Theorem absimle 11724

Description: The absolute value of a complex number is greater than or equal to the absolute value of its imaginary part. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
absimle	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absimle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negicn 8439	. . . . 5 ⊢ -i ∈ ℂ
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -i ∈ ℂ)
3		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	2, 3	mulcld 8259	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
5		absrele 11723	. . 3 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘(-i · 𝐴))) ≤ (abs‘(-i · 𝐴)))
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘(-i · 𝐴))) ≤ (abs‘(-i · 𝐴)))
7		imre 11491	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))
8	7	fveq2d 5652	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = (abs‘(ℜ‘(-i · 𝐴))))
9		absmul 11709	. . . 4 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘(-i · 𝐴)) = ((abs‘-i) · (abs‘𝐴)))
10	1, 9	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(-i · 𝐴)) = ((abs‘-i) · (abs‘𝐴)))
11		ax-icn 8187	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
12		absneg 11690	. . . . . . 7 ⊢ (i ∈ ℂ → (abs‘-i) = (abs‘i))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (abs‘-i) = (abs‘i)
14		absi 11699	. . . . . 6 ⊢ (abs‘i) = 1
15	13, 14	eqtri 2252	. . . . 5 ⊢ (abs‘-i) = 1
16	15	oveq1i 6038	. . . 4 ⊢ ((abs‘-i) · (abs‘𝐴)) = (1 · (abs‘𝐴))
17		abscl 11691	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
18	17	recnd 8267	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
19	18	mullidd 8257	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
20	16, 19	eqtrid 2276	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘-i) · (abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
21	10, 20	eqtr2d 2265	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (abs‘(-i · 𝐴)))
22	6, 8, 21	3brtr4d 4125	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℂcc 8090  1c1 8093  ici 8094   · cmul 8097   ≤ cle 8274  -cneg 8410  ℜcre 11480  ℑcim 11481  abscabs 11637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-rp 9950  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639

This theorem is referenced by:  imcn2  11958  climcvg1nlem  11989  sin01bnd  12398  rpabscxpbnd  15751