Theorem cvgcmp2n 17204

Description: A comparison test for convergence of a real infinite series. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgcmp2n.cl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
cvgcmp2n.ge0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐺‘𝑘))
cvgcmp2n.lt	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (1 / (2↑𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
cvgcmp2n	⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘

Proof of Theorem cvgcmp2n

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9968	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 9676	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		cvgcmp2n.cl	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
4	3	recnd 8355	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
5	1, 2, 4	serf 10934	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℂ)
6		2rp 10070	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ+
7	6	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
8	3	adantlr 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
9		cvgcmp2n.ge0	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐺‘𝑘))
10	9	adantlr 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐺‘𝑘))
11		cvgcmp2n.lt	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (1 / (2↑𝑘)))
12	11	adantlr 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (1 / (2↑𝑘)))
13		simprl 535	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚))) → 𝑚 ∈ ℕ)
14		simprr 537	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚))
15	8, 10, 12, 13, 14	cvgcmp2nlemabs 17203	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚))) → (abs‘((seq1( + , 𝐺)‘𝑛) − (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))) < (2 / 𝑚))
16	15	ralrimivva 2632	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((seq1( + , 𝐺)‘𝑛) − (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))) < (2 / 𝑚))
17	5, 7, 16	climcvg1n 12134	1 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  dom cdm 4774  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℝcr 8179  0cc0 8180  1c1 8181   + caddc 8183   < clt 8361   ≤ cle 8362   − cmin 8499   / cdiv 9005  ℕcn 9307  2c2 9358  ℤ_≥cuz 9931  ℝ⁺crp 10065  seqcseq 10898  ↑cexp 10989  abscabs 11778   ⇝ cli 12062

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-ico 10307  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-seqfrec 10899  df-exp 10990  df-ihash 11230  df-cj 11622  df-re 11623  df-im 11624  df-rsqrt 11779  df-abs 11780  df-clim 12063  df-sumdc 12138

This theorem is used by:  trilpolemclim  17207