MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrrege0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrrege0 12890
Description: A nonnegative extended real that is less than a real bound is real. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrrege0 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem xrrege0
StepHypRef Expression
1 ge0gtmnf 12888 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → -∞ < 𝐴)
21ad2ant2r 743 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → -∞ < 𝐴)
3 simprr 769 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → 𝐴𝐵)
42, 3jca 511 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → (-∞ < 𝐴𝐴𝐵))
5 xrre 12885 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
64, 5syldan 590 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2109   class class class wbr 5078  cr 10854  0cc0 10855  -∞cmnf 10991  *cxr 10992   < clt 10993  cle 10994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-addrcl 10916  ax-rnegex 10926  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999
This theorem is referenced by:  psmetlecl  23449  xmetlecl  23480  prdsxmetlem  23502  stdbdmet  23653  stdbdmopn  23655  bddnghm  23871  nmoid  23887  xrsmopn  23956  metdsre  23997  metnrmlem1a  24002  ovollecl  24628  itg2lecl  24884  probmeasb  32376  heicant  35791  mblfinlem3  35795  mblfinlem4  35796
  Copyright terms: Public domain W3C validator