Theorem ballotfilem7 13223

Description: R is a bijection between two subsets of ( O \ E ): one where a vote for A is picked first, and one where a vote for B is picked first. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotfilem.o	|- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
ballotfilem.p	|- P = ( x e. ( ~P O i^i Fin ) |-> ( (♯ ` x ) / (♯ ` O ) ) )
ballotth.f	|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e	|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotth.mgtn	|- N < M
ballotth.i	|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
ballotth.s	|- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
ballotth.r	|- R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )

Assertion

Ref	Expression
ballotfilem7	|- ( R |` { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) : { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } -1-1-onto-> { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c }

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O   k, M   k, N   k, O   i, c, F, k   i, E, k   k, I, c   E, c   i, I, c   S, k, i, c   R, i, k   x, c, F   x, M   x, N, k, i

Allowed substitution hints:   P( x, i, k, c)   R( x, c)   S( x)   E( x)   I( x)   O( x)

Proof of Theorem ballotfilem7

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.r	. . 3 |- R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )
2	1	funmpt2 5396	. 2 |- Fun R
3		ballotth.m	. . 3 |- M e. NN
4		ballotth.n	. . 3 |- N e. NN
5		ballotfilem.o	. . 3 |- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
6		ballotfilem.p	. . 3 |- P = ( x e. ( ~P O i^i Fin ) |-> ( (♯ ` x ) / (♯ ` O ) ) )
7		ballotth.f	. . 3 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
8		ballotth.e	. . 3 |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
9		ballotth.mgtn	. . 3 |- N < M
10		ballotth.i	. . 3 |- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
11		ballotth.s	. . 3 |- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
12	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1	ballotfilemrinv 13221	. 2 |- `' R = R
13		rabid 2721	. . . . . 6 |- ( c e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } <-> ( c e. ( O \ E ) /\ 1 e. c ) )
14	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1	ballotfilemrc 13218	. . . . . . . 8 |- ( c e. ( O \ E ) -> ( R ` c ) e. ( O \ E ) )
15	14	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( c e. ( O \ E ) /\ 1 e. c ) -> ( R ` c ) e. ( O \ E ) )
16	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ballotfilem1c 13195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c e. ( O \ E ) /\ 1 e. c ) -> -. ( I ` c ) e. c )
17	16	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ( O \ E ) -> ( 1 e. c -> -. ( I ` c ) e. c ) )
18	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1	ballotfilem1ri 13222	. . . . . . . . . 10 |- ( c e. ( O \ E ) -> ( 1 e. ( R ` c ) <-> ( I ` c ) e. c ) )
19	18	notbid 673	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ( O \ E ) -> ( -. 1 e. ( R ` c ) <-> -. ( I ` c ) e. c ) )
20	17, 19	sylibrd 169	. . . . . . . 8 |- ( c e. ( O \ E ) -> ( 1 e. c -> -. 1 e. ( R ` c ) ) )
21	20	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( c e. ( O \ E ) /\ 1 e. c ) -> -. 1 e. ( R ` c ) )
22	15, 21	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( c e. ( O \ E ) /\ 1 e. c ) -> ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. ( R ` c ) ) )
23	13, 22	sylbi 121	. . . . 5 |- ( c e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } -> ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. ( R ` c ) ) )
24	23	rgen 2597	. . . 4 |- A. c e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. ( R ` c ) )
25		eleq2 2298	. . . . . . . 8 |- ( b = ( R ` c ) -> ( 1 e. b <-> 1 e. ( R ` c ) ) )
26	25	notbid 673	. . . . . . 7 |- ( b = ( R ` c ) -> ( -. 1 e. b <-> -. 1 e. ( R ` c ) ) )
27	26	elrab 2976	. . . . . 6 |- ( ( R ` c ) e. { b e. ( O \ E ) | -. 1 e. b } <-> ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. ( R ` c ) ) )
28		eleq2 2298	. . . . . . . . 9 |- ( b = c -> ( 1 e. b <-> 1 e. c ) )
29	28	notbid 673	. . . . . . . 8 |- ( b = c -> ( -. 1 e. b <-> -. 1 e. c ) )
30	29	cbvrabv 2814	. . . . . . 7 |- { b e. ( O \ E ) | -. 1 e. b } = { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c }
31	30	eleq2i 2301	. . . . . 6 |- ( ( R ` c ) e. { b e. ( O \ E ) | -. 1 e. b } <-> ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } )
32	27, 31	bitr3i 186	. . . . 5 |- ( ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. ( R ` c ) ) <-> ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } )
33	32	ralbii 2550	. . . 4 |- ( A. c e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. ( R ` c ) ) <-> A. c e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } )
34	24, 33	mpbi 145	. . 3 |- A. c e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c }
35		ssrab2 3327	. . . . 5 |- { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } C_ ( O \ E )
36	3, 4, 5	ballotfilemofi 13163	. . . . . . . . . . 11 |- O e. Fin
37		difexg 4257	. . . . . . . . . . 11 |- ( O e. Fin -> ( O \ E ) e. _V )
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( O \ E ) e. _V
39	38	mptex 5917	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) ) e. _V
40	11, 39	eqeltri 2307	. . . . . . . 8 |- S e. _V
41		vex 2818	. . . . . . . 8 |- c e. _V
42	40, 41	fvex 5695	. . . . . . 7 |- ( S ` c ) e. _V
43	42	imaex 5121	. . . . . 6 |- ( ( S ` c ) " c ) e. _V
44	43, 1	dmmpti 5493	. . . . 5 |- dom R = ( O \ E )
45	35, 44	sseqtrri 3277	. . . 4 |- { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } C_ dom R
46		nfrab1 2726	. . . . 5 |- F/_ c { c e. ( O \ E ) | 1 e. c }
47		nfrab1 2726	. . . . 5 |- F/_ c { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c }
48		nfmpt1 4208	. . . . . 6 |- F/_ c ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )
49	1, 48	nfcxfr 2383	. . . . 5 |- F/_ c R
50	46, 47, 49	funimass4f 6332	. . . 4 |- ( ( Fun R /\ { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } C_ dom R ) -> ( ( R " { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) C_ { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } <-> A. c e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) )
51	2, 45, 50	mp2an 426	. . 3 |- ( ( R " { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) C_ { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } <-> A. c e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } )
52	34, 51	mpbir 146	. 2 |- ( R " { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) C_ { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c }
53		rabid 2721	. . . . . 6 |- ( c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } <-> ( c e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. c ) )
54	14	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( c e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. c ) -> ( R ` c ) e. ( O \ E ) )
55	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ballotfilemic 13194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. c ) -> ( I ` c ) e. c )
56	55	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ( O \ E ) -> ( -. 1 e. c -> ( I ` c ) e. c ) )
57	56, 18	sylibrd 169	. . . . . . . 8 |- ( c e. ( O \ E ) -> ( -. 1 e. c -> 1 e. ( R ` c ) ) )
58	57	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( c e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. c ) -> 1 e. ( R ` c ) )
59	54, 58	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( c e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. c ) -> ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ 1 e. ( R ` c ) ) )
60	53, 59	sylbi 121	. . . . 5 |- ( c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } -> ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ 1 e. ( R ` c ) ) )
61	60	rgen 2597	. . . 4 |- A. c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ 1 e. ( R ` c ) )
62	25	elrab 2976	. . . . . 6 |- ( ( R ` c ) e. { b e. ( O \ E ) | 1 e. b } <-> ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ 1 e. ( R ` c ) ) )
63	28	cbvrabv 2814	. . . . . . 7 |- { b e. ( O \ E ) | 1 e. b } = { c e. ( O \ E ) | 1 e. c }
64	63	eleq2i 2301	. . . . . 6 |- ( ( R ` c ) e. { b e. ( O \ E ) | 1 e. b } <-> ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } )
65	62, 64	bitr3i 186	. . . . 5 |- ( ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ 1 e. ( R ` c ) ) <-> ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } )
66	65	ralbii 2550	. . . 4 |- ( A. c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ 1 e. ( R ` c ) ) <-> A. c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } )
67	61, 66	mpbi 145	. . 3 |- A. c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c }
68		ssrab2 3327	. . . . 5 |- { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } C_ ( O \ E )
69	68, 44	sseqtrri 3277	. . . 4 |- { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } C_ dom R
70	47, 46, 49	funimass4f 6332	. . . 4 |- ( ( Fun R /\ { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } C_ dom R ) -> ( ( R " { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) C_ { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } <-> A. c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) )
71	2, 69, 70	mp2an 426	. . 3 |- ( ( R " { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) C_ { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } <-> A. c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } )
72	67, 71	mpbir 146	. 2 |- ( R " { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) C_ { c e. ( O \ E ) | 1 e. c }
73	2, 12, 52, 72, 45, 69	rinvf1o 6008	1 |- ( R |` { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) : { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } -1-1-onto-> { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c }

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   {crab 2526   _Vcvv 2815   \ cdif 3211   i^i cin 3213   C_ wss 3214   ifcif 3624   ~Pcpw 3674   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   dom cdm 4754   |` cres 4756   "cima 4757   Fun wfun 5351   -1-1-onto->wf1o 5356   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Fincfn 6988  infcinf 7287   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8460   / cdiv 8963   NNcn 9254   ZZcz 9594   ...cfz 10361  ♯chash 11163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6780  df-map 6897  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164

This theorem is referenced by:  ballotfilem8  13224