MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrmaxle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrmaxle 12802
Description: Two ways of saying the maximum of two numbers is less than or equal to a third. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
xrmaxle ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶 ↔ (𝐴𝐶𝐵𝐶)))

Proof of Theorem xrmaxle
StepHypRef Expression
1 xrmax1 12794 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
213adant3 1134 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
3 ifcl 4500 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∈ ℝ*)
43ancoms 462 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∈ ℝ*)
543adant3 1134 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∈ ℝ*)
6 xrletr 12777 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∧ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶) → 𝐴𝐶))
75, 6syld3an2 1413 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∧ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶) → 𝐴𝐶))
82, 7mpand 695 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶𝐴𝐶))
9 xrmax2 12795 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
1093adant3 1134 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
11 simp2 1139 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12 simp3 1140 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
13 xrletr 12777 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∧ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶) → 𝐵𝐶))
1411, 5, 12, 13syl3anc 1373 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∧ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶) → 𝐵𝐶))
1510, 14mpand 695 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶𝐵𝐶))
168, 15jcad 516 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶 → (𝐴𝐶𝐵𝐶)))
17 breq1 5072 . . . 4 (𝐵 = if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) → (𝐵𝐶 ↔ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶))
18 breq1 5072 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) → (𝐴𝐶 ↔ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶))
1917, 18ifboth 4494 . . 3 ((𝐵𝐶𝐴𝐶) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶)
2019ancoms 462 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶)
2116, 20impbid1 228 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶 ↔ (𝐴𝐶𝐵𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089  wcel 2112  ifcif 4455   class class class wbr 5069  *cxr 10895  cle 10897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5208  ax-nul 5215  ax-pow 5274  ax-pr 5338  ax-un 7544  ax-cnex 10814  ax-resscn 10815  ax-pre-lttri 10832  ax-pre-lttrn 10833
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4456  df-pw 4531  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4836  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5152  df-id 5471  df-po 5485  df-so 5486  df-xp 5574  df-rel 5575  df-cnv 5576  df-co 5577  df-dm 5578  df-rn 5579  df-res 5580  df-ima 5581  df-iota 6358  df-fun 6402  df-fn 6403  df-f 6404  df-f1 6405  df-fo 6406  df-f1o 6407  df-fv 6408  df-er 8414  df-en 8650  df-dom 8651  df-sdom 8652  df-pnf 10898  df-mnf 10899  df-xr 10900  df-ltxr 10901  df-le 10902
This theorem is referenced by:  maxle  12810  mbfmax  24577  itgspliticc  24765  deg1addle2  25031  deg1sublt  25039  cvmliftlem10  32999  iccin  45908
  Copyright terms: Public domain W3C validator