Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvgratgt0 GIF version

Theorem cvgratgt0 11092
 Description: Ratio test for convergence of a complex infinite series. If the ratio 𝐴 of the absolute values of successive terms in an infinite sequence 𝐹 is less than 1 for all terms beyond some index 𝐵, then the infinite sum of the terms of 𝐹 converges to a complex number. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgrat.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
cvgrat.2 𝑊 = (ℤ𝑁)
cvgrat.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cvgrat.4 (𝜑𝐴 < 1)
cvgrat.gt0 (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgrat.5 (𝜑𝑁𝑍)
cvgrat.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
cvgrat.7 ((𝜑𝑘𝑊) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
Assertion
Ref Expression
cvgratgt0 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍

Proof of Theorem cvgratgt0
StepHypRef Expression
1 cvgrat.2 . . 3 𝑊 = (ℤ𝑁)
2 cvgrat.5 . . . 4 (𝜑𝑁𝑍)
3 eluzelz 9127 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 cvgrat.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
53, 4eleq2s 2189 . . . 4 (𝑁𝑍𝑁 ∈ ℤ)
62, 5syl 14 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
7 cvgrat.3 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
8 cvgrat.4 . . 3 (𝜑𝐴 < 1)
9 cvgrat.gt0 . . 3 (𝜑 → 0 < 𝐴)
101eleq2i 2161 . . . . . . 7 (𝑘𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
1110biimpi 119 . . . . . 6 (𝑘𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
122, 4syl6eleq 2187 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
13 uztrn 9134 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1411, 12, 13syl2anr 285 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1514, 4syl6eleqr 2188 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝑘𝑍)
16 cvgrat.6 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1715, 16syldan 277 . . 3 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
18 cvgrat.7 . . 3 ((𝜑𝑘𝑊) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
191, 6, 7, 8, 9, 17, 18cvgratz 11091 . 2 (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
204, 2, 16iserex 10898 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
2119, 20mpbird 166 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1296   ∈ wcel 1445   class class class wbr 3867  dom cdm 4467  ‘cfv 5049  (class class class)co 5690  ℂcc 7445  ℝcr 7446  0cc0 7447  1c1 7448   + caddc 7450   · cmul 7452   < clt 7619   ≤ cle 7620  ℤcz 8848  ℤ≥cuz 9118  seqcseq 10001  abscabs 10561   ⇝ cli 10837 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561  ax-caucvg 7562 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-isom 5058  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-frec 6194  df-1o 6219  df-oadd 6223  df-er 6332  df-en 6538  df-dom 6539  df-fin 6540  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-q 9204  df-rp 9234  df-ico 9460  df-fz 9574  df-fzo 9703  df-iseq 10002  df-seq3 10003  df-exp 10086  df-ihash 10315  df-cj 10407  df-re 10408  df-im 10409  df-rsqrt 10562  df-abs 10563  df-clim 10838  df-sumdc 10913 This theorem is referenced by:  efcllemp  11113
 Copyright terms: Public domain W3C validator