Theorem dvbssntrcntop 15837

Description: The set of differentiable points is a subset of the interior of the domain of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
dvbssntr.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvbssntr.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))

Assertion

Ref	Expression
dvbssntrcntop	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝐴))

Proof of Theorem dvbssntrcntop

Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcl.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
2		dvcl.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		dvcl.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
4		dvbssntr.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
5		dvbssntr.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
6	4, 5	dvfvalap 15834	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → ((𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ)))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ)))
8		dmss 4980	. . 3 ⊢ ((𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ) → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ dom (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ))
9	7, 8	simpl2im 390	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ dom (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ))
10		dmxpss 5218	. 2 ⊢ dom (((int‘𝐽)‘𝐴) × ℂ) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝐴)
11	9, 10	sstrdi 3260	1 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402  {crab 2532   ⊆ wss 3220  {csn 3709  ∪ ciun 4012   class class class wbr 4130   ↦ cmpt 4192   × cxp 4772  dom cdm 4774   ∘ ccom 4778  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8178   − cmin 8499   # cap 8912   / cdiv 9005  abscabs 11778   ↾_t crest 13644  MetOpencmopn 14929  intcnt 15246   lim_ℂ climc 15807   D cdv 15808

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-map 6924  df-pm 6925  df-sup 7325  df-inf 7326  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-xneg 10185  df-xadd 10186  df-seqfrec 10899  df-exp 10990  df-cj 11622  df-re 11623  df-im 11624  df-rsqrt 11779  df-abs 11780  df-rest 13646  df-topgen 13665  df-psmet 14931  df-xmet 14932  df-met 14933  df-bl 14934  df-mopn 14935  df-top 15151  df-topon 15164  df-bases 15196  df-ntr 15249  df-limced 15809  df-dvap 15810

This theorem is used by:  dvbss  15838  dvcjbr  15861