Theorem 4sqlem9 12742

Description: Lemma for 4sq 12766. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4	⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sqlem9.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐵↑2) = 0)

Assertion

Ref	Expression
4sqlem9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2))

Proof of Theorem 4sqlem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem9.5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐵↑2) = 0)
2		4sqlem5.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
3		4sqlem5.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4		4sqlem5.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
5	2, 3, 4	4sqlem5 12738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
6	5	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 9498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
8		sqeq0 10749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵↑2) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
10	9	biimpa 296	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵↑2) = 0) → 𝐵 = 0)
11	1, 10	syldan 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐵 = 0)
12	11	oveq2d 5962	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 0))
13	2	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 ∈ ℤ)
14	13	zcnd 9498	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14	subid1d 8374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
16	12, 15	eqtrd 2238	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 − 𝐵) = 𝐴)
17	16	oveq1d 5961	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = (𝐴 / 𝑀))
18	5	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
19	18	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
20	17, 19	eqeltrrd 2283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℤ)
21	3	nnzd 9496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
22	3	nnne0d 9083	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
23		dvdsval2 12134	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝑀) ∈ ℤ))
24	21, 22, 2, 23	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝑀) ∈ ℤ))
25	24	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑀 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝑀) ∈ ℤ))
26	20, 25	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑀 ∥ 𝐴)
27		dvdssq 12385	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝐴 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2)))
28	21, 13, 27	syl2an2r 595	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑀 ∥ 𝐴 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2)))
29	26, 28	mpbid 147	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2176   ≠ wne 2376   class class class wbr 4045  (class class class)co 5946  ℂcc 7925  0cc0 7927   + caddc 7930   − cmin 8245   / cdiv 8747  ℕcn 9038  2c2 9089  ℤcz 9374   mod cmo 10469  ↑cexp 10685   ∥ cdvds 12131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046  ax-caucvg 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-sup 7088  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-q 9743  df-rp 9778  df-fz 10133  df-fzo 10267  df-fl 10415  df-mod 10470  df-seqfrec 10595  df-exp 10686  df-cj 11186  df-re 11187  df-im 11188  df-rsqrt 11342  df-abs 11343  df-dvds 12132  df-gcd 12308

This theorem is referenced by:  4sqlem16  12762  2sqlem8a  15632