Theorem 4sqlem9 12555

Description: Lemma for 4sq 12579. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	|- ( ph -> A e. ZZ )
4sqlem5.3	|- ( ph -> M e. NN )
4sqlem5.4	|- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sqlem9.5	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( B ^ 2 ) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem9	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( A ^ 2 ) )

Proof of Theorem 4sqlem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem9.5	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( B ^ 2 ) = 0 )
2		4sqlem5.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. ZZ )
3		4sqlem5.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. NN )
4		4sqlem5.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
5	2, 3, 4	4sqlem5 12551	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B e. ZZ /\ ( ( A - B ) / M ) e. ZZ ) )
6	5	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. ZZ )
7	6	zcnd 9449	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. CC )
8		sqeq0 10694	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. CC -> ( ( B ^ 2 ) = 0 <-> B = 0 ) )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( B ^ 2 ) = 0 <-> B = 0 ) )
10	9	biimpa 296	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( B ^ 2 ) = 0 ) -> B = 0 )
11	1, 10	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> B = 0 )
12	11	oveq2d 5938	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( A - B ) = ( A - 0 ) )
13	2	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> A e. ZZ )
14	13	zcnd 9449	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> A e. CC )
15	14	subid1d 8326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( A - 0 ) = A )
16	12, 15	eqtrd 2229	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( A - B ) = A )
17	16	oveq1d 5937	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A - B ) / M ) = ( A / M ) )
18	5	simprd 114	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A - B ) / M ) e. ZZ )
19	18	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A - B ) / M ) e. ZZ )
20	17, 19	eqeltrrd 2274	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( A / M ) e. ZZ )
21	3	nnzd 9447	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
22	3	nnne0d 9035	. . . . 5 |- ( ph -> M =/= 0 )
23		dvdsval2 11955	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 /\ A e. ZZ ) -> ( M || A <-> ( A / M ) e. ZZ ) )
24	21, 22, 2, 23	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ph -> ( M || A <-> ( A / M ) e. ZZ ) )
25	24	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M || A <-> ( A / M ) e. ZZ ) )
26	20, 25	mpbird 167	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> M || A )
27		dvdssq 12198	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( M || A <-> ( M ^ 2 ) || ( A ^ 2 ) ) )
28	21, 13, 27	syl2an2r 595	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M || A <-> ( M ^ 2 ) || ( A ^ 2 ) ) )
29	26, 28	mpbid 147	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( A ^ 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   CCcc 7877   0cc0 7879   + caddc 7882   - cmin 8197   / cdiv 8699   NNcn 8990   2c2 9041   ZZcz 9326   mod cmo 10414   ^cexp 10630   || cdvds 11952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-sup 7050  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-fl 10360  df-mod 10415  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-dvds 11953  df-gcd 12121

This theorem is referenced by:  4sqlem16  12575  2sqlem8a  15363