Theorem clwwlk0on0 16672

Description: There is no word over the set of vertices representing a closed walk on vertex 𝑋 of length 0 in a graph 𝐺. (Contributed by AV, 17-Feb-2022.) (Revised by AV, 25-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlk0on0	⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) = ∅

Proof of Theorem clwwlk0on0

Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknonmpo 16669	. . . 4 ⊢ (ClWWalksNOn‘𝐺) = (𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺), 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
2	1	elmpocl1 6285	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
3		noel 3525	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
4	3	pm2.21i 655	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
5		0nn0 9578	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6		eqeq2 2248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → ((𝑤‘0) = 𝑣 ↔ (𝑤‘0) = 𝑋))
7	6	rabbidv 2810	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣} = {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
8		oveq1 6092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 ClWWalksN 𝐺) = (0 ClWWalksN 𝐺))
9		clwwlkn0 16649	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ClWWalksN 𝐺) = ∅
10	8, 9	eqtrdi 2287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
11	10	rabeqdv 2815	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = {𝑤 ∈ ∅ ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
12		0ex 4260	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
13	12	rabex 4280	. . . . . . 7 ⊢ {𝑤 ∈ ∅ ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ V
14	7, 11, 1, 13	ovmpo 6224	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) = {𝑤 ∈ ∅ ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
15		rab0 3551	. . . . . 6 ⊢ {𝑤 ∈ ∅ ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = ∅
16	14, 15	eqtrdi 2287	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) = ∅)
17	5, 16	mpan2 429	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) = ∅)
18	17	eleq2d 2308	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝑥 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) ↔ 𝑥 ∈ ∅))
19	2, 4, 18	pm5.21nii 716	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) ↔ 𝑥 ∈ ∅)
20	19	eqriv 2235	1 ⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) = ∅

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532  ∅c0 3520  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  0cc0 8179  ℕ₀cn0 9563  Vtxcvtx 16253   ClWWalksN cclwwlkn 16644  ClWWalksNOncclwwlknon 16667

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-ihash 11215  df-word 11305  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-vtx 16255  df-clwwlk 16633  df-clwwlkn 16645  df-clwwlknon 16668

This theorem is used by: (None)