Theorem clwwlk0on0 16216

Description: There is no word over the set of vertices representing a closed walk on vertex X of length 0 in a graph G. (Contributed by AV, 17-Feb-2022.) (Revised by AV, 25-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlk0on0	|- ( X (ClWWalksNOn ` G ) 0 ) = (/)

Proof of Theorem clwwlk0on0

Dummy variables n v w x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknonmpo 16213	. . . 4 |- (ClWWalksNOn ` G ) = ( v e. (Vtx ` G ) , n e. NN0 |-> { w e. ( n ClWWalksN G ) | ( w ` 0 ) = v } )
2	1	elmpocl1 6211	. . 3 |- ( x e. ( X (ClWWalksNOn ` G ) 0 ) -> X e. (Vtx ` G ) )
3		noel 3496	. . . 4 |- -. x e. (/)
4	3	pm2.21i 649	. . 3 |- ( x e. (/) -> X e. (Vtx ` G ) )
5		0nn0 9405	. . . . 5 |- 0 e. NN0
6		eqeq2 2239	. . . . . . . 8 |- ( v = X -> ( ( w ` 0 ) = v <-> ( w ` 0 ) = X ) )
7	6	rabbidv 2789	. . . . . . 7 |- ( v = X -> { w e. ( n ClWWalksN G ) | ( w ` 0 ) = v } = { w e. ( n ClWWalksN G ) | ( w ` 0 ) = X } )
8		oveq1 6018	. . . . . . . . 9 |- ( n = 0 -> ( n ClWWalksN G ) = ( 0 ClWWalksN G ) )
9		clwwlkn0 16193	. . . . . . . . 9 |- ( 0 ClWWalksN G ) = (/)
10	8, 9	eqtrdi 2278	. . . . . . . 8 |- ( n = 0 -> ( n ClWWalksN G ) = (/) )
11	10	rabeqdv 2794	. . . . . . 7 |- ( n = 0 -> { w e. ( n ClWWalksN G ) | ( w ` 0 ) = X } = { w e. (/) | ( w ` 0 ) = X } )
12		0ex 4212	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
13	12	rabex 4230	. . . . . . 7 |- { w e. (/) | ( w ` 0 ) = X } e. _V
14	7, 11, 1, 13	ovmpo 6150	. . . . . 6 |- ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ 0 e. NN0 ) -> ( X (ClWWalksNOn ` G ) 0 ) = { w e. (/) | ( w ` 0 ) = X } )
15		rab0 3521	. . . . . 6 |- { w e. (/) | ( w ` 0 ) = X } = (/)
16	14, 15	eqtrdi 2278	. . . . 5 |- ( ( X e. (Vtx ` G ) /\ 0 e. NN0 ) -> ( X (ClWWalksNOn ` G ) 0 ) = (/) )
17	5, 16	mpan2 425	. . . 4 |- ( X e. (Vtx ` G ) -> ( X (ClWWalksNOn ` G ) 0 ) = (/) )
18	17	eleq2d 2299	. . 3 |- ( X e. (Vtx ` G ) -> ( x e. ( X (ClWWalksNOn ` G ) 0 ) <-> x e. (/) ) )
19	2, 4, 18	pm5.21nii 709	. 2 |- ( x e. ( X (ClWWalksNOn ` G ) 0 ) <-> x e. (/) )
20	19	eqriv 2226	1 |- ( X (ClWWalksNOn ` G ) 0 ) = (/)

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   {crab 2512   (/)c0 3492   ` cfv 5322  (class class class)co 6011   0cc0 8020   NN0cn0 9390  Vtxcvtx 15850   ClWWalksN cclwwlkn 16188  ClWWalksNOncclwwlknon 16211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4200  ax-sep 4203  ax-nul 4211  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-iinf 4682  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-mulrcl 8119  ax-addcom 8120  ax-mulcom 8121  ax-addass 8122  ax-mulass 8123  ax-distr 8124  ax-i2m1 8125  ax-0lt1 8126  ax-1rid 8127  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-precex 8130  ax-cnre 8131  ax-pre-ltirr 8132  ax-pre-ltwlin 8133  ax-pre-lttrn 8134  ax-pre-apti 8135  ax-pre-ltadd 8136  ax-pre-mulgt0 8137

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-iun 3968  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-tr 4184  df-id 4386  df-iord 4459  df-on 4461  df-ilim 4462  df-suc 4464  df-iom 4685  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-f1 5327  df-fo 5328  df-f1o 5329  df-fv 5330  df-riota 5964  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-1st 6296  df-2nd 6297  df-recs 6464  df-frec 6550  df-1o 6575  df-er 6695  df-map 6812  df-en 6903  df-dom 6904  df-fin 6905  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-xr 8206  df-ltxr 8207  df-le 8208  df-sub 8340  df-neg 8341  df-reap 8743  df-ap 8750  df-inn 9132  df-n0 9391  df-z 9468  df-uz 9744  df-fz 10232  df-fzo 10366  df-ihash 11026  df-word 11101  df-ndx 13072  df-slot 13073  df-base 13075  df-vtx 15852  df-clwwlk 16177  df-clwwlkn 16189  df-clwwlknon 16212

This theorem is referenced by: (None)