MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrrege0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrrege0 13193
Description: A nonnegative extended real that is less than a real bound is real. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrrege0 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem xrrege0
StepHypRef Expression
1 ge0gtmnf 13191 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → -∞ < 𝐴)
21ad2ant2r 745 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → -∞ < 𝐴)
3 simprr 771 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → 𝐴𝐵)
42, 3jca 510 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (-∞ < 𝐴𝐴𝐵))
5 xrre 13188 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
64, 5syldan 589 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wcel 2098   class class class wbr 5152  cr 11145  0cc0 11146  -∞cmnf 11284  *cxr 11285   < clt 11286  cle 11287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-addrcl 11207  ax-rnegex 11217  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292
This theorem is referenced by:  psmetlecl  24241  xmetlecl  24272  prdsxmetlem  24294  stdbdmet  24445  stdbdmopn  24447  bddnghm  24663  nmoid  24679  xrsmopn  24748  metdsre  24789  metnrmlem1a  24794  ovollecl  25432  itg2lecl  25688  probmeasb  34083  heicant  37161  mblfinlem3  37165  mblfinlem4  37166
  Copyright terms: Public domain W3C validator