MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrmax2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrmax2 12547
Description: An extended real is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrmax2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem xrmax2
StepHypRef Expression
1 xrleid 12522 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐵)
21ad2antlr 726 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐵)
3 iftrue 4446 . . . 4 (𝐴𝐵 → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐵)
43adantl 485 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐵)
52, 4breqtrrd 5067 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
6 xrletri 12524 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
76orcanai 1000 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
8 iffalse 4449 . . . 4 𝐴𝐵 → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐴)
98adantl 485 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐴)
107, 9breqtrrd 5067 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
115, 10pm2.61dan 812 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  ifcif 4440   class class class wbr 5039  *cxr 10651  cle 10653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658
This theorem is referenced by:  xrmaxlt  12552  xrmaxle  12554  max2  12558  limsupgre  14817  pnfnei  21804  tgioo  23380  dvferm2lem  24568  mdegaddle  24654  plypf1  24788
  Copyright terms: Public domain W3C validator