MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrrege0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrrege0 12292
Description: A nonnegative extended real that is less than a real bound is real. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrrege0 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem xrrege0
StepHypRef Expression
1 ge0gtmnf 12290 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → -∞ < 𝐴)
21ad2ant2r 755 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → -∞ < 𝐴)
3 simprr 791 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → 𝐴𝐵)
42, 3jca 509 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (-∞ < 𝐴𝐴𝐵))
5 xrre 12287 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
64, 5syldan 587 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wcel 2166   class class class wbr 4872  cr 10250  0cc0 10251  -∞cmnf 10388  *cxr 10389   < clt 10390  cle 10391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-addrcl 10312  ax-rnegex 10322  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-op 4403  df-uni 4658  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-id 5249  df-po 5262  df-so 5263  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396
This theorem is referenced by:  psmetlecl  22489  xmetlecl  22520  prdsxmetlem  22542  stdbdmet  22690  stdbdmopn  22692  bddnghm  22899  nmoid  22915  xrsmopn  22984  metdsre  23025  metnrmlem1a  23030  ovollecl  23648  itg2lecl  23903  probmeasb  31037  heicant  33987  mblfinlem3  33991  mblfinlem4  33992
  Copyright terms: Public domain W3C validator