MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrmaxlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrmaxlt 13156
Description: Two ways of saying the maximum of two extended reals is less than a third. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrmaxlt ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)))

Proof of Theorem xrmaxlt
StepHypRef Expression
1 xrmax1 13150 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
213adant3 1133 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
3 ifcl 4572 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∈ ℝ*)
43ancoms 460 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∈ ℝ*)
543adant3 1133 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∈ ℝ*)
6 xrlelttr 13131 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∧ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
75, 6syld3an2 1412 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∧ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
82, 7mpand 694 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶𝐴 < 𝐶))
9 xrmax2 13151 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
1093adant3 1133 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
11 simp2 1138 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12 simp3 1139 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
13 xrlelttr 13131 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∧ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶))
1411, 5, 12, 13syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∧ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶))
1510, 14mpand 694 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶𝐵 < 𝐶))
168, 15jcad 514 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶 → (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)))
17 breq1 5150 . . . 4 (𝐵 = if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) → (𝐵 < 𝐶 ↔ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶))
18 breq1 5150 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) → (𝐴 < 𝐶 ↔ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶))
1917, 18ifboth 4566 . . 3 ((𝐵 < 𝐶𝐴 < 𝐶) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶)
2019ancoms 460 . 2 ((𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶)
2116, 20impbid1 224 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088  wcel 2107  ifcif 4527   class class class wbr 5147  *cxr 11243   < clt 11244  cle 11245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250
This theorem is referenced by:  maxlt  13168  iooin  13354  txmetcnp  24038  mbfmax  25148  dvlip2  25494  ply1divmo  25635
  Copyright terms: Public domain W3C validator