Theorem depindlem2 16347

Description: Lemma for depind 16349. (Contributed by Matthew House, 14-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
depind.p	⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ0⟶V)
depind.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑃‘0))
depind.h	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑛):(𝑃‘𝑛)⟶(𝑃‘(𝑛 + 1)))
depindlem1.4	⊢ 𝐹 = seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1)))))

Assertion

Ref	Expression
depindlem2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ X𝑛 ∈ ℕ0 (𝑃‘𝑛))

Distinct variable groups:   ℎ,𝑛,𝑥   𝐴,𝑚,𝑛   𝑛,𝐹   𝑚,𝐻,𝑛   𝑃,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,ℎ,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑥,ℎ)   𝑃(𝑥,ℎ,𝑚)   𝐹(𝑥,ℎ,𝑚)   𝐻(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem depindlem2

Dummy variables 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		depind.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ0⟶V)
2		depind.0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑃‘0))
3		depind.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑛):(𝑃‘𝑛)⟶(𝑃‘(𝑛 + 1)))
4		depindlem1.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = seq0((𝑥 ∈ V, ℎ ∈ V ↦ (ℎ‘𝑥)), (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐴, (𝐻‘(𝑚 − 1)))))
5	1, 2, 3, 4	depindlem1 16346	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:ℕ0⟶V ∧ (𝐹‘0) = 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝐹‘(𝑛 + 1)) = ((𝐻‘𝑛)‘(𝐹‘𝑛))))
6	5	simp1d 1035	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶V)
7		nn0ex 9408	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
9	6, 8	fexd 5884	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
10	6	ffnd 5483	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℕ0)
11		fveq2 5639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘0))
12		fveq2 5639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑃‘𝑦) = (𝑃‘0))
13	11, 12	eleq12d 2302	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝐹‘𝑦) ∈ (𝑃‘𝑦) ↔ (𝐹‘0) ∈ (𝑃‘0)))
14	13	imbi2d 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝑃‘𝑦)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ (𝑃‘0))))
15		fveq2 5639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑘))
16		fveq2 5639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝑃‘𝑦) = (𝑃‘𝑘))
17	15, 16	eleq12d 2302	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑦) ∈ (𝑃‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑃‘𝑘)))
18	17	imbi2d 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝑃‘𝑦)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑃‘𝑘))))
19		fveq2 5639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
20		fveq2 5639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑘 + 1) → (𝑃‘𝑦) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
21	19, 20	eleq12d 2302	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑦) ∈ (𝑃‘𝑦) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
22	21	imbi2d 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝑃‘𝑦)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
23	5	simp2d 1036	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝐴)
24	23, 2	eqeltrd 2308	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ (𝑃‘0))
25	5	simp3d 1037	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝐹‘(𝑛 + 1)) = ((𝐻‘𝑛)‘(𝐹‘𝑛)))
26		fvoveq1 6041	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
27		fveq2 5639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐻‘𝑛) = (𝐻‘𝑘))
28		fveq2 5639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑘))
29	27, 28	fveq12d 5646	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐻‘𝑛)‘(𝐹‘𝑛)) = ((𝐻‘𝑘)‘(𝐹‘𝑘)))
30	26, 29	eqeq12d 2246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) = ((𝐻‘𝑛)‘(𝐹‘𝑛)) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐻‘𝑘)‘(𝐹‘𝑘))))
31	30	rspccva 2909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝐹‘(𝑛 + 1)) = ((𝐻‘𝑛)‘(𝐹‘𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐻‘𝑘)‘(𝐹‘𝑘)))
32	25, 31	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐻‘𝑘)‘(𝐹‘𝑘)))
33	32	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑃‘𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐻‘𝑘)‘(𝐹‘𝑘)))
34		fveq2 5639	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑃‘𝑛) = (𝑃‘𝑘))
35		fvoveq1 6041	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑃‘(𝑛 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
36	27, 34, 35	feq123d 5473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐻‘𝑛):(𝑃‘𝑛)⟶(𝑃‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐻‘𝑘):(𝑃‘𝑘)⟶(𝑃‘(𝑘 + 1))))
37	36	rspccva 2909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝐻‘𝑛):(𝑃‘𝑛)⟶(𝑃‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑘):(𝑃‘𝑘)⟶(𝑃‘(𝑘 + 1)))
38	3, 37	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑘):(𝑃‘𝑘)⟶(𝑃‘(𝑘 + 1)))
39	38	ffvelcdmda 5782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑃‘𝑘)) → ((𝐻‘𝑘)‘(𝐹‘𝑘)) ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
40	33, 39	eqeltrd 2308	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑃‘𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
41	40	exp31 364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑃‘𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
42	41	com12 30	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑃‘𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
43	42	a2d 26	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑃‘𝑘)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
44	14, 18, 22, 18, 24, 43	nn0ind 9594	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑃‘𝑘)))
45	44	impcom 125	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑃‘𝑘))
46	45	ralrimiva 2605	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑃‘𝑘))
47		elixp2 6871	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ X𝑘 ∈ ℕ0 (𝑃‘𝑘) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑃‘𝑘)))
48	9, 10, 46, 47	syl3anbrc 1207	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ ℕ0 (𝑃‘𝑘))
49	34	cbvixpv 6885	. 2 ⊢ X𝑛 ∈ ℕ0 (𝑃‘𝑛) = X𝑘 ∈ ℕ0 (𝑃‘𝑘)
50	48, 49	eleqtrrdi 2325	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ X𝑛 ∈ ℕ0 (𝑃‘𝑛))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  Vcvv 2802  ifcif 3605   ↦ cmpt 4150   Fn wfn 5321  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018   ∈ cmpo 6020  Xcixp 6867  0cc0 8032  1c1 8033   + caddc 8035   − cmin 8350  ℕ₀cn0 9402  seqcseq 10710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-ixp 6868  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-seqfrec 10711

This theorem is referenced by:  depind  16349