Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  absimle GIF version

Theorem absimle 10915
 Description: The absolute value of a complex number is greater than or equal to the absolute value of its imaginary part. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
absimle (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absimle
StepHypRef Expression
1 negicn 8014 . . . . 5 -i ∈ ℂ
21a1i 9 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → -i ∈ ℂ)
3 id 19 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
42, 3mulcld 7837 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
5 absrele 10914 . . 3 ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘(-i · 𝐴))) ≤ (abs‘(-i · 𝐴)))
64, 5syl 14 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘(-i · 𝐴))) ≤ (abs‘(-i · 𝐴)))
7 imre 10682 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))
87fveq2d 5436 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = (abs‘(ℜ‘(-i · 𝐴))))
9 absmul 10900 . . . 4 ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘(-i · 𝐴)) = ((abs‘-i) · (abs‘𝐴)))
101, 9mpan 421 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(-i · 𝐴)) = ((abs‘-i) · (abs‘𝐴)))
11 ax-icn 7766 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
12 absneg 10881 . . . . . . 7 (i ∈ ℂ → (abs‘-i) = (abs‘i))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6 (abs‘-i) = (abs‘i)
14 absi 10890 . . . . . 6 (abs‘i) = 1
1513, 14eqtri 2161 . . . . 5 (abs‘-i) = 1
1615oveq1i 5795 . . . 4 ((abs‘-i) · (abs‘𝐴)) = (1 · (abs‘𝐴))
17 abscl 10882 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
1817recnd 7845 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
1918mulid2d 7835 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
2016, 19syl5eq 2185 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘-i) · (abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
2110, 20eqtr2d 2174 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (abs‘(-i · 𝐴)))
226, 8, 213brtr4d 3969 1 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ≤ (abs‘𝐴))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3938  ‘cfv 5134  (class class class)co 5785  ℂcc 7669  1c1 7672  ici 7673   · cmul 7676   ≤ cle 7852  -cneg 7985  ℜcre 10671  ℑcim 10672  abscabs 10828 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4141  ax-un 4365  ax-setind 4462  ax-iinf 4512  ax-cnex 7762  ax-resscn 7763  ax-1cn 7764  ax-1re 7765  ax-icn 7766  ax-addcl 7767  ax-addrcl 7768  ax-mulcl 7769  ax-mulrcl 7770  ax-addcom 7771  ax-mulcom 7772  ax-addass 7773  ax-mulass 7774  ax-distr 7775  ax-i2m1 7776  ax-0lt1 7777  ax-1rid 7778  ax-0id 7779  ax-rnegex 7780  ax-precex 7781  ax-cnre 7782  ax-pre-ltirr 7783  ax-pre-ltwlin 7784  ax-pre-lttrn 7785  ax-pre-apti 7786  ax-pre-ltadd 7787  ax-pre-mulgt0 7788  ax-pre-mulext 7789  ax-arch 7790  ax-caucvg 7791 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4225  df-po 4228  df-iso 4229  df-iord 4298  df-on 4300  df-ilim 4301  df-suc 4303  df-iom 4515  df-xp 4556  df-rel 4557  df-cnv 4558  df-co 4559  df-dm 4560  df-rn 4561  df-res 4562  df-ima 4563  df-iota 5099  df-fun 5136  df-fn 5137  df-f 5138  df-f1 5139  df-fo 5140  df-f1o 5141  df-fv 5142  df-riota 5741  df-ov 5788  df-oprab 5789  df-mpo 5790  df-1st 6049  df-2nd 6050  df-recs 6213  df-frec 6299  df-pnf 7853  df-mnf 7854  df-xr 7855  df-ltxr 7856  df-le 7857  df-sub 7986  df-neg 7987  df-reap 8388  df-ap 8395  df-div 8484  df-inn 8772  df-2 8830  df-3 8831  df-4 8832  df-n0 9029  df-z 9106  df-uz 9378  df-rp 9498  df-seqfrec 10277  df-exp 10351  df-cj 10673  df-re 10674  df-im 10675  df-rsqrt 10829  df-abs 10830 This theorem is referenced by:  imcn2  11146  climcvg1nlem  11177  sin01bnd  11534  rpabscxpbnd  13101
 Copyright terms: Public domain W3C validator