Theorem ballotfilem7 13262

Description: R is a bijection between two subsets of ( O \ E ): one where a vote for A is picked first, and one where a vote for B is picked first. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotfilem.o	|- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
ballotfilem.p	|- P = ( x e. ( ~P O i^i Fin ) |-> ( (♯ ` x ) / (♯ ` O ) ) )
ballotth.f	|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e	|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotth.mgtn	|- N < M
ballotth.i	|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
ballotth.s	|- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
ballotth.r	|- R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )

Assertion

Ref	Expression
ballotfilem7	|- ( R |` { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) : { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } -1-1-onto-> { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c }

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O   k, M   k, N   k, O   i, c, F, k   i, E, k   k, I, c   E, c   i, I, c   S, k, i, c   R, i, k   x, c, F   x, M   x, N, k, i

Allowed substitution hints:   P( x, i, k, c)   R( x, c)   S( x)   E( x)   I( x)   O( x)

Proof of Theorem ballotfilem7

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.r	. . 3 |- R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )
2	1	funmpt2 5414	. 2 |- Fun R
3		ballotth.m	. . 3 |- M e. NN
4		ballotth.n	. . 3 |- N e. NN
5		ballotfilem.o	. . 3 |- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
6		ballotfilem.p	. . 3 |- P = ( x e. ( ~P O i^i Fin ) |-> ( (♯ ` x ) / (♯ ` O ) ) )
7		ballotth.f	. . 3 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
8		ballotth.e	. . 3 |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
9		ballotth.mgtn	. . 3 |- N < M
10		ballotth.i	. . 3 |- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
11		ballotth.s	. . 3 |- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
12	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1	ballotfilemrinv 13260	. 2 |- `' R = R
13		rabid 2727	. . . . . 6 |- ( c e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } <-> ( c e. ( O \ E ) /\ 1 e. c ) )
14	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1	ballotfilemrc 13257	. . . . . . . 8 |- ( c e. ( O \ E ) -> ( R ` c ) e. ( O \ E ) )
15	14	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( c e. ( O \ E ) /\ 1 e. c ) -> ( R ` c ) e. ( O \ E ) )
16	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ballotfilem1c 13234	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c e. ( O \ E ) /\ 1 e. c ) -> -. ( I ` c ) e. c )
17	16	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ( O \ E ) -> ( 1 e. c -> -. ( I ` c ) e. c ) )
18	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1	ballotfilem1ri 13261	. . . . . . . . . 10 |- ( c e. ( O \ E ) -> ( 1 e. ( R ` c ) <-> ( I ` c ) e. c ) )
19	18	notbid 677	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ( O \ E ) -> ( -. 1 e. ( R ` c ) <-> -. ( I ` c ) e. c ) )
20	17, 19	sylibrd 169	. . . . . . . 8 |- ( c e. ( O \ E ) -> ( 1 e. c -> -. 1 e. ( R ` c ) ) )
21	20	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( c e. ( O \ E ) /\ 1 e. c ) -> -. 1 e. ( R ` c ) )
22	15, 21	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( c e. ( O \ E ) /\ 1 e. c ) -> ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. ( R ` c ) ) )
23	13, 22	sylbi 121	. . . . 5 |- ( c e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } -> ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. ( R ` c ) ) )
24	23	rgen 2603	. . . 4 |- A. c e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. ( R ` c ) )
25		eleq2 2302	. . . . . . . 8 |- ( b = ( R ` c ) -> ( 1 e. b <-> 1 e. ( R ` c ) ) )
26	25	notbid 677	. . . . . . 7 |- ( b = ( R ` c ) -> ( -. 1 e. b <-> -. 1 e. ( R ` c ) ) )
27	26	elrab 2982	. . . . . 6 |- ( ( R ` c ) e. { b e. ( O \ E ) | -. 1 e. b } <-> ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. ( R ` c ) ) )
28		eleq2 2302	. . . . . . . . 9 |- ( b = c -> ( 1 e. b <-> 1 e. c ) )
29	28	notbid 677	. . . . . . . 8 |- ( b = c -> ( -. 1 e. b <-> -. 1 e. c ) )
30	29	cbvrabv 2820	. . . . . . 7 |- { b e. ( O \ E ) | -. 1 e. b } = { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c }
31	30	eleq2i 2305	. . . . . 6 |- ( ( R ` c ) e. { b e. ( O \ E ) | -. 1 e. b } <-> ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } )
32	27, 31	bitr3i 186	. . . . 5 |- ( ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. ( R ` c ) ) <-> ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } )
33	32	ralbii 2556	. . . 4 |- ( A. c e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. ( R ` c ) ) <-> A. c e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } )
34	24, 33	mpbi 145	. . 3 |- A. c e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c }
35		ssrab2 3333	. . . . 5 |- { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } C_ ( O \ E )
36	3, 4, 5	ballotfilemofi 13202	. . . . . . . . . . 11 |- O e. Fin
37		difexg 4273	. . . . . . . . . . 11 |- ( O e. Fin -> ( O \ E ) e. _V )
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( O \ E ) e. _V
39	38	mptex 5937	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) ) e. _V
40	11, 39	eqeltri 2311	. . . . . . . 8 |- S e. _V
41		vex 2824	. . . . . . . 8 |- c e. _V
42	40, 41	fvex 5713	. . . . . . 7 |- ( S ` c ) e. _V
43	42	imaex 5139	. . . . . 6 |- ( ( S ` c ) " c ) e. _V
44	43, 1	dmmpti 5511	. . . . 5 |- dom R = ( O \ E )
45	35, 44	sseqtrri 3283	. . . 4 |- { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } C_ dom R
46		nfrab1 2732	. . . . 5 |- F/_ c { c e. ( O \ E ) | 1 e. c }
47		nfrab1 2732	. . . . 5 |- F/_ c { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c }
48		nfmpt1 4222	. . . . . 6 |- F/_ c ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )
49	1, 48	nfcxfr 2389	. . . . 5 |- F/_ c R
50	46, 47, 49	funimass4f 6353	. . . 4 |- ( ( Fun R /\ { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } C_ dom R ) -> ( ( R " { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) C_ { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } <-> A. c e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) )
51	2, 45, 50	mp2an 430	. . 3 |- ( ( R " { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) C_ { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } <-> A. c e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } )
52	34, 51	mpbir 146	. 2 |- ( R " { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) C_ { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c }
53		rabid 2727	. . . . . 6 |- ( c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } <-> ( c e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. c ) )
54	14	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( c e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. c ) -> ( R ` c ) e. ( O \ E ) )
55	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ballotfilemic 13233	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. c ) -> ( I ` c ) e. c )
56	55	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ( O \ E ) -> ( -. 1 e. c -> ( I ` c ) e. c ) )
57	56, 18	sylibrd 169	. . . . . . . 8 |- ( c e. ( O \ E ) -> ( -. 1 e. c -> 1 e. ( R ` c ) ) )
58	57	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( c e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. c ) -> 1 e. ( R ` c ) )
59	54, 58	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( c e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. c ) -> ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ 1 e. ( R ` c ) ) )
60	53, 59	sylbi 121	. . . . 5 |- ( c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } -> ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ 1 e. ( R ` c ) ) )
61	60	rgen 2603	. . . 4 |- A. c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ 1 e. ( R ` c ) )
62	25	elrab 2982	. . . . . 6 |- ( ( R ` c ) e. { b e. ( O \ E ) | 1 e. b } <-> ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ 1 e. ( R ` c ) ) )
63	28	cbvrabv 2820	. . . . . . 7 |- { b e. ( O \ E ) | 1 e. b } = { c e. ( O \ E ) | 1 e. c }
64	63	eleq2i 2305	. . . . . 6 |- ( ( R ` c ) e. { b e. ( O \ E ) | 1 e. b } <-> ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } )
65	62, 64	bitr3i 186	. . . . 5 |- ( ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ 1 e. ( R ` c ) ) <-> ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } )
66	65	ralbii 2556	. . . 4 |- ( A. c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ 1 e. ( R ` c ) ) <-> A. c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } )
67	61, 66	mpbi 145	. . 3 |- A. c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c }
68		ssrab2 3333	. . . . 5 |- { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } C_ ( O \ E )
69	68, 44	sseqtrri 3283	. . . 4 |- { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } C_ dom R
70	47, 46, 49	funimass4f 6353	. . . 4 |- ( ( Fun R /\ { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } C_ dom R ) -> ( ( R " { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) C_ { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } <-> A. c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) )
71	2, 69, 70	mp2an 430	. . 3 |- ( ( R " { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) C_ { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } <-> A. c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } )
72	67, 71	mpbir 146	. 2 |- ( R " { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) C_ { c e. ( O \ E ) | 1 e. c }
73	2, 12, 52, 72, 45, 69	rinvf1o 6029	1 |- ( R |` { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) : { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } -1-1-onto-> { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c }

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   i^i cin 3219   C_ wss 3220   ifcif 3638   ~Pcpw 3688   class class class wbr 4128   |-> cmpt 4190   dom cdm 4772   |` cres 4774   "cima 4775   Fun wfun 5369   -1-1-onto->wf1o 5374   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   Fincfn 7016  infcinf 7317   RRcr 8172   0cc0 8173   1c1 8174   + caddc 8176   < clt 8354   <_ cle 8355   - cmin 8491   / cdiv 8996   NNcn 9287   ZZcz 9627   ...cfz 10394  ♯chash 11197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-frec 6656  df-1o 6681  df-2o 6682  df-oadd 6685  df-er 6801  df-map 6918  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-sup 7318  df-inf 7319  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-ihash 11198

This theorem is referenced by:  ballotfilem8  13263