Theorem 4sqlem9 13165

Description: Lemma for 4sq 13189. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	|- ( ph -> A e. ZZ )
4sqlem5.3	|- ( ph -> M e. NN )
4sqlem5.4	|- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sqlem9.5	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( B ^ 2 ) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem9	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( A ^ 2 ) )

Proof of Theorem 4sqlem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem9.5	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( B ^ 2 ) = 0 )
2		4sqlem5.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. ZZ )
3		4sqlem5.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. NN )
4		4sqlem5.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- B = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
5	2, 3, 4	4sqlem5 13161	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B e. ZZ /\ ( ( A - B ) / M ) e. ZZ ) )
6	5	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. ZZ )
7	6	zcnd 9769	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. CC )
8		sqeq0 11039	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. CC -> ( ( B ^ 2 ) = 0 <-> B = 0 ) )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( B ^ 2 ) = 0 <-> B = 0 ) )
10	9	biimpa 296	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( B ^ 2 ) = 0 ) -> B = 0 )
11	1, 10	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> B = 0 )
12	11	oveq2d 6101	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( A - B ) = ( A - 0 ) )
13	2	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> A e. ZZ )
14	13	zcnd 9769	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> A e. CC )
15	14	subid1d 8626	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( A - 0 ) = A )
16	12, 15	eqtrd 2271	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( A - B ) = A )
17	16	oveq1d 6100	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A - B ) / M ) = ( A / M ) )
18	5	simprd 114	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A - B ) / M ) e. ZZ )
19	18	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A - B ) / M ) e. ZZ )
20	17, 19	eqeltrrd 2316	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( A / M ) e. ZZ )
21	3	nnzd 9767	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
22	3	nnne0d 9349	. . . . 5 |- ( ph -> M =/= 0 )
23		dvdsval2 12557	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 /\ A e. ZZ ) -> ( M || A <-> ( A / M ) e. ZZ ) )
24	21, 22, 2, 23	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ph -> ( M || A <-> ( A / M ) e. ZZ ) )
25	24	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M || A <-> ( A / M ) e. ZZ ) )
26	20, 25	mpbird 167	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> M || A )
27		dvdssq 12808	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( M || A <-> ( M ^ 2 ) || ( A ^ 2 ) ) )
28	21, 13, 27	syl2an2r 603	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M || A <-> ( M ^ 2 ) || ( A ^ 2 ) ) )
29	26, 28	mpbid 147	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( M ^ 2 ) || ( A ^ 2 ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   CCcc 8177   0cc0 8179   + caddc 8182   - cmin 8497   / cdiv 9002   NNcn 9304   2c2 9355   ZZcz 9644   mod cmo 10759   ^cexp 10975   || cdvds 12554

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-sup 7324  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-fl 10705  df-mod 10760  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-dvds 12555  df-gcd 12731

This theorem is used by:  4sqlem16  13185  2sqlem8a  16241