Theorem 0bits 12641

Description: The bits of zero. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
0bits	|- (bits ` 0 ) = (/)

Proof of Theorem 0bits

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 8267	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
2	1	snid 3719	. . . . . 6 |- 0 e. { 0 }
3		fzo01 10560	. . . . . 6 |- ( 0..^ 1 ) = { 0 }
4	2, 3	eleqtrri 2308	. . . . 5 |- 0 e. ( 0..^ 1 )
5		2cn 9307	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
6		exp0 10904	. . . . . . 7 |- ( 2 e. CC -> ( 2 ^ 0 ) = 1 )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( 2 ^ 0 ) = 1
8	7	oveq2i 6060	. . . . 5 |- ( 0..^ ( 2 ^ 0 ) ) = ( 0..^ 1 )
9	4, 8	eleqtrri 2308	. . . 4 |- 0 e. ( 0..^ ( 2 ^ 0 ) )
10		0z 9587	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
11		0nn0 9510	. . . . 5 |- 0 e. NN0
12		bitsfzo 12637	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 0 e. NN0 ) -> ( 0 e. ( 0..^ ( 2 ^ 0 ) ) <-> (bits ` 0 ) C_ ( 0..^ 0 ) ) )
13	10, 11, 12	mp2an 426	. . . 4 |- ( 0 e. ( 0..^ ( 2 ^ 0 ) ) <-> (bits ` 0 ) C_ ( 0..^ 0 ) )
14	9, 13	mpbi 145	. . 3 |- (bits ` 0 ) C_ ( 0..^ 0 )
15		fzo0 10503	. . 3 |- ( 0..^ 0 ) = (/)
16	14, 15	sseqtri 3271	. 2 |- (bits ` 0 ) C_ (/)
17		0ss 3546	. 2 |- (/) C_ (bits ` 0 )
18	16, 17	eqssi 3253	1 |- (bits ` 0 ) = (/)

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   C_ wss 3210   (/)c0 3507   {csn 3688   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   CCcc 8124   0cc0 8126   1c1 8127   2c2 9287   NN0cn0 9495   ZZcz 9576  ..^cfzo 10475   ^cexp 10899  bitscbits 12622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245  ax-caucvg 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-sup 7274  df-inf 7275  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-q 9951  df-rp 9986  df-fz 10342  df-fzo 10476  df-fl 10629  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680  df-dvds 12470  df-bits 12623

This theorem is referenced by:  m1bits  12642