ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2zinfmin Unicode version
Theorem 2zinfmin 11928
Description: Two ways to express the minimum of two integers. Because order of integers is decidable, we have more flexibility than for real numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Oct-2024.)
Assertion
Ref Expression
2zinfmin |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> inf ( { A , B } , RR , < ) = if ( A <_ B , A , B ) )
Proof of Theorem 2zinfmin
StepHypRef Expression
1 zre 9581 . . . . 5 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
2 zre 9581 . . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
3 mingeb 11927 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> inf ( { A , B } , RR , < ) = A ) )
41, 2, 3syl2an 289 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B <-> inf ( { A , B } , RR , < ) = A ) )
54biimpa 296 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A <_ B ) -> inf ( { A , B } , RR , < ) = A )
6 simpr 110 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A <_ B ) -> A <_ B )
76iftrued 3629 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A <_ B ) -> if ( A <_ B , A , B ) = A )
85, 7eqtr4d 2268 . 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A <_ B ) -> inf ( { A , B } , RR , < ) = if ( A <_ B , A , B ) )
9 mincom 11914 . . . 4 |- inf ( { A , B } , RR , < ) = inf ( { B , A } , RR , < )
102ad2antlr 489 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> B e. RR )
111ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> A e. RR )
12 zltnle 9623 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( B < A <-> -. A <_ B ) )
1312ancoms 268 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A <-> -. A <_ B ) )
1413biimpar 297 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> B < A )
1510, 11, 14ltled 8392 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> B <_ A )
16 mingeb 11927 . . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ A <-> inf ( { B , A } , RR , < ) = B ) )
1710, 11, 16syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> ( B <_ A <-> inf ( { B , A } , RR , < ) = B ) )
1815, 17mpbid 147 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> inf ( { B , A } , RR , < ) = B )
199, 18eqtrid 2277 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> inf ( { A , B } , RR , < ) = B )
20 simpr 110 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> -. A <_ B )
2120iffalsed 3632 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> if ( A <_ B , A , B ) = B )
2219, 21eqtr4d 2268 . 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> inf ( { A , B } , RR , < ) = if ( A <_ B , A , B ) )
23 zdcle 9654 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A <_ B )
24 exmiddc 844 . . 3 |- (DECID A <_ B -> ( A <_ B \/ -. A <_ B ) )
2523, 24syl 14 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B \/ -. A <_ B ) )
268, 22, 25mpjaodan 806 1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> inf ( { A , B } , RR , < ) = if ( A <_ B , A , B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2203   ifcif 3620   {cpr 3690   class class class wbr 4109  infcinf 7274   RRcr 8126   < clt 8308   <_ cle 8309   ZZcz 9577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-sup 7275  df-inf 7276  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-rp 9987  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684
This theorem is referenced by:  pc2dvds  13028
  Copyright terms: Public domain W3C validator