Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvgratgt0 GIF version

Theorem cvgratgt0 11316
 Description: Ratio test for convergence of a complex infinite series. If the ratio 𝐴 of the absolute values of successive terms in an infinite sequence 𝐹 is less than 1 for all terms beyond some index 𝐵, then the infinite sum of the terms of 𝐹 converges to a complex number. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgrat.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
cvgrat.2 𝑊 = (ℤ𝑁)
cvgrat.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cvgrat.4 (𝜑𝐴 < 1)
cvgrat.gt0 (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgrat.5 (𝜑𝑁𝑍)
cvgrat.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
cvgrat.7 ((𝜑𝑘𝑊) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
Assertion
Ref Expression
cvgratgt0 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍

Proof of Theorem cvgratgt0
StepHypRef Expression
1 cvgrat.2 . . 3 𝑊 = (ℤ𝑁)
2 cvgrat.5 . . . 4 (𝜑𝑁𝑍)
3 eluzelz 9349 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 cvgrat.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
53, 4eleq2s 2234 . . . 4 (𝑁𝑍𝑁 ∈ ℤ)
62, 5syl 14 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
7 cvgrat.3 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
8 cvgrat.4 . . 3 (𝜑𝐴 < 1)
9 cvgrat.gt0 . . 3 (𝜑 → 0 < 𝐴)
101eleq2i 2206 . . . . . . 7 (𝑘𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
1110biimpi 119 . . . . . 6 (𝑘𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
122, 4eleqtrdi 2232 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
13 uztrn 9356 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1411, 12, 13syl2anr 288 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1514, 4eleqtrrdi 2233 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝑘𝑍)
16 cvgrat.6 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1715, 16syldan 280 . . 3 ((𝜑𝑘𝑊) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
18 cvgrat.7 . . 3 ((𝜑𝑘𝑊) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
191, 6, 7, 8, 9, 17, 18cvgratz 11315 . 2 (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
204, 2, 16iserex 11122 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
2119, 20mpbird 166 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  dom cdm 4539  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7632  ℝcr 7633  0cc0 7634  1c1 7635   + caddc 7637   · cmul 7639   < clt 7814   ≤ cle 7815  ℤcz 9068  ℤ≥cuz 9340  seqcseq 10232  abscabs 10783   ⇝ cli 11061 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-mulrcl 7733  ax-addcom 7734  ax-mulcom 7735  ax-addass 7736  ax-mulass 7737  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-0lt1 7740  ax-1rid 7741  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-precex 7744  ax-cnre 7745  ax-pre-ltirr 7746  ax-pre-ltwlin 7747  ax-pre-lttrn 7748  ax-pre-apti 7749  ax-pre-ltadd 7750  ax-pre-mulgt0 7751  ax-pre-mulext 7752  ax-arch 7753  ax-caucvg 7754 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-xr 7818  df-ltxr 7819  df-le 7820  df-sub 7949  df-neg 7950  df-reap 8351  df-ap 8358  df-div 8447  df-inn 8735  df-2 8793  df-3 8794  df-4 8795  df-n0 8992  df-z 9069  df-uz 9341  df-q 9426  df-rp 9456  df-ico 9691  df-fz 9805  df-fzo 9934  df-seqfrec 10233  df-exp 10307  df-ihash 10536  df-cj 10628  df-re 10629  df-im 10630  df-rsqrt 10784  df-abs 10785  df-clim 11062  df-sumdc 11137 This theorem is referenced by:  efcllemp  11378
 Copyright terms: Public domain W3C validator