Theorem depindlem2 16731

Description: Lemma for depind 16733. (Contributed by Matthew House, 14-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
depind.p	⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ0⟶V)
depind.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑃‘0))
depind.h	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑛):(𝑃‘𝑛)⟶(𝑃‘(𝑛 + 1)))
depindlem1.4	⊢ 𝐹 = seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1)))))

Assertion

Ref	Expression
depindlem2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ X𝑛 ∈ ℕ0 (𝑃‘𝑛))

Distinct variable groups:   ℎ,𝑛,𝑥   𝐴,𝑚,𝑛   𝑛,𝐹   𝑚,𝐻,𝑛   𝑃,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,ℎ,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑥,ℎ)   𝑃(𝑥,ℎ,𝑚)   𝐹(𝑥,ℎ,𝑚)   𝐻(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem depindlem2

Dummy variables 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		depind.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ0⟶V)
2		depind.0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑃‘0))
3		depind.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑛):(𝑃‘𝑛)⟶(𝑃‘(𝑛 + 1)))
4		depindlem1.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1)))))
5	1, 2, 3, 4	depindlem1 16730	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:ℕ0⟶V ∧ (𝐹‘0) = 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝐹‘(𝑛 + 1)) = ((𝐻‘𝑛)‘(𝐹‘𝑛))))
6	5	simp1d 1040	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶V)
7		nn0ex 9552	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
9	6, 8	fexd 5942	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
10	6	ffnd 5532	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℕ0)
11		fveq2 5693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘0))
12		fveq2 5693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑃‘𝑦) = (𝑃‘0))
13	11, 12	eleq12d 2309	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝐹‘𝑦) ∈ (𝑃‘𝑦) ↔ (𝐹‘0) ∈ (𝑃‘0)))
14	13	imbi2d 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝑃‘𝑦)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ (𝑃‘0))))
15		fveq2 5693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑘))
16		fveq2 5693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝑃‘𝑦) = (𝑃‘𝑘))
17	15, 16	eleq12d 2309	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑦) ∈ (𝑃‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑃‘𝑘)))
18	17	imbi2d 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝑃‘𝑦)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑃‘𝑘))))
19		fveq2 5693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
20		fveq2 5693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑘 + 1) → (𝑃‘𝑦) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
21	19, 20	eleq12d 2309	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑦) ∈ (𝑃‘𝑦) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
22	21	imbi2d 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝑃‘𝑦)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
23	5	simp2d 1041	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝐴)
24	23, 2	eqeltrd 2315	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ (𝑃‘0))
25	5	simp3d 1042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝐹‘(𝑛 + 1)) = ((𝐻‘𝑛)‘(𝐹‘𝑛)))
26		fvoveq1 6102	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
27		fveq2 5693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐻‘𝑛) = (𝐻‘𝑘))
28		fveq2 5693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑘))
29	27, 28	fveq12d 5700	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐻‘𝑛)‘(𝐹‘𝑛)) = ((𝐻‘𝑘)‘(𝐹‘𝑘)))
30	26, 29	eqeq12d 2253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) = ((𝐻‘𝑛)‘(𝐹‘𝑛)) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐻‘𝑘)‘(𝐹‘𝑘))))
31	30	rspccva 2928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝐹‘(𝑛 + 1)) = ((𝐻‘𝑛)‘(𝐹‘𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐻‘𝑘)‘(𝐹‘𝑘)))
32	25, 31	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐻‘𝑘)‘(𝐹‘𝑘)))
33	32	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑃‘𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐻‘𝑘)‘(𝐹‘𝑘)))
34		fveq2 5693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑃‘𝑛) = (𝑃‘𝑘))
35		fvoveq1 6102	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑃‘(𝑛 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
36	27, 34, 35	feq123d 5522	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐻‘𝑛):(𝑃‘𝑛)⟶(𝑃‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐻‘𝑘):(𝑃‘𝑘)⟶(𝑃‘(𝑘 + 1))))
37	36	rspccva 2928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑛):(𝑃‘𝑛)⟶(𝑃‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑘):(𝑃‘𝑘)⟶(𝑃‘(𝑘 + 1)))
38	3, 37	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑘):(𝑃‘𝑘)⟶(𝑃‘(𝑘 + 1)))
39	38	ffvelcdmda 5837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑃‘𝑘)) → ((𝐻‘𝑘)‘(𝐹‘𝑘)) ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
40	33, 39	eqeltrd 2315	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑃‘𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
41	40	exp31 364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑃‘𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
42	41	com12 30	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑃‘𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
43	42	a2d 26	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑃‘𝑘)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
44	14, 18, 22, 18, 24, 43	nn0ind 9743	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑃‘𝑘)))
45	44	impcom 125	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑃‘𝑘))
46	45	ralrimiva 2623	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑃‘𝑘))
47		elixp2 6978	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ X𝑘 ∈ ℕ0 (𝑃‘𝑘) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑃‘𝑘)))
48	9, 10, 46, 47	syl3anbrc 1212	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ ℕ0 (𝑃‘𝑘))
49	34	cbvixpv 6992	. 2 ⊢ X𝑛 ∈ ℕ0 (𝑃‘𝑛) = X𝑘 ∈ ℕ0 (𝑃‘𝑘)
50	48, 49	eleqtrrdi 2332	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ X𝑛 ∈ ℕ0 (𝑃‘𝑛))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  Vcvv 2821  ifcif 3638   ↦ cmpt 4190   Fn wfn 5370  ⟶wf 5371  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079   ∈ cmpo 6081  Xcixp 6974  0cc0 8173  1c1 8174   + caddc 8176   − cmin 8491  ℕ₀cn0 9546  seqcseq 10867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-ixp 6975  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-seqfrec 10868

This theorem is referenced by:  depind  16733