Theorem dvbssntrcntop 15541

Description: The set of differentiable points is a subset of the interior of the domain of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
dvbssntr.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvbssntr.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))

Assertion

Ref	Expression
dvbssntrcntop	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝐴))

Proof of Theorem dvbssntrcntop

Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcl.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
2		dvcl.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		dvcl.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
4		dvbssntr.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
5		dvbssntr.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
6	4, 5	dvfvalap 15538	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → ((𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ)))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ)))
8		dmss 4954	. . 3 ⊢ ((𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ) → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ dom (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ))
9	7, 8	simpl2im 386	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ dom (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ))
10		dmxpss 5192	. 2 ⊢ dom (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝐴)
11	9, 10	sstrdi 3249	1 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398  {crab 2524   ⊆ wss 3210  {csn 3688  ∪ ciun 3990   class class class wbr 4108   ↦ cmpt 4170   × cxp 4746  dom cdm 4748   ∘ ccom 4752  ⟶wf 5347  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  ℂcc 8124   − cmin 8443   # cap 8854   / cdiv 8945  abscabs 11678   ↾_t crest 13444  MetOpencmopn 14681  intcnt 14950   lim_ℂ climc 15511   D cdv 15512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245  ax-caucvg 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-map 6883  df-pm 6884  df-sup 7274  df-inf 7275  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-q 9951  df-rp 9986  df-xneg 10104  df-xadd 10105  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680  df-rest 13446  df-topgen 13465  df-psmet 14683  df-xmet 14684  df-met 14685  df-bl 14686  df-mopn 14687  df-top 14855  df-topon 14868  df-bases 14900  df-ntr 14953  df-limced 15513  df-dvap 15514

This theorem is referenced by:  dvbss  15542  dvcjbr  15565