Theorem clwwlk0on0 16355

Description: There is no word over the set of vertices representing a closed walk on vertex 𝑋 of length 0 in a graph 𝐺. (Contributed by AV, 17-Feb-2022.) (Revised by AV, 25-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlk0on0	⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) = ∅

Proof of Theorem clwwlk0on0

Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknonmpo 16352	. . . 4 ⊢ (ClWWalksNOn‘𝐺) = (𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺), 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
2	1	elmpocl1 6228	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
3		noel 3500	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
4	3	pm2.21i 651	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
5		0nn0 9459	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6		eqeq2 2241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → ((𝑤‘0) = 𝑣 ↔ (𝑤‘0) = 𝑋))
7	6	rabbidv 2792	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣} = {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
8		oveq1 6035	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 ClWWalksN 𝐺) = (0 ClWWalksN 𝐺))
9		clwwlkn0 16332	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ClWWalksN 𝐺) = ∅
10	8, 9	eqtrdi 2280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
11	10	rabeqdv 2797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = {𝑤 ∈ ∅ ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
12		0ex 4221	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
13	12	rabex 4239	. . . . . . 7 ⊢ {𝑤 ∈ ∅ ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ V
14	7, 11, 1, 13	ovmpo 6167	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) = {𝑤 ∈ ∅ ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
15		rab0 3525	. . . . . 6 ⊢ {𝑤 ∈ ∅ ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = ∅
16	14, 15	eqtrdi 2280	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) = ∅)
17	5, 16	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) = ∅)
18	17	eleq2d 2301	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝑥 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) ↔ 𝑥 ∈ ∅))
19	2, 4, 18	pm5.21nii 712	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) ↔ 𝑥 ∈ ∅)
20	19	eqriv 2228	1 ⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) = ∅

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  {crab 2515  ∅c0 3496  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  0cc0 8075  ℕ₀cn0 9444  Vtxcvtx 15936   ClWWalksN cclwwlkn 16327  ClWWalksNOncclwwlknon 16350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-map 6862  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-ihash 11084  df-word 11163  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-vtx 15938  df-clwwlk 16316  df-clwwlkn 16328  df-clwwlknon 16351

This theorem is referenced by: (None)