Theorem ballotfilem1 13220

Description: The size of the universe is a binomial coefficient. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotfilem.o	|- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }

Assertion

Ref	Expression
ballotfilem1	|- (♯ ` O ) = ( ( M + N ) _C M )

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c

Proof of Theorem ballotfilem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotfilem.o	. . 3 |- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
2	1	fveq2i 5698	. 2 |- (♯ ` O ) = (♯ ` { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M } )
3		1z 9670	. . . 4 |- 1 e. ZZ
4		ballotth.m	. . . . . 6 |- M e. NN
5	4	nnzi 9665	. . . . 5 |- M e. ZZ
6		ballotth.n	. . . . . 6 |- N e. NN
7	6	nnzi 9665	. . . . 5 |- N e. ZZ
8		zaddcl 9684	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. ZZ )
9	5, 7, 8	mp2an 430	. . . 4 |- ( M + N ) e. ZZ
10		fzfig 10867	. . . 4 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin )
11	3, 9, 10	mp2an 430	. . 3 |- ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin
12		hashfibc 11283	. . 3 |- ( ( ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin /\ M e. ZZ ) -> ( (♯ ` ( 1 ... ( M + N ) ) ) _C M ) = (♯ ` { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M } ) )
13	11, 5, 12	mp2an 430	. 2 |- ( (♯ ` ( 1 ... ( M + N ) ) ) _C M ) = (♯ ` { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M } )
14		nnaddcl 9324	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
15	4, 6, 14	mp2an 430	. . . . 5 |- ( M + N ) e. NN
16	15	nnnn0i 9571	. . . 4 |- ( M + N ) e. NN0
17		hashfz1 11222	. . . 4 |- ( ( M + N ) e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... ( M + N ) ) ) = ( M + N ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . 3 |- (♯ ` ( 1 ... ( M + N ) ) ) = ( M + N )
19	18	oveq1i 6095	. 2 |- ( (♯ ` ( 1 ... ( M + N ) ) ) _C M ) = ( ( M + N ) _C M )
20	2, 13, 19	3eqtr2i 2265	1 |- (♯ ` O ) = ( ( M + N ) _C M )

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   i^i cin 3219   ~Pcpw 3688   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Fincfn 7022   1c1 8180   + caddc 8182   NNcn 9304   NN0cn0 9563   ZZcz 9644   ...cfz 10411   _C cbc 11185  ♯chash 11214

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-fz 10412  df-seqfrec 10885  df-fac 11164  df-bc 11186  df-ihash 11215

This theorem is used by:  ballotfilemonn  13221  ballotfilem2  13228  ballotfilemth  13281