Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvbssntrcntop GIF version

Theorem dvbssntrcntop 12895
 Description: The set of differentiable points is a subset of the interior of the domain of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcl.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
dvcl.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvcl.a (𝜑𝐴𝑆)
dvbssntr.j 𝐽 = (𝐾t 𝑆)
dvbssntr.k 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
Assertion
Ref Expression
dvbssntrcntop (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝐴))

Proof of Theorem dvbssntrcntop
Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcl.s . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
2 dvcl.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
3 dvcl.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑆)
4 dvbssntr.j . . . . 5 𝐽 = (𝐾t 𝑆)
5 dvbssntr.k . . . . 5 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
64, 5dvfvalap 12892 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → ((𝑆 D 𝐹) = 𝑥 ∈ ((int‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ)))
71, 2, 3, 6syl3anc 1217 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) = 𝑥 ∈ ((int‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ)))
8 dmss 4749 . . 3 ((𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ) → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ dom (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ))
97, 8simpl2im 384 . 2 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ dom (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ))
10 dmxpss 4980 . 2 dom (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝐴)
119, 10sstrdi 3115 1 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝐴))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332  {crab 2421   ⊆ wss 3077  {csn 3533  ∪ ciun 3822   class class class wbr 3938   ↦ cmpt 3998   × cxp 4548  dom cdm 4550   ∘ ccom 4554  ⟶wf 5130  ‘cfv 5134  (class class class)co 5785  ℂcc 7669   − cmin 7984   # cap 8394   / cdiv 8483  abscabs 10828   ↾t crest 12193  MetOpencmopn 12227  intcnt 12335   limℂ climc 12865   D cdv 12866 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4141  ax-un 4365  ax-setind 4462  ax-iinf 4512  ax-cnex 7762  ax-resscn 7763  ax-1cn 7764  ax-1re 7765  ax-icn 7766  ax-addcl 7767  ax-addrcl 7768  ax-mulcl 7769  ax-mulrcl 7770  ax-addcom 7771  ax-mulcom 7772  ax-addass 7773  ax-mulass 7774  ax-distr 7775  ax-i2m1 7776  ax-0lt1 7777  ax-1rid 7778  ax-0id 7779  ax-rnegex 7780  ax-precex 7781  ax-cnre 7782  ax-pre-ltirr 7783  ax-pre-ltwlin 7784  ax-pre-lttrn 7785  ax-pre-apti 7786  ax-pre-ltadd 7787  ax-pre-mulgt0 7788  ax-pre-mulext 7789  ax-arch 7790  ax-caucvg 7791 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4225  df-po 4228  df-iso 4229  df-iord 4298  df-on 4300  df-ilim 4301  df-suc 4303  df-iom 4515  df-xp 4556  df-rel 4557  df-cnv 4558  df-co 4559  df-dm 4560  df-rn 4561  df-res 4562  df-ima 4563  df-iota 5099  df-fun 5136  df-fn 5137  df-f 5138  df-f1 5139  df-fo 5140  df-f1o 5141  df-fv 5142  df-isom 5143  df-riota 5741  df-ov 5788  df-oprab 5789  df-mpo 5790  df-1st 6049  df-2nd 6050  df-recs 6213  df-frec 6299  df-map 6555  df-pm 6556  df-sup 6887  df-inf 6888  df-pnf 7853  df-mnf 7854  df-xr 7855  df-ltxr 7856  df-le 7857  df-sub 7986  df-neg 7987  df-reap 8388  df-ap 8395  df-div 8484  df-inn 8772  df-2 8830  df-3 8831  df-4 8832  df-n0 9029  df-z 9106  df-uz 9378  df-q 9466  df-rp 9498  df-xneg 9616  df-xadd 9617  df-seqfrec 10277  df-exp 10351  df-cj 10673  df-re 10674  df-im 10675  df-rsqrt 10829  df-abs 10830  df-rest 12195  df-topgen 12214  df-psmet 12229  df-xmet 12230  df-met 12231  df-bl 12232  df-mopn 12233  df-top 12238  df-topon 12251  df-bases 12283  df-ntr 12338  df-limced 12867  df-dvap 12868 This theorem is referenced by:  dvbss  12896  dvcjbr  12914
 Copyright terms: Public domain W3C validator