Theorem clwwlk0on0 16281

Description: There is no word over the set of vertices representing a closed walk on vertex 𝑋 of length 0 in a graph 𝐺. (Contributed by AV, 17-Feb-2022.) (Revised by AV, 25-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlk0on0	⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) = ∅

Proof of Theorem clwwlk0on0

Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknonmpo 16278	. . . 4 ⊢ (ClWWalksNOn‘𝐺) = (𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺), 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
2	1	elmpocl1 6217	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
3		noel 3498	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
4	3	pm2.21i 651	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
5		0nn0 9416	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6		eqeq2 2241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → ((𝑤‘0) = 𝑣 ↔ (𝑤‘0) = 𝑋))
7	6	rabbidv 2791	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣} = {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
8		oveq1 6024	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 ClWWalksN 𝐺) = (0 ClWWalksN 𝐺))
9		clwwlkn0 16258	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ClWWalksN 𝐺) = ∅
10	8, 9	eqtrdi 2280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
11	10	rabeqdv 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = {𝑤 ∈ ∅ ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
12		0ex 4216	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
13	12	rabex 4234	. . . . . . 7 ⊢ {𝑤 ∈ ∅ ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ V
14	7, 11, 1, 13	ovmpo 6156	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) = {𝑤 ∈ ∅ ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
15		rab0 3523	. . . . . 6 ⊢ {𝑤 ∈ ∅ ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = ∅
16	14, 15	eqtrdi 2280	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) = ∅)
17	5, 16	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) = ∅)
18	17	eleq2d 2301	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝑥 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) ↔ 𝑥 ∈ ∅))
19	2, 4, 18	pm5.21nii 711	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) ↔ 𝑥 ∈ ∅)
20	19	eqriv 2228	1 ⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) = ∅

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {crab 2514  ∅c0 3494  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  0cc0 8031  ℕ₀cn0 9401  Vtxcvtx 15862   ClWWalksN cclwwlkn 16253  ClWWalksNOncclwwlknon 16276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-er 6701  df-map 6818  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-ihash 11037  df-word 11113  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-vtx 15864  df-clwwlk 16242  df-clwwlkn 16254  df-clwwlknon 16277

This theorem is referenced by: (None)