Theorem absimle 11088

Description: The absolute value of a complex number is greater than or equal to the absolute value of its imaginary part. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
absimle	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absimle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negicn 8156	. . . . 5 ⊢ -i ∈ ℂ
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -i ∈ ℂ)
3		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	2, 3	mulcld 7976	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
5		absrele 11087	. . 3 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘(-i · 𝐴))) ≤ (abs‘(-i · 𝐴)))
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘(-i · 𝐴))) ≤ (abs‘(-i · 𝐴)))
7		imre 10855	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))
8	7	fveq2d 5519	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = (abs‘(ℜ‘(-i · 𝐴))))
9		absmul 11073	. . . 4 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘(-i · 𝐴)) = ((abs‘-i) · (abs‘𝐴)))
10	1, 9	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(-i · 𝐴)) = ((abs‘-i) · (abs‘𝐴)))
11		ax-icn 7905	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
12		absneg 11054	. . . . . . 7 ⊢ (i ∈ ℂ → (abs‘-i) = (abs‘i))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (abs‘-i) = (abs‘i)
14		absi 11063	. . . . . 6 ⊢ (abs‘i) = 1
15	13, 14	eqtri 2198	. . . . 5 ⊢ (abs‘-i) = 1
16	15	oveq1i 5884	. . . 4 ⊢ ((abs‘-i) · (abs‘𝐴)) = (1 · (abs‘𝐴))
17		abscl 11055	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
18	17	recnd 7984	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
19	18	mulid2d 7974	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
20	16, 19	eqtrid 2222	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘-i) · (abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
21	10, 20	eqtr2d 2211	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (abs‘(-i · 𝐴)))
22	6, 8, 21	3brtr4d 4035	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4003  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874  ℂcc 7808  1c1 7811  ici 7812   · cmul 7815   ≤ cle 7991  -cneg 8127  ℜcre 10844  ℑcim 10845  abscabs 11001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-rp 9652  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003

This theorem is referenced by:  imcn2  11321  climcvg1nlem  11352  sin01bnd  11760  rpabscxpbnd  14252