346   < clt 11347   ≤ cle 11348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353

This theorem is used by:  maxlt  13327  iooin  13514  txmetcnp  24872  mbfmax  25976  dvlip2  26321  ply1divmo  26460  deg1addlt  34179