MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrmaxle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrmaxle 13168
Description: Two ways of saying the maximum of two numbers is less than or equal to a third. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
xrmaxle ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶 ↔ (𝐴𝐶𝐵𝐶)))

Proof of Theorem xrmaxle
StepHypRef Expression
1 xrmax1 13160 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
213adant3 1129 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
3 ifcl 4568 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∈ ℝ*)
43ancoms 458 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∈ ℝ*)
543adant3 1129 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∈ ℝ*)
6 xrletr 13143 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∧ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶) → 𝐴𝐶))
75, 6syld3an2 1408 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∧ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶) → 𝐴𝐶))
82, 7mpand 692 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶𝐴𝐶))
9 xrmax2 13161 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
1093adant3 1129 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
11 simp2 1134 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12 simp3 1135 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
13 xrletr 13143 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∧ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶) → 𝐵𝐶))
1411, 5, 12, 13syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ∧ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶) → 𝐵𝐶))
1510, 14mpand 692 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶𝐵𝐶))
168, 15jcad 512 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶 → (𝐴𝐶𝐵𝐶)))
17 breq1 5144 . . . 4 (𝐵 = if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) → (𝐵𝐶 ↔ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶))
18 breq1 5144 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) → (𝐴𝐶 ↔ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶))
1917, 18ifboth 4562 . . 3 ((𝐵𝐶𝐴𝐶) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶)
2019ancoms 458 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶)
2116, 20impbid1 224 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝐶 ↔ (𝐴𝐶𝐵𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084  wcel 2098  ifcif 4523   class class class wbr 5141  *cxr 11251  cle 11253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258
This theorem is referenced by:  maxle  13176  mbfmax  25533  itgspliticc  25721  deg1addle2  25993  deg1sublt  26001  cvmliftlem10  34813  iccin  47808
  Copyright terms: Public domain W3C validator