ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2zinfmin Unicode version
Theorem 2zinfmin 11219
Description: Two ways to express the minimum of two integers. Because order of integers is decidable, we have more flexibility than for real numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Oct-2024.)
Assertion
Ref Expression
2zinfmin |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> inf ( { A , B } , RR , < ) = if ( A <_ B , A , B ) )
Proof of Theorem 2zinfmin
StepHypRef Expression
1 zre 9230 . . . . 5 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
2 zre 9230 . . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
3 mingeb 11218 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> inf ( { A , B } , RR , < ) = A ) )
41, 2, 3syl2an 289 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B <-> inf ( { A , B } , RR , < ) = A ) )
54biimpa 296 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A <_ B ) -> inf ( { A , B } , RR , < ) = A )
6 simpr 110 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A <_ B ) -> A <_ B )
76iftrued 3539 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A <_ B ) -> if ( A <_ B , A , B ) = A )
85, 7eqtr4d 2211 . 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A <_ B ) -> inf ( { A , B } , RR , < ) = if ( A <_ B , A , B ) )
9 mincom 11205 . . . 4 |- inf ( { A , B } , RR , < ) = inf ( { B , A } , RR , < )
102ad2antlr 489 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> B e. RR )
111ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> A e. RR )
12 zltnle 9272 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( B < A <-> -. A <_ B ) )
1312ancoms 268 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A <-> -. A <_ B ) )
1413biimpar 297 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> B < A )
1510, 11, 14ltled 8050 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> B <_ A )
16 mingeb 11218 . . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ A <-> inf ( { B , A } , RR , < ) = B ) )
1710, 11, 16syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> ( B <_ A <-> inf ( { B , A } , RR , < ) = B ) )
1815, 17mpbid 147 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> inf ( { B , A } , RR , < ) = B )
199, 18eqtrid 2220 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> inf ( { A , B } , RR , < ) = B )
20 simpr 110 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> -. A <_ B )
2120iffalsed 3542 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> if ( A <_ B , A , B ) = B )
2219, 21eqtr4d 2211 . 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. A <_ B ) -> inf ( { A , B } , RR , < ) = if ( A <_ B , A , B ) )
23 zdcle 9302 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A <_ B )
24 exmiddc 836 . . 3 |- (DECID A <_ B -> ( A <_ B \/ -. A <_ B ) )
2523, 24syl 14 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B \/ -. A <_ B ) )
268, 22, 25mpjaodan 798 1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> inf ( { A , B } , RR , < ) = if ( A <_ B , A , B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2146   ifcif 3532   {cpr 3590   class class class wbr 3998  infcinf 6972   RRcr 7785   < clt 7966   <_ cle 7967   ZZcz 9226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-rp 9625  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976
This theorem is referenced by:  pc2dvds  12296
  Copyright terms: Public domain W3C validator