Theorem cvgratgt0 11786

Description: Ratio test for convergence of a complex infinite series. If the ratio 𝐴 of the absolute values of successive terms in an infinite sequence 𝐹 is less than 1 for all terms beyond some index 𝐵, then the infinite sum of the terms of 𝐹 converges to a complex number. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgrat.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
cvgrat.2	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘𝑁)
cvgrat.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cvgrat.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
cvgrat.gt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgrat.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
cvgrat.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
cvgrat.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))

Assertion

Ref	Expression
cvgratgt0	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍

Proof of Theorem cvgratgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgrat.2	. . 3 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘𝑁)
2		cvgrat.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
3		eluzelz 9656	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		cvgrat.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	3, 4	eleq2s 2299	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	2, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7		cvgrat.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8		cvgrat.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
9		cvgrat.gt0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
10	1	eleq2i 2271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑊 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
11	10	biimpi 120	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑊 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
12	2, 4	eleqtrdi 2297	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13		uztrn 9664	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
14	11, 12, 13	syl2anr 290	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
15	14, 4	eleqtrrdi 2298	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝑘 ∈ 𝑍)
16		cvgrat.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
17	15, 16	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
18		cvgrat.7	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
19	1, 6, 7, 8, 9, 17, 18	cvgratz 11785	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
20	4, 2, 16	iserex 11592	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
21	19, 20	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  dom cdm 4674  ‘cfv 5270  (class class class)co 5943  ℂcc 7922  ℝcr 7923  0cc0 7924  1c1 7925   + caddc 7927   · cmul 7929   < clt 8106   ≤ cle 8107  ℤcz 9371  ℤ_≥cuz 9647  seqcseq 10590  abscabs 11250   ⇝ cli 11531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-isom 5279  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-irdg 6455  df-frec 6476  df-1o 6501  df-oadd 6505  df-er 6619  df-en 6827  df-dom 6828  df-fin 6829  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-ico 10015  df-fz 10130  df-fzo 10264  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-ihash 10919  df-cj 11095  df-re 11096  df-im 11097  df-rsqrt 11251  df-abs 11252  df-clim 11532  df-sumdc 11607

This theorem is referenced by:  efcllemp  11911