Theorem xrmaxlt 13177

Description: Two ways of saying the maximum of two extended reals is less than a third. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
xrmaxlt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)))

Proof of Theorem xrmaxlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrmax1 13171	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
2	1	3adant3 1144	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
3		ifcl 4523	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) ∈ ℝ*)
4	3	ancoms 462	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) ∈ ℝ*)
5	4	3adant3 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) ∈ ℝ*)
6		xrlelttr 13151	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) ∧ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	5, 6	syld3an2 1429	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) ∧ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	2, 7	mpand 705	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶))
9		xrmax2 13172	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
10	9	3adant3 1144	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
11		simp2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12		simp3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
13		xrlelttr 13151	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) ∧ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶))
14	11, 5, 12, 13	syl3anc 1389	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) ∧ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶))
15	10, 14	mpand 705	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶 → 𝐵 < 𝐶))
16	8, 15	jcad 520	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶 → (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)))
17		breq1 5100	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) → (𝐵 < 𝐶 ↔ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶))
18		breq1 5100	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) → (𝐴 < 𝐶 ↔ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶))
19	17, 18	ifboth 4517	. . 3 ⊢ ((𝐵 < 𝐶 ∧ 𝐴 < 𝐶) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶)
20	19	ancoms 462	. 2 ⊢ ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶)
21	16, 20	impbid1 227	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   ∈ wcel 2141  ifcif 4477   class class class wbr 5097  ℝ^*cxr 11208   < clt 11209   ≤ cle 11210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215

This theorem is referenced by:  maxlt  13189  iooin  13376  txmetcnp  24594  mbfmax  25698  dvlip2  26044  ply1divmo  26183  deg1addlt  33756